Séminaire Géométrie

Les strates de différentielles méromorphes à ordres de singularités prescrits sur la sphère de Riemann forment des espaces de modules appelés strates. L'intégration de la differentielle le long de certaines classes d'homologie relatives fournit à ces strates ce que l'on appelle les coordonnées périodes. Fixer les résidus aux pôles (qui sont des périodes particulières) définit la fibration isorésiduelle au-dessus de l'espace vectoriel des configurations de résidus. Il apparaît que le lieu singulier de cette fibration est un arrangement d'hyperplans complexes: l'arrangement de résonance.

Dans le cas particulier des 1-formes avec un seul zéro, la fibration devient un revêtement ramifié. Nous fournissons une formule pour calculer le degré de ce revêtement et analysons sa monodromie. Nos résultats exploitent la correspondance entre l'analyse complexe et la géométrie plate des surfaces de translation.

La géométrie qualitative de ces surfaces de translation est classifiée à l’aide d’arbres décorés, ce qui ramène le calcul du degré du revêtement à un problème combinatoire. Pour les strates avec deux zéros, les fibres isorésiduelles sont des courbes complexes dotées d’une structure de translation canonique. Les singularités de ces fibres codent, à travers leurs invariants locaux, les dégénérescences correspondantes des objets paramétrés. La monodromie est décrite en termes de connexion de Gauss-Manin, qui possède de riches propriétés géométriques et combinatoires.

Ce travail est une collaboration avec Dawei Chen, Quentin Gendron et Miguel Prado.

"Une variété algébrique est isomorphe à un espace affine si et seulement si elle est contractile et ... " 

Le but de l'exposé sera de donner quelques éléments de contexte, des exemples, des contre-exemples et des perspectives autour de cette question, motivée par analogie avec la caractérisation des espaces affines euclidiens en topologie différentielle. Après un panorama des techniques et résultats connus dans le cas des variétés algébriques complexes dont l'espace topologique sous-jacent à leur analytifié est contractile, on se tournera vers les développements plus récents concernant les variétés algébriques contractiles au sens de la théorie homotopique motivique des schémas.

Ces dernières années, de nombreux progrès ont été réalisés dans l'étude des métriques de Kähler-Einstein sur les variétés singulières. Cependant, il existe très peu de résultats concernant l'existence des métriques kählériennes à courbure scalaire constante sur les variétés singulières. Dans cet exposé, je discuterai de cette question et présenterai nos résultats sur l'existence de telles métriques lorsque la fonctionnelle de Mabuchi est coercitive. Ce sont des travaux en collaboration avec C-M. Pan et A. Trusiani