Théorème du cœur compact

Rappel : une 3-variété désigne une variété (topologique? différentiable?) $M$ de dimension 3 (sans bord?).

Théorème (Scott, années 1973) : Toute 3-variété $M$ dont le groupe fondamental est finiment engendré possède une sous-variété à bord $N$ de dimension 3, telle que l'inclusion est un isomorphisme sur les $\pi_1$. L'objet $N$ est appelé cœur compact.

En particulier, si le groupe fondamental d'une 3-variété est finiment engendré alors il est finiment présenté.

Scott démontre d'abord que $\pi_1(M)$ est isomorphe au $\pi_1$ d'une 3 variété compacte, et donc finiment présenté. Il en déduit ensuite l'existence d'un cœur compact.

Voici un exemple où le cœur est trivial mais pas la variété : considérons l'exemple de Whitehead $W$ : c'est une 3-variété contractible mais pas modérée. Son $\pi_1$ étant trivial, un cœur compact est donné par n'importe quelle boule, qu'on peut prendre petite si on veut. Notons que le complémentaire de cette boule n'est pas homéomorphe à $S\times [0,1[$, sinon $W$ serait modérée