Dans ce travail, nous proposons une analyse mathématique et numérique de problèmes intervenant en électrophysiologie cardiaque, notamment les modèles bidomaine et tridomaine.

La modélisation mathématique du tissu cardiaque nécessite des géométries complexes multi-échelles pour tenir compte de la taille du cœur et des processus biologiques au niveau microscopique. À l'échelle microscopique, le tissu cardiaque est soumis à des phénomènes particulièrement complexes, et il est très difficile de comprendre et de prédire son comportement à l'échelle macroscopique.

En se basant sur la loi d'Ohm de la conduction électrique et sur la conservation de la charge électrique, nous obtenons le modèle microscopique qui donne une description détaillée de l'activité électrique dans les cellules responsables de la contraction du muscle cardiaque. Ce modèle est de type elliptique, couplé à un système d'EDO non linéaire.

Grâce à des techniques d'homogénéisation et de développements asymptotiques à partir du modèle microscopique, nous obtenons un modèle modèle macroscopique. Ce dernier, de type parabolique, permet à son tour de décrire la propagation des ondes électriques dans le cœur tout entier. Nous apportons en plus, pour ces deux formulations, des résultats d'existence et d'unicité de la solution.

Dans une seconde partie, nous traitons le cas particulier du modèle monodomaine. Ce dernier étant une simplification du modèle bidomaine.

Ce modèle est représenté par un système d'équations aux dérivées partielles de type réaction diffusion non linéaire couplé à des EDO dont la résolution numérique est très coûteuse. Nous utilisons le schéma d'Euler implicite pour la discrétisation de la variable temporelle et la méthode des éléments finis pour la discrétisation en espace. Le système non linéaire obtenu est résolu grâce à la méthode de Newton.

Ensuite, en utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l’espace $\textbf{H}(div, \Omega)$, nous établissons une estimation d’erreur a posteriori entre la solution exacte et la solution approchée à chaque pas du solveur de Newton. Cette estimation permet de certifier la solution approchée à chaque pas du solveur de linéarisation et permet également de distinguer les différentes composantes de l’erreur de la simulation numérique à savoir l’erreur de discrétisation par éléments finis et l’erreur de linéarisation issue de la méthode de Newton.