Homographie

Une homographie est une bijection de $\widehat{\mathbb{C}}$ de la forme $z\mapsto (az+b)/(cz+d)$, $ad-bc\neq 1$. Réciproquement les bijections holomorphes de $\widehat{\mathbb{C}}$ sont des homographies.

La sphère de Riemann $\widehat{\mathbb{C}}$ est également l'espace projectif $\mathrm{P}^1\mathbb{C}$. Le groupe des homographies de $\widehat{\mathbb{C}}$ est précisément le groupe projectif correspondant et s'identifie à $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})=\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})/\mathbb{C}$, ce qui en fait un ouvert de Zariski de $\mathrm{P}^3\mathbb{C}$. On peut aussi l'identifier avec $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})=\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})/\pm I$. C'est un groupe algébrique complexe, un groupe de Lie non compact, une variété complexe de dimension 3. Il a en particulier une topologie naturelle, dont la notion de convergence qui correspond à la convergence des coefficients $a,b,c,d$ modulo multiplication par un complexe. On l'appelle encore groupe de Möbius de $\widehat{\mathbb{C}}$.

On classe les homographies en 4 types:

• l'identité
• les éléments à un seul point fixe, dits paraboliques, conjugués à $z\mapsto z+1$

les autres ont deux points fixes et sont conjugués à $z\mapsto \lambda z$, $\lambda\in\C^*$, et leur classe de conjugaison est caractérisée par la paire non-ordonnée $\{\lambda,\lambda^{-1}\}$ (en permutant les points fixes $0$ et $\infty$ par la conjugaison $z\mapsto 1/z$, on transforme $\lambda$ en $1/\lambda$).

• ils sont dits elliptiques si $|\lambda|=1$
• hyperboliques sinon

Dans certain livres, ont trouve loxodromique à la place d'hyperbolique et on réserve ce dernier pour $\lambda$ réel.