Séminaire Théorie des Nombres

La complexité de la factorisation d'un polynôme bivarié se calcule habituellement en fonction du degré total ou du bidegré. Les algorithmes dits "convexe-denses" s'attachent à tenir compte du polygone de Newton. Je propose ici un algorithme qui tient compte à la fois du volume du polygone et des contraintes combinatoires induites par le théorème d'Ostrowski (le polygone du produit est la somme de Minkowski des polygones). La complexité améliore celle des différents algorithmes convexe-denses actuels, ce que j'illustrerai sur quelques exemples significatifs. Un point clé est un algorithme de factorisation w-adique rapide où w est une valuation augmentée remplaçant la valuation de Gauss usuelle, ce résultat pouvant avoir d'autres applications intéressantes. 

Le produit de Massey triple, introduit par Massey en topologie algébrique, est une opération qui généralise le cup-produit. Depuis une dizaine d'années, plusieurs auteurs s'intéressent à cette opération en cohomologie galoisienne, que l'on peut voir comme obstruction à un problème de plongement galoisien. Avec Ted Chinburg et Frauke Bleher nous avons démarré l'étude des produits de Massey en cohomologie étale des courbes, en commençant par les courbes elliptiques, pour lesquelles nous avons obtenu des résultats d'annulation et de non annulation selon que la l-torsion est rationnelle (ou pas) sur le corps de base. Je parlerai aussi des courbes hyperelliptiques, qui font l'objet d'un travail en cours.

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Les groupes de monodromie finie des variétés abéliennes représentent l’obstruction à la réduction semi-stable. Après avoir introduit la notion de semi-stabilité et avoir défini ces groupes, je donnerai une caractérisation des groupes finis qui sont réalisables comme groupes de monodromie finie en dimension fixée. Cette caractérisation, avec des travaux précédents, donne une forme effective du théorème de réduction semi-stable de Grothendieck. Elle repose sur une construction par déformation faisant intervenir la théorie de Hodge p-adique entière que je présenterai dans le cas de bonne réduction potentielle, et si le temps le permet, l’adaptation au cas général suivant la théorie de dégénérescence de Faltings et Chai.

TBA

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