Séminaire Géométrie

Une courbe (complexe) plane est le lieu des zéros dans CP2 d’un polynôme homogène en trois variables. Toute courbe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini-Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Le Principe Fondamental d'Euler-Ehenpreis-Palamodov suivant lequel toute solution d'un système homogène d'équations aux dérivées partielles s'avère être une superposition de solutions dites élémentaires relève certes de l'analyse (Fourier, distributions), mais plus encore de la géométrie (analytique et algébrique): résolution des singularités, équations de Bernstein-Sato, théorème des syzygies et théorie des résidus en plusieurs variables complexes. Tout reste à faire par contre lorsque tout un pan de l'algébricité est perdu, comme c'est par exemple le cas lorsque viennent se greffer aux opérateurs différentiels des opérateurs aux différences. Si les conjectures sur les sommes d'exponentielles ou les exponentielles polynômes surgissant alors sont sans doute encore hors de portée, les méthodes introduites depuis les travaux d'A. Wilkie et de J. Pila en théorie de la o-minimalité invitent à revisiter, certes en limitant l'ambition initiale, certaines de ces questions, comme en témoignent les récents résultats de G. Binyamini, D. Novikov et B. Zack (2024). Je me concentrerai dans cet exposé sur les systèmes d'opérateurs différentiels en toutes les variables, mais avec de plus des retards, commensurables ou non, suivant une seule d'entre elles, à savoir le temps. Mon exposé sera le plus introductif possible, s'agissant d'un terrain combinant analyse et géométrie.

Il s'agit d'un travail avec Alekos Vidras (Nicosie).    

Pour un groupe G donné, on veut décrire les actions possibles de G par homéomorphismes de la droite, à semi-conjugaison près. Lorsque G est de type fini, on peut faire cela à travers l'étude de la dynamique d'un flot sur un espace compact. On décrira ce flot dans plusieurs exemples, et on discutera de certaines applications. Il s'agit d'un projet en collaboration avec Brum, Matte Bon, et Rivas.