Soit E une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, et S un point d'ordre infini dans E(K). Une conjecture de Lang et Trotter prédit que l'ensemble des premiers p de K pour lesquels la réduction de S engendre le groupe des points rationnels sur E mod p a une densité qui peut être exprimée en termes de la représentation galoisienne associée aux « corps de division » du point S. Cette conjecture généralise aux courbes elliptiques la plus classique conjecture de la racine primitive d'Artin formulée pour le groupe multiplicatif d’un corps de nombres.

Dans cet exposé, j'examinerai les cas où la densité conjecturale de Lang-Trotter est nulle, c'est-à-dire lorsque S n'est presque jamais localement primitif. En m'appuyant sur l'analogie avec la conjecture d'Artin, je présenterai un projet en cours – en collaboration avec Nathan Jones, Francesco Pappalardi et Peter Stevenhagen – visant à classifier certains de ces phénomènes d'imprimitivité pour les courbes elliptiques sur le corps des rationnels.