Modèles aux moments en théorie cinétique

Bordeaux, 8-9 novembre 2018

Comité d'organisation

Stéphane Brull Stephane.Brull@math.u-bordeaux1.fr



Présentation du workshop

De nombreux modèles physiques sont basés sur l'hypothèse d'être situés à l'equilibre thermodynamique, comme par exemple les équations d'Euler et de Navier-Stokes. Cependant pour certains systèmes situés hors équilibre cette hypothèse reste illicite. A ce propos, les modèles cinétiques comme l'équation de Boltzmann sont valides dans de telles situations. Cependant ces modèles demeurent trop coûteux sur le plan numérique. Les modèles aux moments constituent alors un bon compromis entre la précision des modèles cinétiques et le faible coût des modèles fluides. Ces modèles interviennent dans des domaines variés comme la physique des plasmas, les gaz raréfiés, la radiothérapie....
Cette rencontre sera l'occasion de mettre en contact des chercheurs intéressés par des problèmes actuels liés aux modèles aux moments.

La langue de ce workshop sera le Français. Des interventions invitées d'environ 50 minutes se succèderont sur une journée et demi.

Inscription

L'inscription est obligatoire même s'il n'y a pas de frais d'inscriptions Vous pouvez vous enregistrer en envoyant un mail à Stéphane Brull jusqu'au 20 septembre .

Programme


jeudi 8 novembre

14h00-15h00 Corentin Prigent
15h00-16h00 Frédérique Laurent
16h00-16h30 Pause café
16h30-17h30 Ruben di Battista
20h00 Dîner au Bistrot du musée


vendredi 9 novembre

9h30-10h30 Stéphane Brull
10h30-11h00 Pause café
11h00-12h00 Vincent Pavan
12h00-14h00 Déjeuner à la brasserie du forum
14h00-15h00 Teddy Pichard
15h00-16h00 Océane Saicir


Liste des orateurs:

Ruben di Battista (CMAP-Ecole polytechnique) : High order moment methods and interface geometry for the modeling and simulation of evaporating polydisperse sprays
talk.pdf

Teddy Pichard (CMAP-Ecole polytechnique) : On the realizability property of moment models talk.pdf
Abstract: La méthode des moments est utilisée ici afin de réduire les coûts de résolution numérique d'une équation cinétique. Elle consiste à étudier les moments (intégrales pondérées) de l'équation plutôt que l'équation elle-même. Il en résulte un système d'équations sous-déterminé, qu'il faut fermer en reconstruisant une fonction cinétique sous-jacente à partir d'un vecteur de moments. Les contraintes de réalisabilité apparaissent lorsque l'on impose la positivité ou le caractère borné à cette reconstruction. Imposer cette propriété permet d'améliorer la modélisation de certains régimes physiques ou d'améliorer l'approximation faite via la méthode des moments. Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats autour du problème des moments et leur application pour la construction de fermetures.

Vincent Pavan (Université d'Aix-Marseille) : Problèmes aux moments pour la théorie cinétique talk.pdf
Abstract: Le problème des moments est un sujet classique des mathématiques, qui a donné et donne toujours lieu à un travail important. Dans sa forme la plus canonique, ce problème est connu pour le lien qu'il entretient avec la recherche des polynômes positifs et le fameux 17 ième problème de Hilbert. La richesse et la complexité de l'information disponible sur cette question en font un thème très délicat à aborder, où la subtilité et la finesse des résultats invitent à beaucoup de précaution. Dans le développement de la théorie cinétique, le problème des moments "réalisables" a pris une place très importante dans la construction des opérateurs de BGK et dans la méthode dite des moments, connue également dans son expression via la Rational Extended Thermodynamics. Dans ce workshop, nous rappelons des résultats connus sur la caractérisation des moments sur les polynômes multivariés. Nous donnons des caractérisations de moments réalisables via des calculs d'entropie. Nous utilisons ensuite ces caractérisations pour construire des applications conservant les moments réalisables. Nous terminons enfin par montrer que les moments réalisables peuvent être utilisés dans les constructions d'opérateur de BGK par des problèmes de minimisation utilisant la phi-divergence.

Corentin Prigent (IMB) : Numerical method for the nonconservative bitemperature Euler system
Abstract: talk.pdf


Frédérique Laurent (Laboratoire EM2C - CNRS, CentraleSupélec, Université Paris-Saclay) : Extended Quadrature Method of Moments talk.pdf
Abstract: Dans de nombreuses applications industrielles, comme les chambres de combustions aéronautiques ou automobiles ou les moteurs à propulsion solide, on a besoin d'une description précise des sprays ou aérosols présents, qui sont des populations de gouttes inertielles ou de particules non inertielles. En particulier, leur taille et leur dynamique, corrélée à cette taille, doivent être bien prédites, que ce soit pour une bonne évaluation de la répartition des gouttes dans l'écoulement et de leur évaporation que parce que la taille des particules est l'information directement recherchée (comme pour les suies). A partir d'une description cinétique de cette population, différents types de méthodes de simulation sont utilisées. Comparées aux méthodes de Monte-Carlo ou aux méthodes sectionnelles (méthodes eulériennes utilisant une discrétisation de taille), les méthodes de moments sont très attractives, compte tenu de leur coût de calcul inférieur à précision fixe. Parmi celles-ci, la méthode dite EQMOM (Extended Quadrature Method of Moments) permet une fermeture jusqu'au bord de l'espace des moments, où la distribution est à support discret. Pour des moments en tailles, cela implique que des populations à une seule taille peuvent aussi être décrites (taille de création par exemple) ainsi que leur évolution vers une population polydispersée. Pour les moments en vitesse, cela implique que des distributions mono-cinétiques, présentes a priori dans certaines zones de l'écoulement, vont pouvoir aussi être représentées. De plus, des schémas numériques réalizables, c'est à dire garantissant que les variables restent des moments de mesures positives, et précis sont conçus, notamment dans le cas des moments en taille pour l'opérateur correspondant à une décroissance continue de la taille des particules (évaporation ou oxydation) et celui correspondant au transport de moments. Comme il peut être atteint dans les applications, une attention particulière est alors accordée au bord de l'espace du moment.

Stéphane Brull (IMB): Derivation principle of BGK models talk.pdf
Abstract: In this talk we will present a derivation principle of BGK models using the resolution of an entropy minimization problem. The construction is based on the introduction of relaxation coefficients and a principle of entropy minimization under constraints for moments. These free parameters are next ajusted to transport coefficients when performing a Chapman-Engskog expansion up to Navier-Stokes. Firstly, the methodology will be explained and illustrated for a monoatomic and polyatomic single gas. Next the case of gas mixtures is considered. In this part, after clarifying the Chapman-Engskog, a BGK model is derived. This BGK model is proved to satisfy Fick and Newton laws. In a last part, we will explain how to extend our model to reacting gas mixtures.

Océane Saincir (Laboratoire de Mathématiques de Reims et Laboratoire Univers et Théories, Observatoire de Paris) : Hydrodynamique radiative en physique stellaire talk.pdf
Abstract: Pour l'étude d'écoulements intervenant en physique stellaire tels que la propagation d'un jet d'étoile jeune ou bien l'explosion d'une supernova, différents modèles couplant l'hydrodynamique et le transfert de rayonnement existent dans la littérature astrophysique. L'une des stratégies utilisées consiste à coupler les équations d'Euler avec le modèle M1 obtenu à partir des deux premiers moments de l'équation du transfert radiatif. Ce modèle comprend à la fois les variables hydrodynamiques classiques (densité, pression, champ de vitesse et énergie totale) ainsi que les variables radiatives (énergie radiative, flux radiatif et pression radiative). Lorsque le milieu est optiquement très épais, le libre parcours moyen des photons est très petit devant la longueur caractéristique du milieu et les effets radiatifs peuvent être considérés comme locaux. Il est alors possible de montrer que le modèle complet se réduit à un modèle simplifié où une équation de diffusion est ajoutée pour tenir compte des processus radiatifs. L'avantage d'un tel modèle est de gagner considérablement en temps de calcul pour la simulation d'écoulements relevant de cette hypothèse. Nous nous intéresserons dans cet exposé à la résolution numérique de ces différents modèles et nous présenterons des résultats numériques obtenus dans différents régimes pour le rayonnement.

Participants:

Stéphane Brull Denise Aregba Ruben di Battista
Vincent Pavan Corentin Prigent Teddy Pichard
Frédérique Laurent-Nègre Luc Mieussens Jean Lachaud
Roxane Letournel Bruno Dubroca Océane Saincir
Thana Nguyen Bui

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