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= Pour les variétés =

On considère ici des $3$-variétés à bord et non nécessairement compactes.

Une 3-variété M est '''topologiquement modérée''' (traduction de '''tame''') si elle est homéomorphe à X-F, où X est une variété compacte et F un fermé du bord $\partial X$. 
Si M est ouverte (i.e. sans bord) elle est simplement homéomorphe à $X-\partial X$, l'intérieur de X. 

== Commentaires ==

Si $M$ n'est pas ouverte cela autorise des pathologies du genre : la boule unité fermée moins un Cantor dans son bord.

Dans la suite on suppose M ouverte.

Conséquences topologiques : soit M une 3-variété topologiquement modéré et ouverte
* M est réunion d'une variété compacte $M_1$ et de $S\times [0,+\infty)$ où $S$ est une surface compacte et $M_1 \cap S\times [0,\infty) = \partial M_1 = S \times\{0\}$. 
* $\pi_1(M)$ est de présentation finie
* Mieux : pour toute sous-variété compacte $C \subset M$, $\pi_1(M-C)$ est aussi de présentation finie (pour chaque composante connexe).

La dernière propriété caractérise en fait les variétés topologiquement modérées chez les [[Variété irréductible|variétés irréductibles]], c'est le critère de Tucker (voir ci-dessous). Rappelons que $M$ est irréductible si 
toute $S^2 \subset M$ borde une boule $B^3 \subset M$.

'''Théorème''' (Critère de Tucker) ''Une $3$-variété ouverte irréductible est topologiquement modérée si et seulement si pour toute sous-variété compacte $C \subset M$, $\pi_1(M-C)$ est finiment engendré.''

Par exemple la [[variété de Whitehead]] W est irréductible et non-tame. Son $\pi_1$ est trivial donc finiment engendré, mais on peut trouver une courbe simple explicite dans W dont le complémentaire a un $\pi_1$ qui n'est pas finiment engendré.

Voici un contre-exemple au sens non-trivial du critère, dans le cas où on ne suppose pas la variéte irréductible: '''R'''<sup>3</sup> privé d'une suite de boules (fermées disjointe tendant vers l'infini) a également un $\pi_1$ trivial.

D'après un [[théorème de Scott]], si le groupe fondamental d'une $3$-variété est finiment engendré il est finiment présenté.

= Pour les bouts =

Un bout est ''topologiquement modéré'' s'il admet un voisinage homéomorphe à $S\times[0,+\infty[$ où $S$ est une surface (et tel que le bout se trouve à l'infini).