Variété hyperbolique

Soit $H^n$ l'espace hyperbolique de dimension $n$. La boule unité (ouverte) de l'espace euclidien, munie de la métrique riemannienne $4|dx|^2/(1-|x|^2)$, est un modèle classique de $H^n$. L'action du groupe d'isométries $Isom(H^n) \simeq PO(n,1)$ se prolonge en une action conforme sur la sphère unité (bord de $H^n$). En dimension $n=3$, le groupe des isométries directes de l'espace hyperbolique est isomorphe à $PSL_2(C)$ et son action au bord est l'action projective usuelle (par homographies) sur la sphère de Riemann.

Une variété hyperbolique $M$ (de dimension $n$) est une variété localement modelée sur $H^n$ (donnée d'un atlas de $M$ dont les changements de coordonnées sont des restrictions d'isométries de $H^n$). La développante d'une telle structure est une isométrie locale du revêtement universel $\widetilde{M}$ à valeur dans le modèle $H^n$. Si de plus $M$ est complète, la développante est un revêtement, donc une isométrie entre $\widetilde{M}$ et $H^n$. Toute variété hyperbolique complète est ainsi isométrique à un quotient du modèle $H^n$ par un sous-groupe discret $\Gamma$ de $Isom(H^n)$ agissant sans points fixes sur $H^n$ (uniformisation géométrique). En particulier le modèle $H^n$ est à isométrie près la seule variété hyperbolique 1-connexe et complète de dimension $n$.