Une présentation "niveau L1-L2" de l'intégrale de Riemann complétée.
L'intégrale de Riemann complétée est une version améliorée de l'intégrale de Riemann, aussi élémentaire mais bien plus puissante : elle contient l'intégrale de Lebesgue, toutes les intégrales "impropres", elle intègre toutes les dérivées; tous les bons théorèmes (convergence monotone, convergence dominée, Fubini, changement de variable, lien avec les primitives, etc.) s'y appliquent et se démontrent facilement : toutes les preuves sont du niveau des deux premières années de la Licence actuelle. Cette intégrale a été introduite pour la première fois, de manière assez compliquée, par Denjoy en 1912 (par une récurrence transfinie à partir de l'intégrale de Lebesgue), retrouvée par Perron en 1914 par une méthode différente (inspirée de résultats de C. de la Vallée Poussin concernant l'intégrale de Lebesgue) : on parlait autrefois d'intégrale "de Denjoy restreinte" (il existe des intégrales de Denjoy plus fortes), ou "de Denjoy-Perron" ; la présentation complètement élémentaire dont il est question ici est due à Kurzweil et Henstock (vers 1960) : on a parlé un moment d'intégrale "de Kurzweil-Henstock" (voire "de Denjoy-Perron-Kurzweil-Henstock"). Cette "intégrale de Riemann complétée", comme on préfère l'appeler aujourd'hui, est la plus simple des "intégrales à jauge", contruites sur le même modèle, et dont il existe maintenant de multiples exemples.
Vous pouvez trouver en cliquant ci-dessous deux présentations très simplifiées de l'intégrale de Riemann complétée : ce sont des esquisses que j'avais rédigées pendant les discussions qui ont eu lieu en 1998 à l'université de Bordeaux en vue d'un remaniement des programmes de première et deuxième années, afin de juger sur texte de la faisabilité d'un cours sur la question. La première ne contient que les intégrales simples et va relativement droit au but, la seconde est un peu plus détaillée et introduit les intégrales multiples. Elles contiennent, à mon avis, l'essentiel des résultats qui servent vraiment aux étudiants des deux premières années, établis à leur niveau et sans aucune restriction artificielle. Cette présentation concilie le point de vue de Lebesgue, qu'ils retrouveront plus tard, et celui de Cauchy et Riemann, qu'il n'est pas raisonnable d'ignorer...
La présentation simplifiée (22 pages), ne parlant que d'intégrales simples, au format .ps.
Les textes de la "Journée sur l'Intégration"
Une rencontre entre enseignants de classes préparatoires et de l'université, qui a eu lieu le 10 juin 1998 à l'université de Bordeaux:Les "théorèmes de Lebesgue" pour l'intégrale de Riemann, par Jean-Claude Poumarède et Robert Cabane, professeurs de Mathématiques Spéciales au lycée Michel-Montaigne à Bordeaux (13 pages).
L'intégrale de Lebesgue sur un intervalle de R, telle qu'elle peut être enseignée en Licence, par Robert Deville, professeur à l'université de Bordeaux (19 pages).
Le calcul numérique des intégrales, par Christian Batut, maître de conférences à l'université de Bordeaux (16 pages).
Une histoire ancienne de l'intégration (jusqu'à Darboux), par Christian Drouin, Professeur au Lycée de Pauillac, Gironde (7 pages).
L'Intégration en Terminale par Christian Drouin, Professeur au Lycée de Pauillac, Gironde (5 pages).