MSE2320 : Processus aléatoires à temps continu (6 ECTS)

Code apogée

MSE2320

Semestre calendaire

S3

Nombre d'ECTS

6 ECTS

Intitulé du cours

Processus aléatoires à temps continu

Mots clés partie A

Martingales, processus de Poisson, processus markovien de sauts, application à la modélisation de l'état.

Mots clés partie B

Mouvement Brownien, martingales en temps continu, Intégrale et formule d'Itô.

Université

Bordeaux 2

Composante

UFR Sciences et Modélisation

Mention

Ingénierie Mathématique, Statistique et Economique

Specialité

Ingénierie statistique et fiabilité

Objectifs pédagogique partie A

Ce cours a pour objectif de présenter les classes de processus en temps continu à espaces d'états finis et leur utilisation dans la modélisation de l'état d'un système.

Objectifs pédagogique partie B

Ce cours est un cours de base sur les processus aléatoires à temps continu qui a pour objectif d'étudier de manière détaillée le Mouvement Brownien, de présenter dans un cadre général les principales propriétés des martingales en temps continu puis de présenter les outils relatifs au calcul stochastique.

Prérequis

Cours d'introduction au calcul des probabilités MSE2111 (partie A), Notions de base en probabilité, Martingales en temps discret (partie B).

Programme détaillé partie A : Processus à espace d'état discret

1. Introduction
   • Exemples de processus : le processus de Poisson homogène
   • Propriété des trajectoires, continuité à droite, temps de sauts, temps d'attente
2. Etude plus systématique des processus Markoviens de sauts :
   • Définition
   • Générateur, chaîne immergée
   • Application à la modélisation de l'état d'un système et au calcul des grandeurs de fiabilité
   • Processus ponctuels, processus de Poisson non homogènes
   • Application à la modélisation de l'état d'un système et au calcul des grandeurs de fiabilité

Programme détaillé partie B : Calcul Stochastique

1. Introduction aux processus stochastiques, Mouvement Brownien :
   • Notion de processus stochastique, modification d'un processus, processus indistingables, continuité et mesurabilité des processus.
   • Processus et espaces gaussiens.
   • Mouvement Brownien : construction et premières propriétés.
2. Martingales en temps continu :
   • Filtration. Temps d'arrêt : définition, opérations.
   • Martingales : définition, Théorèmes de convergence, inégalités maximales.
   • Théorèmes d'arrêt et applications.
3. Calcul Stochastique :
   • Construction de l'intégrale d'Itô. Propriétés.
   • Formule d'Itô.
   • Equations différentielles stochastiques. Applications (Finance notamment).

Contact partie A

A. Gégout-Petit, MCF, CNU26, Anne.petit@u-bordeaux2.fr

Contact partie B

Delphine Féral, MCF CNU26, Delphine.Feral@math.u-bordeaux1.fr

Equipe pédagogique

A. Gégout-Petit, Delphine Féral.

Volume horaire partie A

10h de cours, 10h de TD.

Modalités de contrôle des connaissances partie A

examen 1h30(=2/3 de la note), contrôle continu(=1/3 de la note).

Volume horaire partie B

10h de cours, 10h de TD.

Modalités de contrôle des connaissances partie B

examen 1h30(=2/3 de la note), contrôle continu(=1/3 de la note).