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Séminaire de Géométrie

Tuiles de Wang apériodiques associées aux nombres métalliques

Sébastien Labbé

( (LaBRI Bordeaux) )

Salle 2

le 04 octobre 2024 à 10:45

Un pavage de Penrose est formé de deux tuiles polygonales dont le ratio des fréquences est égal au nombre d'or. De même, les pavages par la monotuile apériodique découverte en 2023 par David Smith sont tels que le ratio des fréquences des deux orientations de la monotuile est égal à la quatrième puissance du nombre d'or. Aussi, la structure des pavages de Jeandel-Rao est expliquée par le nombre d'or. On connait des pavages apériodiques qui ne sont pas reliés au nombre d'or. Toutefois, la caractérisation des nombres possibles pour de tels ratios est une question, posée dès 1992 par Ammann, Grünbaum et Shephard, qui est toujours ouverte aujourd'hui.

Pour chaque entier positif nn, nous introduisons un ensemble Tn\mathcal{T}_n composé de (n+3)2(n+3)^2 tuiles de Wang (carrés unitaires avec des bords étiquetés). Nous représentons un pavage par des translations de ces tuiles comme une fonction Z2Tn\mathbb{Z}^2\to\mathcal{T}_n appelée configuration. Une configuration est valide si le bord commun des tuiles adjacentes a la même étiquette. Pour chaque entier n1n\geq1, nous considérons le sous-décalage de Wang Ωn\Omega_n défini comme l'ensemble des configurations valides pour les tuiles Tn\mathcal{T}_n.

La famille {Ωn}n1\{\Omega_n\}_{n\geq1} élargit la relation entre les entiers quadratiques et les tuiles apériodiques au-delà de l'omniprésent nombre d'or, car la dynamique de Ωn\Omega_n implique la racine positive β\beta du polynôme x2nx1x^2-nx-1. Cette racine est parfois appelée nn-ième nombre métallique (https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_métallique), et en particulier, le nombre d'or lorsque n=1n=1 et le nombre d'argent lorsque n=2n=2.

L'ensemble Ωn\Omega_n est auto-similaire, apériodique et minimal pour l'action de décalage. De plus, il existe une partition polygonale de T2\mathbb{T}^2 qui est une partition de Markov pour une Z2\mathbb{Z}^2-action sur le tore. La partition et les ensembles de tuiles de Wang sont symétriques, ce qui les rend, comme les tuiles de Penrose, dignes d'intérêt.

Les détails peuvent être trouvés dans les prépublications disponibles à

https://arxiv.org/abs/2312.03652 (partie I) et

https://arxiv.org/abs/2403.03197 (partie II).

L'exposé présentera une vue d'ensemble des principaux résultats.