Exemple de Whitehead

On peut présenter sa construction de deux façons équivalentes. Elles se basent toutes deux sur la configuration suivante :

Considérons un tore plein ouvert $T_1$ et un 2e tore plein ouvert $T_0\subset T_1$, tels que $\overline{T_0}$ est un tore plein plongé, homotopiquement contractible dans $T_1$ mais pas isotopiquement.

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, $T_0$ est dans $S^3$, et si on considère $T_1$ comme plongé dans $S^3$ de la façons habituelle, alors l'âme de $T_0$ plus l'âme du complément de $T_1$ (c'est aussi un tore plein) forment un Whitehead link.

Présentation intrinsèque

On considère une suite de tores pleins $T_n$ tels que $T_{n}\subset T_{n+1}$ et que l'inclusion soit isomorphe à l'inclusion $T_0\subset T_1$. Pour définir $T_{n+1}$ une fois $T_n$ construit, on considère un homéomorphisme/difféomorphisme $\phi_n:T_n\to T_0$ qu'on utilise comme changement de carte et on prend une copie de $T_1\setminus T_0$ pour définir $T_{n+1}\setminus T_n$.

La réunion $W$ des $T_n$ est alors une $3$-variété topologique/différentiable avec les propriétés suivantes :

• $W$ est contractible (il se rétracte par déformation forte sur un point)
• $\pi_1(W\setminus T_0)$ n'est pas finiment engendré

Le 2e point implique en particulier que $W$ n'est pas topologiquement modérée.

Présentation extrinsèque

Plus concrètement, on peut aussi définir $W$ comme un ouvert de $S^3$ en procédant ainsi : $W=S^3\setminus K$ où $K=\bigcap K_n$ et $K_n$ est une suite décroissante de tore plein fermé, $K_{n+1}\subset K_n$, tels que leurs complémentaires $T_n = S^3\setminus K_n$ ont la propriété que l'inclusion $T_{n}\subset T_{n+1}$ est isomorphe à l'inclusion $T_0\subset T_1$.

Dans le cas particulier où on a utilisé la configuration de Whitehead en exemple plus haut, il se trouve que c'est équivalent à ce que l'inclusion des intérieurs $\mathrm{int}(K_{n+1})\subset \mathrm{int}(K_n)$ soit équivalente à $T_0\subset T_1$ : autrement dit les deux courbes qui forment le Whitehead link sont interchangeables par un homéomorphisme de $S^3$.

Preuves

Contractibilité :

On a supposé que l'âme de $T_0$ est contractible dans $T_1$, disons sur un point de $T_0$. Il existe un prolongement de cette homotopie dans $T_1$ qui ne bouge pas les points hors d'un voisinage de $T_0$ et qui contracte $T_0$ sur un point.

EXPLIQUER

FINIR

Le reste :

TODO