Conjecture d'Ahlfors

Conjecture (démontrée en 2004) : Tout groupe Kleinien de type fini a un ensemble limite qui est soit toute la sphère, soit de mesure nulle.

Il s'agit ici de la mesure de Lebesgue sur la sphère de Riemann. Rappelons qu'un ensemble limite est soit toute la sphère, soit d'intérieur vide.

Formulée par Ahlfors qui l'a démontrée dans les années 1960 dans le cas des groupes géométriquement finis. Démontrée en 2004 par une chaîne de théorèmes:

Thurston 19XX: Démontrée dans le cas géométriquement modéré

Canary XXXX: Topologiquement modéré $\implies$ géométriquement modéré

Agol/Calegary-Gabai 2004/2006: Type fini $\implies$ topologiquement modéré

Complément

Canary a également démontré que dans le cas particulier où l'ensemble limite est toute la sphère, alors l'action du groupe sur la sphère est ergodique. [DEF à donner]

Ce serait intéressant de voir s'il est facile de produire un contre-exemple sans l'hypothèse de type fini Arnaud Cheritat (discussion) 16 février 2014 à 10:13 (CET)