Pour
étudier les singularités des applications réelles,
une bonne idée est d'étudier les lignes de niveaux le long
d'un chemin passant par la valeur critique, c'est la théorie de
Morse. Pour les applications complexes, la bonne façon de procéder
consiste à suivre les lignes de niveaux le long d'un chemin entourant
la valeur critique. Pour les singularités des applications polynomiales,
John Milnor a développé cette théorie, a mis en évidence
la fibration qui porte son nom et de multiples travaux en ont découlés.
La fibration de Milnor et ses opérateurs de monodromie sont maintenant
bien connus. Néanmoins, toutes ces connaissances décrivent
le comportement local des polynômes au voisinage des points critiques.
Dans ce travail, nous avons pour but d'explorer la fibration polynomiale
globale, dans le cas des polynômes complexes de deux variables à
singularités isolées et principalement ses opérateurs
de monodromie.
La principale
différence entre les deux points de vue est l'apparition de difficultés
venant de l'infini. Nous verrons en effet que l'on peut construire l'opérateur
de monodromie global autour d'une fibre spéciale à l'aide
des opérateurs de monodromies locaux calculés aux voisinages
de ses points singuliers à la condition expresse que cette fibre
soit régulière à l'infini.
Dans le premier
chapitre nous donnons des propriétés du système local
de Gauss-Manin V d'un polynôme de deux variables. L'idée
essentielle est de regarder une compactification lisse des fibres et d'en
déduire une suite exacte courte de systèmes locaux dans laquelle
V est au milieu et où les systèmes locaux extrêmes
sont plus simples. On déduit alors aisément des propriétés
de V. Nous montrons notamment qu'il se décompose en une somme
directe ou l'un des termes est le sous-système trivial, mais nous
donnons aussi un exemple pour lequel il n'est pas semi-simple. Il en découle
des résultats surprenants tel le fait que les systèmes locaux
obtenus en considérant l'homologie ou la cohomologie des fibres
ne sont pas isomorphes en général. Ensuite nous donnons une
façon originale de décrire la représentation de monodromie
associé à un polynôme, en donnant une base qui généralise
en un certain sens les bases de cycles évanescents distingués.
Un exemple est traité en détail.
Dans le
deuxième chapitre de cette thèse, nous poussons beaucoup
plus loin l'étude dans le cas particulier des polynômes hyper-elliptiques.
Bien que limité, cet exemple permet l'illustration de nombreuses
notions et permet le calcul explicite des différents objets : la
cohomologie de la fibre, la connexion de Gauss-Manin, les opérateurs
de monodromies, et même les valeurs propres des matrices résidus,
l'éventuelle section triviale, le D-module associé,
le réseau de Brieskorn,etc. On peut ainsi donner des démonstrations
élémentaires, dans ce cas particulier, de faits connus et
compliqués dans le cas général (tel le théorème
de la monodromie). L'on peut aussi donner des propriétés
spécifiques de ces polynômes, tel le fait que le problème
de Riemann-hilbert concernant la représentation de monodromie associée
aux polynômes hyper-elliptiques admet toujours une solution qui s'exprime
explicitement.
Le troisième
et dernier chapitre de cette thèse présente une méthode
permettant le calcul de la connexion de Gauss-Manin associé à
un polynôme f dans une certaine base. On donne ensuite le
moyen d'en déduire les différents opérateurs de monodromies
de f à similitude près). Quelques exemples d'applications
sont donnés.