Séminaire Analyse

We introduce a new class of Sturm-Liouville operators with periodically modulated parameters. Their spectral properties depend on the monodromy matrix of the underlying periodic problem computed for the spectral parameter equal to 0. Under some assumptions, by studying the asymptotics of Christoffel functions and density of states, we are able to prove that the spectral density is a continuous function positive everywhere on the real line. This is a joint work with Bartosz Trojan (Wrocław University of Science and Technology).

Dans cet exposé, j'expliquerai que les multiplicateurs aux cycles de périodes $1$ et $2$ fournissent une bonne description de l'espace $\mathcal{P}_{d}$ des polynômes de degré $d$ modulo conjugaison par une transformation affine. Plus précisément, les fonctions symétriques élémentaires des multiplicateurs aux cycles de périodes $1$ et $2$ induisent un morphisme birationnel fini de $\mathcal{P}_{d}$ sur son image. Ce résultat est une conséquence directe des deux énoncés suivants : (1) Pour tout $p \geq 2$, une suite de polynômes complexes de degré $d$ avec multiplicateurs bornés en ses cycles de période $p$ est nécessairement bornée dans $\mathcal{P}_{d}(\mathbb{C})$. (2) Une classe de conjugaison générique de polynômes complexes de degré $d$ est déterminée de façon unique par ses multiplicateurs en ses cycles de périodes $1$ et $2$. Je présenterai une version quantitative de l'énoncé (1). L'énoncé (2) démontre une conjecture de Hutz et Tepper et précise un résultat récent de Ji et Xie dans le cas polynomial.

In this talk, I will discuss small-time local controllability near the ground state of a bilinear Schrödinger equation with Neumann boundary conditions. I will present a new result stating that if the linearized system is not controllable, then a Lie bracket-like condition ensures that either the nonlinear system is controllable or it exhibits a quadratic obstruction. I will give some ideas of proof. This is joint work with Karine Beauchard and Frédéric Marbach.