Séminaire Géométrie

On peut regarder la propriété d'acylindricité comme une généralisation d'un réseau dans un groupe localement compact et à base dénombrable. Ces dernières années, l'utilité de cette propriété a été démontrée par la surgance des résultats concernant les groupes qui agissent acylindriquement sur un espace hyperbolique. Bien-sûr, les arbres sont des exemples d'espaces hyperboliques, et quand on considère des produits, on voit des phénomènes qui ne sont pas présents en rang-1, comme les réseaux simples Burger-Mozes-Wise, et les noyaux Bieri-Stallings-Bestvina-Brady.

En collaboration avec S. Balasubramanya, nous introduisons une nouvelle classe de groupes à courbure non-positive. Nous regardons la théorie des réseaux semi-simples S-arithmétiques comme une source d'inspiration et étendre la théorie de l'acylindricité au rang supérieur et nous considérons des produits finis d'espaces delta-hyperboliques. La catégorie est fermée par produit direct, sous-groupes et super-groupes d'indice fini. On a aussi des réseaux qui ne sont pas uniformes, On introduit la définition de l'AU-acylindricité (i.e. Acylindricité of Uniformité Ambiguë) et ça nous permet d'avoir une théorie qui contient tous les réseaux semi-simples S-arithmétiques avec des facteurs de rang-1, les groupes hiérarchiquement hyperboliques (HHGs), la déjà riche classe des groupes acylindriquement hyperboliques, et beaucoup plus !

Dans cet exposé, on va discuter deux résultats dans ce contexte. Le premier, c'est une alternative de Tits. Le deuxième sera, si en plus, on a que la projection à chaque facteur est une action de type général, qu'un tel groupe G admet alors une décomposition canonique en produit. Ce type de semi-simplicité descend à Out(G), donnant ainsi une résolution partielle d'une conjecture récente de Sela (2023).

Un élément g d’un groupe G est dit distordu s’il existe une famille finie S dans G qui engendre g et telle que la longueur de g^n pour la métrique des mots associée à S est négligeable par rapport à n (en général, elle croît au plus linéairement en n). Cette notion très utile fournit notamment des obstructions à plonger certains groupes dans d’autres. 

Ici, on cherchera à identifier les éléments distordus des groupes de difféomorphismes du segment en différentes régularités. On présentera notamment des obstructions naturelles à la distorsion (telles que la présence de points fixes hyperboliques en régularité $C^1$ et la positivité de la variation asymptotique en régularité supérieure) et on se demandera si ce sont les seules, ou au moins si « la plupart » des difféomorphismes pour lesquels ces obstructions sont absentes sont effectivement distordus.

Un fameux théorème de Laudenbach et Poénaru dit que tout difféomorphisme du bord d'un corps à 1-anses de dimension 4 s'étend en un difféomorphisme de tout le corps-en-anses. Je présenterai une nouvelle preuve de ce résultat et une généralisation aux corps de compression de dimension 4. J'expliquerai aussi en quoi ce résultat est essentiel dans la théorie des variétés compactes de dimension 4.

Pour un groupe G donné, on veut décrire les actions possibles de G par homéomorphismes de la droite, à semi-conjugaison près. Lorsque G est de type fini, on peut faire cela à travers l'étude de la dynamique d'un flot sur un espace compact. On décrira ce flot dans plusieurs exemples, et on discutera de certaines applications. Il s'agit d'un projet en collaboration avec Brum, Matte Bon, et Rivas.

Nous utilisons la fonction zêta de Selberg pour étudier le comportement limite des résonances dans une famille dégénérative de groupes de Schottky kleiniens. Nous prouvons qu'après un redimensionnement approprié, les fonctions zêta de Selberg convergent vers la fonction zêta d'Ihara d'un graphe fini associé au groupe de Schottky non-archimédien agissant sur la droite projective de Berkovich.

De plus, nous montrons que ces techniques peuvent être utilisées pour obtenir un terme d'erreur exponentiel dans un résultat de McMullen (récemment étendu par Dang et Mehmeti) sur l'asymptotique du taux d'annulation de la dimension de Hausdorff d'ensembles limites de certains groupes de Schottky en dégénérescence des surfaces symétriques à trois entonnoirs. Ici, une idée clé est d'introduire une fonction zêta intermédiaire capturant à la fois les informations non archimédiennes et archimédiennes (tandis que les fonctions zêta traditionnelles de Selberg, respectivement d'Ihara, ne concernent que les propriétés archimédiennes, respectivement non archimédiennes). Travail en collaboration avec Carlos Matheus, Wenyu Pan, Zhongkai Tao.

Les travaux de Mañé-Sad-Sullivan et Lyubich (années 80) caractérisent le lieu de bifurcation d'une famille de fractions rationnelles ou de polynômes d'une variable complexe, vus comme des systèmes dynamiques. Par la suite (années 2000) DeMarco, Bassanelli, Berteloot et d'autres ont, à l'aide de méthodes issues de la théorie du pluripotentiel, introduit une mesure naturelle appelée la mesure de bifurcation, dont le support est strictement inclus dans le lieu de bifurcation, et qui détecte les bifurcations "maximales". On présentera un résultat récent sur l'existence de disques holomorphes contenus dans le support de cette mesure, dans le cas où la famille est celle des polynômes cubiques.

Travail en collaboration avec Davoud Cheraghi et Arnaud Chéritat.