TRAVAUX DE RECHERCHE
Points forts des travaux effectués :Mon activité de recherche m'a permis de développer des compétences en analyse numérique et calcul scientifique par l'étude de la résolution des équations modélisant la propagation d'ondes à hautes fréquences en milieu extérieur, au service du CEA-CESTA. J'ai été amené à étudier les différentes étapes de la mise en oeuvre numérique d'une telle résolution. Je me suis tout d'abord intéressé aux équations intégrales de B. Després ([1], [2]). Cette nouvelle formulation intégrale des équations de propagation des ondes autour d'un objet en milieu extérieur aboutit à un système intégral bien conditionné et bien adapté aux résolutions itératives. Par la suite, le but de mes travaux a été la mise en oeuvre d'une nouvelle méthode d'accélération de la résolution de ce type de problème. J'ai donc pris connaissance des nombreuses voies déjà étudiées dont les méthodes de discrétisation microlocale introduites par J.-C. Nédélec et B. Zhou ([3], [4]) d'une part et A. de la Bourdonnaye et M. Tolentino ([5], [6]) d'autre part, ainsi que les méthodes multipôles rapides introduites par V. Rokhlin ([7], [8]) et reprises par de nombreux auteurs ([9], [10], [11], [12], ...). Finalement en couplant deux d'entre elles, la méthode de discrétisation microlocale selon J.-C. Nédélec, et une méthode multipôles rapide, mes travaux ont abouti à une nouvelle méthode très intéressante qui hérite des qualités principales des deux méthodes couplées. L'estimation de la phase du courant due à la discrétisation microlocale permet de réduire considérablement la taille du maillage nécessaire à la résolution (obstacle maillé en 2 longueurs d'onde au lieu du classique 0.1 longueurs d'onde). La méthode multipôles assure une bonne réduction du coût de calcul. Ces travaux de recherche, l'établissement de cette nouvelle méthode, m'ont permis de me familiariser avec de nombreux et récents concepts du calcul scientifique appliqués aux problèmes de l'électromagnétisme.
[1] F. Collino and B. Després : Integral Equations via Saddle Point Problems for Time-Harmonic Maxwell's Equations, Rapport interne Université Paris VI, n 36, Nov. 2000
[2] N. Bartoli and F. Collino : Integral Equations via Saddle Point Problem for Acoustic Problems, M2AN, vol 34, n 5, p 1023-1049, 2000
[3] T. Abboud and J.-C. Nédélec and B. Zhou : Méthodes des équations intégrales pour les hautes fréquences, C. R. Acad. Sci. Paris, n 318, série I, p 165-170, 1994
[4] B. Zhou : Méthode des équations intégrales pour la résolution des problèmes de diffraction à hautes fréquences, Thèse de doctorat, Université Paris XI, Nov 1995
[5] A. de La Bourdonnaye : High Frequency Approximation of Integral Equations Modelizing Scattering Phenomena, Mod. Math. et Anal. Num., vol 28, n 2, p 223-241, 1994
[6] A. de La Bourdonnaye and M. Tolentino : Réduction du conditionnement pour les problèmes de discrétisation microlocale, Rapport de recherche INRIA, n 3277, Oct 1997
[7] R. Coifman and V. Rokhlin and S. Wandzura : The Fast Multipole Method for the Wave Equation: A Pedestrian Prescription, IEEE Ant. and Prop. Mag., vol3, n 3, p 7-12, June 1993
[8] L. Greengard and V. Rokhlin : The Rapid Evaluation of Potential Fields in Three Dimensions, Vortex Methods in Lecture Notes in Mathematics, 1360, Springer Verlag, p 121-141, 1988
[9] E. Darve, Méthodes multipôles rapides : Résolution des équations de Maxwell par formulations intégrales, Thèse de doctorat, Université Paris VI, Juin 1999
[10] J.M. Song and C.-C. Lu and W.C. Chew and S.W. Lee : Fast Illinois Solver Code (FISC) Solves Problems of Unprecedented Size at the Center for Computational Electromagnetics, University of Illinois, Urbana Champaign, IL, Research report n CCEM-23-97, Aug. 1997
[11] E. Michielssen and A. Boag : Multilevel Evaluation of Electromagnetic Fields for the Rapid Solution of Scattering Problems, Microwave Opt. Tech. Letter, vol 7, n 17, p 790-795, Dec. 1994
[12] J. Rahola : Diagonal Forms of the Translation Operators in the Fast Multipole Algorithm for Scattering Problems, BIT, vol 36, n 2, p 333-358, 1996