Groupe de Möbius

Introduction

Le groupe de Möbius de dimension n est le groupe de transformation conformes de l'espace euclidien E de dimension n (espace euclidien affine: pas besoin d'une origine). Plus rigoureusement il faut ajouter un point à l'infini : $E\rightarrow \widehat E = \{E\cup\infty\}$, prendre le groupe engendré par les isométries (translations et réflexions incluses) et par l'inversion par rapport à un point.

Ce groupe préserve l'ensemble des hypersphères généralisées (on ajoute les hyperplans complétés par l'infini) et est transitif sur cet ensemble.

Le fixateur de l'infini est précisément le groupe des isométries affines de l'espace euclidien.

Le fixateur d'un hyperplan $H+\infty$ est presque le groupe de Möbius de cet hyperplan vu comme espace euclidien de dimension n-1. En fait on a un morphisme surjectif de noyau la réflexion sur $H$. Le morphisme est bijectif si on le restreint aux éléments préservant l'orientation au départ, mais attention dans son image il y a quand même des éléments inversant l'orientation: par exemple $(x,y,z)\mapsto(x,-y,-z)$ restreint au plan $z=0$ devient $(x,y)\mapsto(x,-y)$.

Le fixateur d'une hypersphère S est isomorphe au fixateur de $H+\infty$ conjugué par n'importe quel élément qui envoie $H+\infty$ sur S. On appelle groupe de Möbius de S le groupe des bijections de S ainsi obtenu. Ce n'est pas tout à fait le fixateur mais son quotient par le noyau de l'action, qui est le sous-groupe à 2 éléments engendré par l'inversion par rapport à S. Le fixateur de la boule euclidienne bordée par S s'envoie quand à lui bijectivement dans le groupe de Möbius.

Modèle de Poincaré de l'espace hyperbolique

Considérons une boule euclidienne de centre O et de bord la sphère S. Nous avons vu que le fixateur de B dans le groupe de Möbius de E agit fidèlement sur S et forme le groupe conforme de S. Le fixateur du centre O de la sphère S pour cette action est le groupe des isométries vectorielles de E basé en O, i.e. SO(n). Il existe donc une métrique Riemannienne, unique à multiplication près par une constante, définie sur la boule ouverte délimitée par S et invariante par le groupe. C'est précisément la métrique hyperbolique de la boule. L'espace est alors homogène et isotrope. La courbure K est constante négative et quitte à multiplier la métrique par la bonne constante, on peut la fixer à $K=-1$.

On appelle l'object obtenu espace hyperbolique de dimension n et on le note note $\mathbb{H}^n$, qu'on le voie comme variété Riemannienne ou comme espace homogène, ensemble avec action, modèle non-euclidien de la géométrie, etc...

On aurait aussi bien pu à la place de la boule partir d'un demi-espace délimité par un hyperplan. On aurait obtenu le modèle demi-espace de l'espace hyperbolique.

Modèle de Klein

(On ne s'en servira pas ici) Le fixateur d'une boule euclidienne dans le groupe projectif de dimension n fournit un autre modèle de la géométrie hyperbolique, qui miraculeusement donne exactement les mêmes bijections sur son bord. Pour plus d'information, voir la page Wikipédia.