On peut regarder la propriété d'acylindricité comme une généralisation d'un réseau dans un groupe localement compact et à base dénombrable. Ces dernières années, l'utilité de cette propriété a été démontrée par la surgance des résultats concernant les groupes qui agissent acylindriquement sur un espace hyperbolique. Bien-sûr, les arbres sont des exemples d'espaces hyperboliques, et quand on considère des produits, on voit des phénomènes qui ne sont pas présents en rang-1, comme les réseaux simples Burger-Mozes-Wise, et les noyaux Bieri-Stallings-Bestvina-Brady.

En collaboration avec S. Balasubramanya, nous introduisons une nouvelle classe de groupes à courbure non-positive. Nous regardons la théorie des réseaux semi-simples S-arithmétiques comme une source d'inspiration et étendre la théorie de l'acylindricité au rang supérieur et nous considérons des produits finis d'espaces delta-hyperboliques. La catégorie est fermée par produit direct, sous-groupes et super-groupes d'indice fini. On a aussi des réseaux qui ne sont pas uniformes, On introduit la définition de l'AU-acylindricité (i.e. Acylindricité of Uniformité Ambiguë) et ça nous permet d'avoir une théorie qui contient tous les réseaux semi-simples S-arithmétiques avec des facteurs de rang-1, les groupes hiérarchiquement hyperboliques (HHGs), la déjà riche classe des groupes acylindriquement hyperboliques, et beaucoup plus !

Dans cet exposé, on va discuter deux résultats dans ce contexte. Le premier, c'est une alternative de Tits. Le deuxième sera, si en plus, on a que la projection à chaque facteur est une action de type général, qu'un tel groupe G admet alors une décomposition canonique en produit. Ce type de semi-simplicité descend à Out(G), donnant ainsi une résolution partielle d'une conjecture récente de Sela (2023).