Séminaire Géométrie

Soit $K$ un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. Soit $f \in K[[x,y]]$ une série réduite et $r(f)$ le nombre de ses facteurs irréductibles. Soit $\mathcal{O}=K[[x,y]]/(f)$ et $\overline{\mathcal{O}}$ sa cloture intégrale. On note $\delta(f)=\dim_K \overline{\mathcal{O}}/\mathcal{O}$ et $\mu(f)=\dim_K K[[x,y]]/(f'_x,f'_y)$, le nombre de Milnor. Milnor a montré en 1968 que si $K=\mathbb{C}$,

$$\mu(f)=2\delta(f)-r(f)+1.$$

En 1973, Deligne a montré que si la caractérisque de $K$ est arbitraire

$$\mu(f)\geq 2\delta(f)-r(f)+1.$$

Le but de cet exposé est d'énoncer une conjecture sur la caractéristique de $K$ pour avoir l'égalité.

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur la surface. Déterminer la systole maximale possible d'une surface hyperbolique d'une topologie donnée est une question classique en géométrie hyperbolique. Je vais parler d'un travail commun avec Mingkun Liu sur la question de ce que les constructions aléatoires peuvent apporter à ce problème d'optimisation.

On dit qu'une classe de groupes de type fini satisfait une alternative de Tits si chacun de ces groupes est soit "petit" (le sens peut dépendre du contexte), soit contient un groupe libre. L'alternative de Tits originelle concerne les groupes linéaires (et dans ce cas petit signifie virtuellement résoluble). Depuis, elle a été démontrée dans de nombreux contextes géométriques, souvent en courbure négative : groupes agissant sur des espaces hyperboliques, sous-groupes de groupes modulaires de surfaces ou de Out(F_N), groupes agissant sur des complexes simpliciaux avec des bonnes propriétés de courbure, etc.

Je présenterai une nouvelle preuve de l'alternative de Tits pour les groupes agissant sur des immeubles de type Ã_2 (objets que j'introduirai). La nouveauté de notre approche est qu'elle se base sur des marches aléatoires. On démontre également au passage un théorème "local-global" : un groupe dont tous les éléments fixent un point a un point fixe global. C'est un travail en commun avec Corentin Le Bars et Jeroen Schillewaert.