Théorème de finitude d'Ahlfors

Énonçons d'abord le théorème de finitude d'Ahlfors dans le cas sans torsion :

Théorème : Pour un groupe Kleinien de type fini et sans torsion, la surface de Riemann obtenue en prenant le quotient de l'ensemble de discontinuité par le groupe est de type fini, c'est à dire : elle possède un nombre fini de composantes connexes, qui sont toutes des surfaces de Riemann compactes avec un nombre fini d'épointements.

Note: on peut formuler la conclusion en disant que l'espace de Teichmüller du quotient est de dimension finie.

Si on autorise de la torsion, il faut remplacer dans le théorème ci-dessus et la note les surfaces de Riemann par des orbifolds.

Idées de la preuve

En très court:

Le moteur est un moyen de déformer les groupes en déformant leur surface quotient.

Cela se fait avec les champs d'ellipses et le théorème d'intégration d'icelles.

On obtient donc une injection locale de l'espace de Teichmüller (espace des déformations) du quotient vers l'espace des groupes Kleiniens avec un nombre de générateurs fixés (mieux: des classes d'équivalences de groupes modulo conjugaison par un Möbius). L'espace d'arrivée est de dimension finie, donc l'espace de départ aussi.

Détails

Un jour, si on a le temps.