Topologiquement modéré

Pour les variétés

On considère ici des $3$-variétés à bord et non nécessairement compactes.

Une 3-variété M est topologiquement modérée (traduction de tame) si elle est homéomorphe à X-F, où X est une variété compacte et F un fermé du bord $\partial X$. Si M est ouverte (i.e. sans bord) elle est simplement homéomorphe à $X-\partial X$, l'intérieur de X.

Commentaires

Si $M$ n'est pas ouverte cela autorise des pathologies du genre : la boule unité fermée moins un Cantor dans son bord.

Dans la suite on suppose M ouverte.

Conséquences topologiques : soit M une 3-variété topologiquement modéré et ouverte

• M est réunion d'une variété compacte $M_1$ et de $S\times [0,+\infty)$ où $S$ est une surface compacte et $M_1 \cap S\times [0,\infty) = \partial M_1 = S \times\{0\}$.
• $\pi_1(M)$ est de présentation finie
• Mieux : pour toute sous-variété compacte $C \subset M$, $\pi_1(M-C)$ est aussi de présentation finie (pour chaque composante connexe).

La dernière propriété caractérise en fait les variétés topologiquement modérées chez les variétés irréductibles, c'est le critère de Tucker (voir ci-dessous). Rappelons que $M$ est irréductible si toute $S^2 \subset M$ borde une boule $B^3 \subset M$.

Théorème (Critère de Tucker) Une $3$-variété ouverte irréductible est topologiquement modérée si et seulement si pour toute sous-variété compacte $C \subset M$, $\pi_1(M-C)$ est finiment engendré.

Par exemple la variété de Whitehead W est irréductible et non-tame. Son $\pi_1$ est trivial donc finiment engendré, mais on peut trouver une courbe simple explicite dans W dont le complémentaire a un $\pi_1$ qui n'est pas finiment engendré.

Voici un contre-exemple au sens non-trivial du critère, dans le cas où on ne suppose pas la variéte irréductible: R³ privé d'une suite de boules (fermées disjointe tendant vers l'infini) a également un $\pi_1$ trivial.

D'après un théorème de Scott, si le groupe fondamental d'une $3$-variété est finiment engendré il est finiment présenté.

Pour les bouts

Un bout est topologiquement modéré s'il admet un voisinage homéomorphe à $S\times[0,+\infty[$ où $S$ est une surface (et tel que le bout se trouve à l'infini).