Séminaire Calcul Scientifique et Modélisation

La motilité cellulaire est un phénomène impliqué dans de nombreux processus biologiques tels que la propagation des cancers, la réponse immunitaire, la cicatrisation ou le développement embryonnaire. Après avoir présenté le contexte biologique, je présenterai un modèle à frontière libre en dimension 2 modélisant ce phénomène. Je présenterai des résultats sur l'existence et la stabilité d'états stationnaires. Enfin je présenterai un schéma numérique aux éléments finis permettant de réaliser des simulations numériques mettant en avant l'influence du noyau sur la motilité cellulaire.

Cette étude s'intéresse aux phénomènes géophysiques, et plus particulièrement aux courants de densité pyroclastiques, des mélanges complexes composés de pyroclastes, de fragments rocheux et d'air. Ces phénomènes destructeurs, capables de parcourir de grandes distances et d'impacter des zones urbanisées, se distinguent par leur capacité à se propager même sur des terrains à faible pente. La fluidisation et la dilatation de ces matériaux granulaires denses semblent jouer un rôle clé dans ces dynamiques. Des approches de modélisation ont ainsi été développées pour approfondir leur compréhension.

Un modèle de mélange fluide-solide, adapté pour intégrer les propriétés spécifiques du gaz interstitiel, a été utilisé. La compressibilité du gaz permet de reformuler l'équation de conservation de la masse de la phase gazeuse en une équation dépendant de la pression. Pour décrire la dynamique de la phase solide, l'équation de quantité de mouvement de cette phase est complétée par des lois constitutives basées sur une rhéologie seuil et une fonction de dilatance. La divergence du champ de vitesse, qui reflète la capacité de l'écoulement granulaire à s'étendre ou à se comprimer, dépend ainsi de la fraction volumique, la pression, le taux de déformation et le nombre inertiel. Ce cadre théorique fournit une description réaliste et robuste des écoulements granulaires non-isochore fluidisés et constitue une base solide pour des études numériques.

On the mesoscopic level, motion of individual particles can be modeled by a kinetic transport equation for the population density $f(t,x,v)$ as a function of time $t$, space $x$ and velocity $v \in V$. A relaxation term on the right hand side accounts for scattering due to self-induced velocity changes and typically involves a parameter $K(x,v,v')$ encoding the probability of changing from velocity $v'$ to $v$ at location $x$:

\begin{equation} onumber

\partial_t f(t,x,v) + v \cdot abla f(t,x,v) = \int K(x,v,v') f(t,x,v') - K(x,v',v)f(t,x,v) dv' .

\end{equation}

This hyperbolic model is widely used to model bacterial motion, called chemotaxis.

We study the inverse parameter reconstruction problem whose aim is to recover the scattering parameter $K$ and that has to be solved when fitting the model to a real situation. We restrict ourselves to macroscopic, i.e. velocity averaged data $\rho = \int f dv$ as a basis of our reconstruction. This introduces additional difficulties, which can be overcome by the use of short time interior domain data. In this way, we can establish theoretical existence and uniqueness of the reconstruction, study its macroscopic limiting behavior and numerically conduct the inversion under suitable data generating experimental designs.

This work based on a collaboration with Kathrin Hellmuth (W\"urzburg, Germany), Qin Li (Madison, Wisc., USA) and Min Tang (Shanghai, China).