Systèmes hyperboliques non conservatifs

Bordeaux, 3-4 octobre 2016

Comité d'organisation

Stéphane Brull Stephane.Brull@math.u-bordeaux1.fr
Denise Aregba Denise.Aregba@math.u-bordeaux1.fr



Présentation du workshop

Cette rencontre a pour but de mettre en contact des mathématiciens intéressés par les problèmes actuels liés aux systèmes hyperboliques non conservatifs. Ces systèmes interviennent de manière massive notamment en mécanique des fluides, en physique des plasmas mais leur étude est à ce jour largement incomprise.

La langue de ce workshop sera le Français. Des interventions invitées d'environ 50 minutes se succèderont sur une journée et demi.

Inscription

L'inscription est obligatoire même s'il n'y a pas de frais d'inscriptions Vous pouvez vous enregistrer en envoyant un mail à Stéphane Brull jusqu'au 20 septembre .

Programme


lundi 3 octobre

14h00-15h00 V. Pavan
15h00-16h00 S. Brull
16h00-16h30 Pause café
16h30-17h30 C. Chalons
20h00 Dîner au Bistrot du Musée


mardi 4 octobre

9h30-10h30 L. Gosse
10h30-10h50 Pause café
10h50-11h50 X. Lhébrard
12h00-14h00 Déjeuner au restaurant Le Taïaut
14h00-15h00 M. Briani
15h00-16h00 O. Lafitte


Liste des orateurs:

Maya Briani (Rome) : Asymptotic high order schemes for dissipative hyperbolic systems
Abstract: We consider finite difference schemes which approximate one-dimensional dissipative hyperbolic systems. Using precise analytical time-decay estimates of the local truncation error, we show that it is possible to introduce some suitable modification in standard upwinding schemes to design schemes which are increasingly accurate for large times when approximating small perturbations of stable asymptotic states, respectively, around stationary solutions and in the diffusion (Chapman-Enskog) limit

Laurent Gosse (Rome) : Différences finies pour des divergences covariantes (via un schéma "équilibre")
Abstract: En faisant une approximation WKB standard sur l'equation de Schrodinger 1D avec potentiel, on obtient un système eikonal-transport, dont on peut extraire une loi de Burgers avec terme source. Toutefois, une difficulté vient du fait qu'on a besoin, non pas de la solution Kruzkov habituelle, mais d'une extension "multi-branch", permettant de reproduire les phénomènes d'interférence. Un formalisme cinétique "K-multi-branch" a été développé par Brenier et Corrias en 1998, et il est possible, en exploitant des idées du schéma Perthame-Siméoni, d'en déduire une approximation "well-balanced" très robuste, en particulier capable de résister aux situations de résonance non-linéaire. Grace à des calculs classiques, on peut reformuler un tel schéma numérique pour K=2 dans un espace-temps "à la Newton-Cartan" en 1+1 dimensions: on voit alors que les termes sources correspondent aux coefficients de Christoffel pour la connexion associée. Le schéma "équilibre", qui inclut ces termes dans l'expression des flux numériques, produit donc une discrétisation directe de la divergence covariante. Ces idées peuvent, en outre, s'appliquer à l'approximation numérique d'un modèle d'hydrodynamique relativiste en 1+1 dimensions, parfois appelé "R=T".

Vincent Pavan (Université d'Aix-Marseille) : Dégénérescence des équations de Stefan-Maxwell
Abstract: talk.pdf


Christophe Chalons (Université de Versailles, Saint-Quentin en Yvelines) :
Abstract:

Xavier Lhébrard (CELIA): Modélisation et approximation numérique du modèle MHD bitempérature
Abstract: Ce travail s'effectue dans le contexte de la fusion par confinement inertiel. Dans cette situation physique, l'échelle de temps caractéristique du phénomène est plus courte que le temps de collision entre les ions et les électrons. L'équilibre thermique n'est pas donc atteint. De plus, lors de la phase finale du confinement, la cible est pénétrée par des électrons relativistes induisant un champs magnétique fortement variable. Il est donc nécessaire d'établir un modèle de magnétohydrodynamique hors équilibre thermique afin de prendre en compte l'influence des champs magnétiques. Ainsi, nous nous sommes intéressés à un système de MHD bitempérature qui est un système hyperbolique nonconservatif. L'exposé se fera en deux parties. Dans un premier temps on établira ce système comme limite hydrodynamique d'un modèle cinétique conservatif sous-jacent. On verra que cela permet une meilleure interprétation physique du modèle, en particulier des termes nonconservatifs. Dans un second temps on s'intéressera à l'approximation numérique par une méthode volumes finis des solutions faibles du système. On expliquera comment développer un solveur de Riemann approché par une méthode de relaxation. L'objectif de la méthode est de satisfaire à la fois des propriétés de précision, robustesse et stabilité. Concernant la précision, la méthode permet de résoudre exactement les discontinuités de contact. Concernant la robustesse, la méthode préserve simultanément la positivité de la densité et des énergies internes. Enfin concernant la stabilité, on est capable de démontrer que le schéma satisfait une inégalité d'entropie discrète.

Olivier Lafitte (Paris 13): Derivation of the conductivity operator in plasma physics from Vlasov equation
Abstract: One of the problems of plasma physics is to derive the conductivity operator, which links the electric current and the electric field j=sigma E and to study the properties of this operator. We propose an analysis of this operator through the resolution of the linearized vlasov equation around an imposed magnetif field and a given maxwellian density, using the concept of causal solution of the Vlasov equation, hence giving the admissible Cauchy data. We deduce from this analysis the properties of the conductivity operator. This is a joint work with omar Maj (IPP, NMPP, Garching, Germany)

Stéphane Brull (IMB): Modélisation et approximation numérique d'un système d'Euler bitempérature non-conservatif
Abstract: Ce travail est dédié à l'étude du système d'Euler bitempérature dans le cadre de la physique des plasmas. Physiquement, ce modèle décrit l'interaction entre une espèce d'ions et une espèce d'électrons hors équilibre thermodynamique. Or, la résolution d'un système hyperbolique non-conservatif s'avère être un problème délicat à appréhender car la définition des solutions admissibles demeure un problème difficile. Dans le cas présent, on considèrera des solutions faibles obtenues comme limite d'un modèle cinétique couplé aux équations d'Ampère et de Poisson pour un scaling approprié. Cette approche généralise en particulier un travail antérieur réalisé dans un cadre monoatomique. De plus, on peut montrer que ce système possède une paire entropie/flux d'entropie strictement convexe compatible avec l'entropie de Boltzmann. Enfin on dérive un schéma cinétique basé sur une approche de type transport projection. Ainsi, en partant du modèle cinétique conservatif et en utilisant à nouveau une procédure de Chapman-Enskog, on obtient une discrétisation des flux du système d'Euler. Finalement, ce schéma est comparé à d'autres schémas: Lagrange-projection, schémas de relaxation, schémas BGK discrets.

Confirmed Participants:

Stéphane Brull Denise Aregba Christophe Chalons
Vincent Pavan Sébastien Guisset Teddy Pichard
Bruno Dubroca Maya Briani Xavier Lhébrard
Corentin Prigent Laurent Gosse David Lannes
Olivier Lafitte Philippe Le Floch Simon Peluchon
Gérard Gallice Nicolas Popoff Krisztian Benyo
Thana Nguyen Bui Afaf Bouharguane Rafick Imekraz
Benjamin boutin

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