Le domaine fondamental ne fait pas le groupe

Voici ci-dessous deux façons de recoller l'octogone hyperbolique régulier d'angle au sommet 1/8e de tour. Elles génèrent toutes les deux des surfaces de Riemann de genre 2. Les deux groupes Fuchsiens correspondants ne sont pas conjugués par un Möbius . Les deux surface quotient sont donc non-isomorphes. Cependant, les deux groupes possèdent un domaine fondamental en commun: l'octogone. Mieux : l'orbite du centre par les deux groupes est la même. Il en résulte que le pavage par les images de l'octogone est strictement le même.

Les huit sommets sont tous identifiés quand on passe au quotient et les huit secteurs se recollent pour former un tour complet autour du point quotient. Sur les dessins, les numéros représentent l'ordre dans lequel est parcouru l'ensemble des sommets, quand on tourne dans le sens trigonométriques autour du point quotient.

Autre exemple, peut-être plus simple, avec un groupe de Schottky, Fuchsien de type II :

Le pavage et l'ensemble limite sont les mêmes à gauche et à droite. Les surfaces quotient sont différentes car, par exemple, les systoles diffèrent (longueur des géodésiques fermées les plus courtes). Les flèches sur ces deux dessins sont homotopes aux géodésiques systoliques.