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== Domaines fondamentaux dans l'espace hyperbolique ==

On regarde ici un groupe Kleinien vu comme agissant sur $\mathbb{H}^3$, c'est à dire un sous-groupe discret de $\mathrm{Isom}^+(\mathbb{H}^3)$.

On trouve plusieurs définitions des domaines fondamentaux selon les auteurs, parfois appelés ''polyèdres fondamentaux''. Parfois c'est un ouvert, parfois un fermé. Ce n'est pas bien important car ils ont la propriété d'être invariants par passage à l'adhérence puis à l'intérieur (ou l'inverse). Je propose donc pour notre cas:

'''Définition :''' <i>Un domaine fondamental est la donnée d'un ouvert $O$ et d'un fermé $F=\overline{O}$ de $\mathbb{H^3}$ qui sont polyédraux au sens: 
* ''au voisinage de tout point de sont bord, $O$ est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces ouverts; en particulier $O=\overset{\circ}F$''
''et dont les images par le groupe pavent $\mathbb{H}^3$ au sens où
* deux images $\gamma O$, $\gamma' O$ par deux élément distincts $\gamma\neq\gamma'$ du groupe sont disjointes
* la réunion des images $\gamma F$ est tout $\mathbb{H}^3$
la propriété suivante est conséquence des propriétés ci-dessus dans le cas d'un groupe Kleinien:
* tout compact n'intersecte $\gamma F$ que pour un nombre fini de $\gamma\in\Gamma$.</i>
(je viens d'écrire ça mais de mémoire, donc il faut confronter à ce qui est dans les livres [[Utilisateur:Arnaud Chéritat|Arnaud Chéritat]] ([[Discussion utilisateur:Arnaud Chéritat|discussion]]) 22 février 2014 à 22:51 (CET))

Un groupe Kleinien a toujours un domaine fondamental au sens ci-dessus, comme le montre la section suivante.

== Domaine de Dirichlet ==

Les points fixes d'un élément de torsion ($\neq \mathrm{id}$) forme une droite (géodésique) de $\mathbb{H}^3$.
Étant donné un groupe Kleinien $\gamma$, la réunion de ces droites est localement une réunion finie. Elle est vide si $\Gamma$ est sans torsion. 

Étant donné  un point $a$ de $\mathbb{H}^3$ qui n'est fixé par aucun élément de torsion, on définit le domaine associé
$D$ comme l'ensemble des points qui sont plus proche de $a$ que des autres points de l'orbite de $a$:
\[D=\big\{x\in\mathbb{H}^3\,\big|\,\forall g\in \Gamma\setminus\{\mathrm{id}\},\, d(x,a)<d(x,\gamma a)\big\}.\]
Le pavage par $D$ donne les cellules de Voronoï associé à la collection de points $\Gamma a$.
Le domaine $D$ est également l'intersection des demi-espaces (ouverts) contenant $a$ et délimités par les plans médiateurs des paires de points $\{a,\gamma a\}$ où $\gamma$ parcourt $\Gamma \setminus\{\mathrm{id}\}$.
C'est donc un ouvert convexe connexe et non vide.

=== Exemples ===

{{expand}}

[[Fichier:df_PSL2Zi.svg|thumb]]

*Groupes monogènes.
**générateur parabolique
**générateur hyperbolique
**générateur elliptique
*Groupes élémentaires.
**groupe doublement parabolique
**etc...

mettre des dessins

Autre exemple: $\Gamma= \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}[i])$, c'est à dire l'extension au demi-plan supérieur des homographies $z\mapsto (az+b)/(cz+d)$ avec $a,b,c,d$ des entiers de Gauss ''et'' $ad-bc=1$.
Le dessin ci-contre illustre un domaine fondamental. {{completer|Petite erreur}} il faut encore le diviser en deux. C'est le domaine de Dirichlet associé à n'importe quel point de l'axe vertical $(0,0,h)$ avec $h\neq 1$. On l'obtient en coordonnées $(x,y,h)$, $h>0$ en faisant l'intersection d'une colonne, $|x|<1/2$, $|y|<1/2$, et du complémentaire de la sphère unité $x^2+y^2+h^2>1$.

[[Fichier:SW-dod.png|thumb|center|Domaine fondamental du groupe Kleinien associé à l'espace de Seifert-Weber]]

'''Attention'''
Il ne suffit pas au groupe Kleinien d'être de type fini pour qu'un domaine de Dirichlet n'ait qu'un nombre fini de faces. (Danger : la notion de face peut être trompeuse car à une même face géométrique pourrait être associée plusieurs autres faces à coller : penser aux murs de briques. Donc il faut vérifier tout ça [[Utilisateur:Arnaud Chéritat|Arnaud Chéritat]] ([[Discussion utilisateur:Arnaud Chéritat|discussion]]) 23 février 2014 à 11:32 (CET))
D'ailleurs une des définition de [[Géométriquement fini|groupe géométriquement fini]] est qu'un tel domaine existe. Alors tous les domaines de Dirichlet sont finis.

== Autres domaines ==

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Un domaine fondamental n'est pas nécessairement de Dirichlet.
Par exemple pour une isométrie hyperbolique $g$ dont l'action sur le bord $\widehat{\mathbb{C}}$ est $z\mapsto\lambda z$ avec $\lambda$ réel positif, prenons n'importe quel plan hyperbolique $P$ qui traverse l'axe de $g$. L'espace compris entre $P$ et $g(P)$ est un domaine fondamental.

== Théorème du polyèdre fondamental de Poincaré ==

== Pièges ==

* Notons d'abord qu'à un domaine fondamental donné peut correspondre plusieurs groupes. Nous illustrons un exemple en 2D, i.e. dans le plan hyperbolique, dans une [[Le domaine fondamental ne fait pas le groupe|page de ce wiki]]. Dans cet exemple, deux groupes cocompacts sans torsion et non conjugués par un möbius possèdent une orbite commune, donc en particulier un domaine de Dirichlet commun. Cet exemple peut s'adapter en 3D puisque c'est un groupe Fuchsien.

* [[Un domaine pas si fondamental|Sur cette page]] nous présentons domaine non couvrant, mais de façon non-évidente (toujours en 2d).