Surface hyperbolique simpliciale
Définition
Soit $M$ une variété hyperbolique complète de dimension 3. Une surface hyperbolique simpliciale est (l'image $S=f(T)$ d')une application $f:T\to M$ d'une surface $T$ munie d'une structure de $\Delta$-complexe (par exemple triangulée) dans $M$ telle que
- sur chaque triangle $f$ est une immersion totalement géodésique,
- la somme des angles à chaque sommet est $\geq 2\pi$.
À noter: on ne demande pas que $f$ soit injective.
En termes moins formels, on a un assemblage le long de leurs bords de triangles hyperboliques qui peuvent s'intersecter les uns les autres ou même s'auto-intersecter, et on demande qu'autour de chaque vertex on ait (un nombre fini de cycles de triangles, chaque cycle ayant) un angle total d'au moins $2\pi$.
Conséquences
Appelons volume de $S$ la somme des surfaces des triangles géodésiques
Lemme. Si $T$ est fermée de genre $g$ alors $g\geq 2$ et le volume de S est $\leq 2\pi(2g-2)$.
C'est une conséquence du théorème de Gauss-Bonnet (voir ci-dessous). Plus précisément, pour une surface hyperbolique, on a égalité ; la présence de pointes d'angle $>2\pi$ fait diminuer volume. \[ \int K = 2\pi\Chi(S). \] Ici $K=-\text{courbure}\times dS$ où $dS$ est l'élément d'aire, partout sauf aux pointes où $K$ est une masse de Dirac de poids $2\pi-\text{angle total}$.
Je note $\hat S$ la surface, abstraite mais munie d'une métrique, obtenue en recollant entre eux les triangles hyperboliques (dépliés dans le revêtement universel) et en munissant le résultat de la métrique de chemin.
Corollaire. $\exists C(g)>0$ tel que si $T$ est fermée de genre $g$ alors il existe sur $\hat S$, une géodésique de longueur $\leq C(g)$ pour la métrique hyperbolique .
En effet, soit $r$ la longueur de la plus courte géodésique. Choisissons n'importe quel point $x\in \hat S$ et considérons la boule $B(x,r/2)$. Alors le volume de cette boule est au moins celui de la boule correspondante dans $\mathbb{H}^2$ (l'application "exponentielle" (discontinue à cause des singularités) injecte la seconde dans la première).
