Déformation quasiconforme
En bref : si on dispose d'un champ d'ellipses invariant par un groupe Kleinien $\Gamma$, alors on considère l'homéomorphisme quasiconforme $\phi$ qui le redresse en le champ de cercle, et le groupe conjugué conjugué $\phi \Gamma\phi^{-1}$ est encore un groupe Kleinien.
Déformations sur l'ensemble de discontinuité
On part d'un groupe Kleinien $\Gamma$ dont l'ensemble limite n'est pas toute la sphère. Le groupe a le droit d'être de type fini ou de ne pas l'être. La surface de Riemann quotient (ou l'orbifold) $\Omega(\Gamma)/\Gamma$ est donc non vide et sauf cas exceptionnels, déformable au sens où son espace de Teichmüller est non-réduit à un point. Cela signifie qu'il existe des homéomorphismes quasiconformes de $S=\Omega(\Gamma)/\Gamma$ vers une autre surface de Riemann S' (une autre dans l'espace de Teichmüller: elle peut lui être isomorphe mais les marquages du groupe fondamental ou du bord idéal diffèrent). Sa dérivée de Beltrami est un champ d'ellipses qu'on peut relever à tout l'ensemble de discontinuité par la projection canonique :$\Omega(\Gamma)\to\Omega(\Gamma)/\Gamma$. On étend le champ à toute la sphère en le posant à 0 (le champ de cercles) sur l'ensemble limite: c'est pertinent dans le cas où ce dernier est de mesure de Lebesgue non nulle. On considère l'homéomorphisme quasiconforme $\phi$ qui redresse le champ d'ellipses. Tout élément conjugué $\phi g\phi^{-1}$ avec $g\in\Gamma$ préserve alors le champ de cercle et est donc holomorphe: $\phi \Gamma\phi^{-1}$ est un groupe d'homographies. Il est Kleinien car discret, ce qui se vérifie par exemple en constatant que l'identité est isolée. L'ensemble limite de $\Gamma'=\phi \Gamma\phi^{-1}$ est l'image par $\phi$ de celui de $\Gamma$, et le quotient $\Omega(\Gamma')/\Gamma'$ est isomorphe à S'. Donc si S' n'est pas isomorphe à S, on est certain d'avoir obtenu un groupe qui n'est pas conjugué à $\Gamma$ par une homographie. Cependant on peut parfois obtenir des nouveaux groupes pour des S' isomorphes à S (mais avec la composée de $\phi$ et de cet isomorphisme pas isotope à l'identité): la section suivante permet d'y voir plus clair.
Point de vue des représentations
La construction ci-dessus donne une application analytique de Teich(S) vers l'ensemble des représentations discrètes du groupe $\Gamma$, vu comme groupe abstrait, dans le groupe des homographies de $\widehat{\mathbb{C}}$, modulo conjugaison par un Möbius.
Cette affirmation nécessite quelques éclaircissements :
- l'application est bien définie : le groupe $\Gamma'$ obtenu ne dépend pas des choix effectués dans la construction mais uniquement de la classe $[\phi]$ de $\phi$ dans Teich(S).
- l'analyticité vient du fait (théorème d'Ahlfors-Bers) que la solution de l'équation de Beltrami dépend de façon analytique de $[\phi]$.
L'application est injective :
à la question (énoncée plus haut) des groupes conjugés, ou chercher la réponse dans la littérature sur le sujet
