Shrinkwrapping

$\cal C$

On note $\cal C$ une collection finie de géodésiques fermées simples (c.à.d. injectives) et 2 à 2 disjointes dans une $3$-variété hyperbolique $N$.

Dans nos applications, $\cal C$ sera une famille qui tend vers un bout. Elle n'est pas finie mais elle est localement finie et ça doit suffire.

Note. Dans [Gabai] et [Soma] ils notent $\Delta$ la collection des courbes, mais j'ai trouvé cette notation trop perturbante alors ici j'utilise $\cal C$. [Gabai] ne demande pas, dans la définition, que les courbes fermées de $\cal C$ soient géodésiques; cependant il ajoute l'hypothèse géodésique dans plusieurs lemmes, parfois de façon implicite, ce qui cause des ambiguïtés. Dans la suite, on supposera donc toujours qu'on a des géodésiques, et c'est pourquoi je l'ai inclus dans la définition de $\cal C$. L'hypothèse qu'elles sont disjointes n'est pas explicitement écrite mais je pense qu'elle est sous-entendue. [Gabai] ne demande pas que la collection soit finie mais dans [Soma] et [CG], cette hypothèse figure explicitement.

$\cal C$-homotopie et $\cal C$-géodésiques

Définition. Une $\cal C$-homotopie de $X\subset N$ est une homotopie $f:X\times[0,1]\to N$ avec les propriétés suivantes:

• $f(x,0)\notin\cal C$ et $t<1$ $\implies$ $f(x,t)\notin\cal C$,
• $f(x,0)\in\cal C$ $\implies$ $f(x,t)=f(x,0)$, $\forall t$.

On dit que $f_1$ est $\cal C$-homotope à $f_0$.

Autrement dit les points dans $\cal C$ ne bougent pas et les points hors de $\cal C$ restent en dehors, sauf peut-être à la fin.

Avertissement. Être $\cal C$-homotope n'est pas une relation d'équivalence : elle ne satisfait pas à l'axiome de symétrie. (Elle est bien transitive si on la prend dans le bon sens).

Voici un exemple, utilisé dans la preuve du théorème de shrinkwrapping plus loin.

Lemme. Soit $\alpha_0$ un chemin $\subset N\setminus \cal C$ entre deux points $x,y \in N\setminus \cal C$. Il existe un unique chemin $\alpha_1$ de longueur minimale parmi les chemins de $x$ à $y$ qui sont $\cal C$-homotopes à $\alpha_0$. Le chemin $\alpha_1$ est géodésique par morceaux et dépend de façon continue de $\alpha_0$.

Note. Dans [Gabai] c'est formulé ainsi : Il existe un unique $\alpha_1$ de longueur minimale parmi les chemins de $x$ à $y$ qui sont à la fois homotopes à $\alpha_0$ et $\cal C$-homotopes à $\alpha_0$. C'est étrange car un chemin $\cal C$-homotope est automatiquement homotope. Je ne comprends pas, donc je supprime. J'espère ne pas faire un contresens.

Début de preuve. Dans le cas où $\alpha_0$ ne rencontre pas $\cal C$.

On note $g_0$ la métrique hyperbolique et on introduit une famille de métriques $g_t$ sur $N\setminus\cal C$ telle que

• $g_t$ et $g_0$ coïncident hors des points à $g_0$-distance $\leq t$ de $\cal C$,
• les $g_t$ sont de courbure sectionnelle négative,
• $N\setminus\cal C$ muni de $g_t$ est complète.

On considère le chemin le plus court pour $g_t$ (existence et unicité: corollaire du théorème de Cartan-Hadamard qui dit que pour une variété Riemannienne complète de courbure sectionnelle négative ou nulle, l'application exponentielle en n'importe quel point est un homéomorphisme de $\R^n$ vers le revêtement universel de la variété). Puis on prend des limites. Il me semble qu'il faut supposer un minimum de régularité aux courbes de $\cal C$ ?

Note: [Gabai] cite Souto mais je pense qu'il voulait citer Soma. Soma démontre bien un truc analogue mais je n'ai vu aucune mention de métrique variable dans l'article cité. Soma ajoute l'hypothèse que le genre de $S$ est au moins 2.

Dans le cas où $\alpha_0$ rencontre $\cal C$... À faire.

Ces chemins $\alpha_1$ s'appellent des $\cal C$-géodésiques et on leur adjoint en chaque point d'intersection avec $\cal C$ une information supplémentaire: l'angle total (dans $\R$) de rotation autour de la composante de $\cal C$.

Il y a un lemme qui décrit localement les $\cal C$-géodésiques $\alpha$ près de $\cal C$ : soit toute la courbe $\alpha$ est une portions de courbe dans $\cal C$, soit les intersections de $\alpha$ avec $\cal C$ sont isolées, auquel cas localement $\alpha$ est inclus dans deux bouts plans hyperboliques s'articulant sur $\cal C$, avec angles d'incidence égaux : i.e. pas de surprise. Il me semble que ce lemme est incomplet : on peut imaginer la moitié incluse dans $\cal C$.

$2$-incompressibilité

Rappelons le

Lemme de la boucle. Soit $M$ une $3$-variété topologique à bord et $D$ le disque fermé de dimension 2. Si $f:(D,\partial D) \to (M,\partial M)$ est continue et si la restriction de $f$ à $\partial D$ n'est pas homotope dans $\partial M$ à un point, alors il existe un plongement (topologique) avec les mêmes propriétés.

Voir ici pour une preuve.

Définition. Une surface plongée $S\subset N$ est dite 2-incompressible par rapport à $\cal C$ si tout disque de compression rencontre $\cal C$ en au moins $2$ points.

Remarque. Les disques de compressions ci-dessus peuvent être pris plongés ou non, la définition sera équivalente en vertu d'un lemme de Waldhausen généralisant le théorème de la boucle : si un disque de compression non plongé rencontre $\cal C$ en au plus un point alors il existe un disque de compression plongé qui rencontre $\cal C$ en au plus un point.

Shrinkwrapping

Théorème. (Shrinkwrapping PL, cas simple) Si $S$ est une surface fermée sans bord plongée dans $N$ et disjointe de $\cal C$, et si $S$ sépare au moins deux composantes de $\cal C$, et si $S$ est $2$ incompressible par rapport à $\cal C$, alors $S$ est $\cal C$-homotope à une surface hyperbolique simpliciale.

Théorème. (Shrinkwrapping PL, cas général) On suppose que l'on a un revêtement ramifié $(\hat N,\hat{\cal C})\to(N,\cal C)$, $S$ est pongée dans $\hat N$, etc... Je ne comprends pas bien l'énoncé.

On aura besoin de l'amélioration suivante d'un lemme de Bonahon :

Lemme. Pour tout bout non géométriquement fini $\cal E$ d'une 3-variété hyperbolique de type fini, il existe une suite de géodésiques fermées simples qui tend vers $\cal E$ et qui sont chacune l'axe d'un tube de rayon au moins $0.025$.

Lemme. (Local shrinkwrapping) On s'est donné une application $f$ continue d'un carré vers l'espace hyperbolique $\mathbb H$, à valeurs dans une boule $B=B(0,r)$. On suppose ici que $\cal C$ est formé d'une unique géodésique et que celle-ci passe par $0$. On suppose que les 4 côtés sont envoyés sur des courbes $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$. On suppose que $\alpha$ et $\gamma$ sont des $\cal C$-géodésiques et que $\beta$ et $\delta$ sont des géodésique de $\mathbb H$. On autorise $\delta$ à être réduite à un point. Enfin, on suppose $f^{-1}(\cal C)$ est entièrement contenu à l'intérieur des côtés correspondant à $\alpha$ et $\gamma$. Alors il existe une $\cal C$-homotopie de $f$, constante sur le bord, vers une surface simpliciale hyperbolique$^*$.

(*) on ne demande la somme des angle $\geq 2\pi$ qu'aux sommets intérieurs.