Séminaire Théorie des Nombres

La conjecture standard de type Hodge porte sur les nombres d'intersections de sous-variétés d'une variété projective. Elle a de nombreuses conséquences en arithmétique, dans cet exposé on construira des variétés abéliennes A qui satisfont à cette conjecture. L'outil principal permettant la construction de variétés abéliennes A est la théorie de Honda-Tate, qui relie ces dernières à des objets de théorie algébrique des nombres. On sera ensuite amené à étudier l'algèbre des classes de Tate de A, qui est un invariant plus manipulable que l'ensemble des sous-variétés de A.

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Dans cet exposé nous étudierons la taille du groupe de Tate-Shafarevich de certaines surfaces abéliennes sur le corps de fonctions $\mathbb{F}_q(t)$. Hindry et Pacheco ont montré que, pour les variétés abéliennes sur des corps de fonctions, la taille du Sha (dès que finie) est majorée par la hauteur exponentielle. Nous montrerons qu'en dimension 2 leur borne est optimale. Pour cela, on construira une suite de Jacobiennes vérifiant la conjecture de BSD, puis nous calculerons explicitement leur fonction L à l'aide de sommes de caractères. Grâce à des méthodes analytiques, nous estimerons la taille de la valeur spéciale, pour retrouver finalement la borne souhaitée sur le cardinal de leur groupe de Sha.

During this talk I will present a work in progress, joint with Félix Baril-Boudreau and Alexandre Benoist on the conjecture by Lang and Trotter that generalizes to elliptic curves Artin's conjecture on primitive roots.