Groupe Kleinien

Un groupe Kleinien est un sous-groupe discret du groupe des homographies $\mathrm{Möb}\widehat{\mathbb{C}}$ de la sphère de Riemann.

Lien avec l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^3$.

Rappelons qu'un modèle de l'espace hyperbolique de dimension 3 est donné par la boule unité dans l'espace euclidien $\mathbb{R^3}$. Le fixateur de la boule (fermée ou ouverte, c'est le même) dans le groupe de Möbius en dimension 3 forme le groupe des isométries de l'espace hyperbolique $\mathrm{Isom}(\mathbb{H}^3)$. Son action sur le bord de la boule est isomorphe à l'action du groupe de Möbius en dimension 2, et forme l'ensemble des difféomorphismes conformes de la sphère. Dans ce groupe, les éléments préservant l'orientation forment le groupe des homographies $\mathrm{Möb}\widehat{\mathbb{C}}$.

Ainsi, le même groupe peut être vu comme agissant sur $\mathbb{H}^3$, sur $B$, sur $\overline{B}$, sur $\partial B$, sur $\widehat{\mathbb{C}}$... \[\mathrm{Möb}(\widehat{\mathbb{C}}) \leftrightarrow \mathrm{Fix}(\overline{B},\mathrm{Möb}^+(\mathbb{R}^3)) \leftrightarrow \mathrm{Isom}^+(\mathbb{H}^3).\] Toutes ces actions sont continues pour la même topologie sur le groupe.

Un groupe kleinien correspond donc à un sous-groupe discret de $\mathrm{Isom}^+\mathbb{H}^3$.

Caractérisation: Un sous-groupe de $\mathrm{Isom}^+(\mathbb{H}^3)$ est Kleinien (discret) si et seulement si il agit proprement discontinument sur $\mathbb{H}^3$.

Lien avec les 3-variétés hyperboliques

Plus précisément variétés riemanniennes complètes orientables $M$ de dimension 3 et de courbure constante négative valant -1...

La structure Riemannienne se relève au revêtement universel $\widetilde{M}$.

Théorème: L'espace obtenu est isométrique à $\mathbb{H}^3$.

Il y a deux étapes dans la preuve:

• analytique: on démontre que $M$ (et donc $\widetilde{M}$) est localement isométrique à $\mathbb{H}^3$,
• géométrique: on fabrique un plongement isométrique global $\widetilde{M}\to \mathbb{H}^3$ avec la simple connexité de $\widetilde{M}$,
• la complétude implique qu'il est surjectif.

On aurait pu se simplifier la vie et prendre, pour éviter la première étape ci-dessus, la définition suivante de 3-variété hyperbolique: variétés Riemanniennes localement isométriques à $\mathbb{H}^3$ et complètes: voir l'article variété hyperbolique.

Proposition: Les groupes Kleinien sans torsion sont exactement les groupes d'automorphisme du revêtement universel des 3-variétés hyperboliques.

Pour se simplifier encore plus la vie et éviter d'avoir à démontrer les théorème ci-dessus, on pourrait prendre comme définition de 3-variété hyperbolique, tout quotient de $\mathbb{H}^3$ par un groupe Kleinien sans torsion. Cependant, cela nous priverait d'une méthode importante de construction d'exemples de groupes Kleiniens, où l'on construit d'abord une variété localement $\mathbb{H}^3$ et complète, en général par découpage et recollements.

Torsion

Dans $\mathrm{Möb}\widehat{\mathbb{C}}$, les éléments d'ordre fini sont elliptiques ou l'identité. Dans un sous-groupe discret de $\mathrm{Möb}\widehat{\mathbb{C}}$, tous les éléments elliptiques sont d'ordre fini. Un groupe Kleinien sans torsion est donc un sous-groupe discret sans élément elliptique. Quand un groupe Kleinien a de la torsion, le quotient de $\mathbb{H}^3$ par $\Gamma$ n'est plus une variété hyperbolique: il faut passer dans le monde des orbifolds (non dévelopés dans ce wiki), plus précisément on obtient comme quotient un orbifold hyperbolique. De même, le quotient de l'ensemble de discontinuité (voir ci-dessous) est la version orbifold d'une surface de Riemann.

Ensembles caractéristiques

Ensemble limite, ensemble de discontinuité: Il y a un plus grand ouvert (contenant tout les autres), possiblement vide, de $\widehat{\mathbb{C}}$ sur lequel un groupe Kleinien $\Gamma$ agit proprement discontinûment. Il s'appelle l'ensemble de discontinuité et il est noté $\Omega(\Gamma)$. L'ensemble limite est son complémentaire, noté $\Lambda(\Gamma)$. On trouvera des définitions équivalentes et des précisions dans l'article dédié: ensemble limite.

Ensemble limite conique: pas abordé dans le groupe de travail.

Concernant l'action dans $\mathbb{H}^3$, on définit un domaine fondamental comme un ensemble polyédral qui pave l'espace sous l'action du groupe. Voir l'article Domaine fondamental pour plus de précisions. Un domaine de Dirichlet associé à un groupe et à un point $x$ de $\mathbb{H}^3$ qui n'est pas sur l'axe d'un élément elliptique du groupe, est un exemple de domaine fondamental. Il est construit en regardant l'ensemble des points qui sont plus proches de $x$ que de toutes ses images par le groupe.

On a un piège intéressant lié à cette notion: Domaine fondamental (piège).

Le Coeur convexe est l'enveloppe convexe dans $\mathbb{H^3}$ de l'ensemble limite.

Typologie des groupes kleiniens

• un groupe kleinien est dit Élémentaire quand son ensemble limite n'a que $0$, $1$ ou $2$ éléments. On peut aisément les classifier.
• un groupe fuchsien est un groupe kleinien qui préserve un disque dans la sphère de Riemann. On peut les voir comme un analogue en dimension $n-1$ des groupes kleiniens, qu'on aurait étendu à la dimension $n$.
• un groupe quasifuchsien est une déformation d'un groupe fuchsien.
• un groupe de réflexion n'est pas un groupe kleinien à proprement parler. C'est un groupe de transformations de Möbius en dimension 2, engendré par des réflexions le long de cercles. Ces réflexions se prolongent à $\mathbb{H}^3$ en réflexions le long de plans. Notons qu'un tel groupe contient un sous-groupe d'indice $2$ d'éléments préservant l'orientation.
• Les groupes de Schottky
• Géométriquement fini, Géométriquement tame, Topologiquement tame,

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Exemples

Voir la page dédiée.

Espaces des paramètres

Tranches de Bers

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