La semaine de l’IMB

Un élément g d’un groupe G est dit distordu s’il existe une famille finie S dans G qui engendre g et telle que la longueur de g^n pour la métrique des mots associée à S est négligeable par rapport à n (en général, elle croît au plus linéairement en n). Cette notion très utile fournit notamment des obstructions à plonger certains groupes dans d’autres. 

Ici, on cherchera à identifier les éléments distordus des groupes de difféomorphismes du segment en différentes régularités. On présentera notamment des obstructions naturelles à la distorsion (telles que la présence de points fixes hyperboliques en régularité $C^1$ et la positivité de la variation asymptotique en régularité supérieure) et on se demandera si ce sont les seules, ou au moins si « la plupart » des difféomorphismes pour lesquels ces obstructions sont absentes sont effectivement distordus.

The Lang-Trotter Conjecture on primitive points is the analogue for elliptic curves of Artin's conjecture on primitive roots. Indeed, if we have an elliptic curve $E$ over $\mathbb Q$ with a rational point $P$ of infinite order, we may count the primes $p$ of good reduction for which $(P \bmod p)$ generates $E(\mathbb F_p)$. We formulate and investigate some natural variants of the Lang-Trotter Conjecture. For example, we require that the order of the point $(P \bmod p)$ equals the exponent of the group $E(\mathbb F_p)$: this means that the subgroup generated by the point is as large as possible, and the condition is meaningful also for non-cyclic groups. This is joint work with Alexandre Benoist.