Géométriquement fini
De Groupes Kleiniens
Groupes
Pour un groupe Kleinien, les propriétés suivantes sont équivalentes:
- Il a un domaine de Dirichlet à nombre fini de côtés (attention à la notion de côté)
- Tous ses domaines de Dirichlet ont cette propriété
- Avec l'ensemble limite conique
- Avec le cœur convexe
- La variété hyperbolique quotient est compacte si on retire des trucs associés aux cusps
- etc...
On dit alors que le groupe est géométriquement fini.
Un groupe géométriquement fini est nécessairement finiment engendré mais la réciproque est fausse.
Est-ce que ça équivaut à qu'il ait un domaine fondamental qui est un polyèdre fini?
Bouts
Un bout est géométriquement fini s'il admet un voisinage disjoint du cœur convexe. Il a alors un voisinage isométrique à $M=S\times [A,+\infty[$ où $S$ est une surface hyperbolique, $A>0$ et où $M$ est muni de la métrique explicite $g=e^{2t} ds^2+dt^2$ avec $ds$ la métrique hyperbolique de $S$ et $dt$ la métrique standard sur $\mathbb{R}$.
