Groupe de travail Analyse

La problématique générale des espaces atteignables peut être résumée de la manière suivante pour un système contrôlé donné: étant donné un état initial $u_i$ et un temps $T \gt 0$, décrire l'espace $R(u_i,T)$ des états finaux $u_f$ que l'on peut atteindre à partir de $u_i$ au temps $T$. Déterminer l'espace atteignable des systèmes contrôlés est l'un des principaux problèmes de la théorie du contrôle. Donner une caractérisation précise des états qui peuvent être atteints en un certain temps fixé est une question encore largement ouverte pour les systèmes paraboliques: même pour l'équation de la chaleur à coefficients constants en une dimension et contrôlée depuis la frontière, la caractérisation complète de l'espace atteignable, en termes d'espaces de Bergman, n'a été obtenue que très récemment. Basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza, je présenterai des résultats sur l’espace atteignable pour l’équation de la chaleur avec des perturbations d’ordre inférieur ou des semi-linéaire en dimension $d\geq 1$.

After explaining the notions of symmetry and differential equations, we review possibilities of symmetry methods and advantages of their usage in the theory of differential equations and mathematical physics.

As a specific example, we discuss the history of the (real potential symmetric) dispersionless  Nizhnik equation and its applications and overview its extended symmetry analysis carried out in our papers. More specifically, we construct essential megaideals of the maximal Lie invariance algebra of this equation. Using the original version of the algebraic megaideals-based method, we compute the point- and contact-symmetry pseudogroups of this equation as well as the point-symmetry pseudogroups of its Lax representation and the original real symmetric dispersionless Nizhnik system. This is the first example in the literature, where there is no need to use the direct method for completing the computation.

In addition, we also find geometric properties of the dispersionless Nizhnik equation that completely define it. Lie reductions of this equation are classified, which results in wide families of its new closed-form invariant solutions. We also study hidden generalized symmetries, hidden cosymmetries and hidden conservation laws of this equation.