Voir la source de Terminologie des groupes

On appelle '''groupe discret''' un groupe muni de la topologie discrète.

Un '''sous-groupe discret''' d'un groupe tolologique est un sous-groupe qui est discret pour la topologie induite. Cela équivaut à ce que tous ses points soient isolés, et pour cela il suffit que l'identité soit isolée. 

Un groupe discret est dit de '''type fini''' s'il a une partie génératrice finie.
On dit également '''finiment engendré''' (à distinguer de '''finiment présenté''' qui demande que le groupe soit isomorphe à un groupe obtenu par un nombre fini de générateurs '''et''' de relations ; on dit également de '''présentation finie''').

Une action continue d'un groupe discret sur un espace topologique est dite '''proprement discontinue''' quand tout point a un voisinage disjoint de ses images, sauf pour un nombre au plus fini d'éléments du groupe.
Alors toute paire de points a des voisinages tels que les images du premier soient disjointes du second, sauf pour un nombre au plus fini d'éléments du groupe.