Mesure positive
Introduction
L'ex-conjecture d'Ahlfors, devenue théorème en 2004 dit:
Théorème : Tout groupe Kleinien de type fini a un ensemble limite qui est soit toute la sphère, soit de mesure nulle.
Il s'agit ici de la mesure de Lebesgue sur la sphère de Riemann. Rappelons qu'un ensemble limite est soit toute la sphère, soit d'intérieur vide. Ici, nous construisons un contre exemple à ce théorème auquel on enlève l'hypothèse de type fini.
Construction
On va en fait construire un exemple avec un peu plus de propriétés:
Théorème : Pour tout ouvert non vide $U$ tel que $K=\widehat{\mathbb{C}}\setminus U$ vérifie $K=\overline{\overset{\circ}K}$ et pour tout $\epsilon>0$ il existe un groupe Kleinien tel que:
- U soit à la fois une composante connexe et un domaine fondamental de l'ensemble de discontinuité
- $\operatorname{Leb} \Lambda(\Gamma)>\mathrm{Leb}(\overset{\circ}{K})-\epsilon$
- Le groupe obtenu est isomorphe au produit libre infini $\mathbb{Z}^{*\mathbb{N}}$
En particulier $\Gamma$ est sans torsion, $\Lambda(\Gamma) = \widehat{\mathbb{C}}\setminus \Gamma U$ et $\gamma,\gamma'\in\Gamma$ et $\gamma\neq\gamma'$ $\implies$ $\gamma U \cap \gamma' U=\emptyset$
Preuve : Nous allons définir une suite groupes Kleiniens $\Gamma_n$, croissante pour l'inclusion, et prendre $\Gamma=\bigcup \Gamma_n$.
Soit $x_k$ une suite dense dans $\widehat{\mathbb{C}}$.
Soit $\Gamma_0=\{\mathrm{id}\}$.
Soit $k_0$ l'index du premier élément de la suite $x_k$ qui n'appartient pas à $\overline{U}$.
Soit $\gamma$ une homographie parabolique fixant $x_{k_0}$. En la prenant suffisamment loin de l'identité on peut s'arranger pour que:
- $i\neq j \implies \gamma^i (U) \cap \gamma^j(U) = \emptyset$
- $\displaystyle\operatorname{Leb} \overline{\bigcup_{n\in\mathbb{Z},n\neq 0} \gamma^n (U)} < \epsilon/2$
Le premier point se voit bien si on se met dans une carte de la sphère de Riemann où l'infini est en $x_{k_0}$. Pour le deuxième point, toute l'orbite de $U$, à l'exception de $U$ lui-même, se ratatine uniformément sur $x_{k_0}$ quand $\gamma$ est de plus en plus loin de $\mathrm{id}$.
Soit alors $\Gamma_1=\langle\gamma\rangle$.
Puis on continue de la même façon : étant supposé construits les groupes Kleiniens $\Gamma_0\subset \cdots \subset\Gamma_n$ tels que l'ouvert $\widehat{\mathbb{C}}\setminus\overline{\Gamma_n U}$ est non vide, soit $k_{n}$ le premier index qui ne soit pas dans $k_0,\ldots,k_{n-1}$ et tel que $x_{k_n}$ ne soit pas dans $\overline{\Gamma_n U}$. Il existe alors une homographie parabolique $\gamma$ fixant $x_{k_n}$ et telle que, si l'on pose \[\Gamma_{n+1}=\langle\Gamma_n,\gamma\rangle\] alors
- $g,g'\in\Gamma_{n+1}$ et $g\neq g'$ $\implies$ $gU \cap g'U=\emptyset$.
- $\displaystyle\operatorname{Leb} \overline{\Gamma_{n+1} U} < \epsilon / 2^{n+1}$
À nouveau il suffit de prendre $\gamma$ loin de $\mathrm{id}$ mais cette affirmation est un peu plus difficile à justifier: notons que $\overline{\Gamma_n U}$ contient l'ensemble limite de $\Gamma_n$, donc $x_{k_n}$ est dans l'ensemble de discontinuité. Il a donc un voisinage $V$ ouvert et disjoint de ses images. Il suffit alors pour le premier point de prendre $\gamma$ ayant un domaine fondamental bordé par deux disques inclus dans $V$. [justifier le 2e point]
Yapuka vérifier que $\Gamma$ convient.
Q.E.D.
Remarque
Le théorème de finitude d'Ahlfors dit que pour un groupe Kleinien de type fini, la surface de Riemann obtenue (ou l'orbifold) en prenant le quotient de l'ensemble de discontinuité par le groupe est de type fini, c'est à dire : elle possède un nombre fini de composantes connexes, qui sont toutes des surfaces de Riemann compactes avec un nombre fini d'épointements (et de points de ramification pour les orbifolds).
Note: de façon équivalente, l'espace de Teichmüller du quotient est de dimension finie.
Ici, nous avons un groupe Kleinien qui n'est pas de type fini. Le quotient possède une seule composante connexe. Par contre, ce quotient n'est pas de type fini car il est isomorphe à $U$, un ouvert non compact.
