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Le 18 janvier 2023
à 14:30
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Batiment Inria, salle Grace Hopper 2
Jose Daniel Galaz Mora null
[Séminaire CSM] Towards a stable coupling of Green-Naghdi and Nonlinear Shallow water equations using domain decomposition methods
"The coupling of Green-Naghdi and Nonlinear Shallow water equations provides an attractive parameter-free formulation for dispersive water-wave propagation and wave breaking. However, so far, instabilities have been observed in current formulations, as the numerical resolution is increased.In this talk I will present how we can study this issue from the perspective of domain decomposition methods (DDM).For that I will introduce DDM by using the coupling of the BBM and transport equations as an example.We will discuss the importance of using the right boundary conditions for the coupling, most importantly the so called absorbing or transparent boundary conditions, and what we can learn from this ""toy"" model that can be useful for coupling dispersive and nondipersive (hyperbolic) models in more complex settings."
Le 26 janvier 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Victor Peron (Univ. Pau) null
[Séminaire CSM] Quelques développements multi-échelles et leurs applications pour la résolution de problèmes de perturbation
Dans cet exposé, nous présentons des développements multi-échelles qui permettent de simplifier la résolution numérique de problèmes de perturbation en électromagnétisme ou en sismologie à l'aide de la méthode des éléments finis. Dans une première partie, nous présentons des modèles asymptotiques associés à des conditions dimpédance pour la résolution de problèmes de couche mince ou de couche limite. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à un problème de courant de Foucault dans des matériaux magnétiques. Nous présentons une méthode de paramétrisation pour le potentiel magnétique relativement à un petit paramètre complexe inversement proportionnel au produit de la perméabilité magnétique relative par l'épaisseur de peau qui représente une profondeur de pénétration du champ électromagnétique. Cette méthode est bien adaptée à la résolution du problème pour une gamme de fréquences assez large et sans adaptation de maillage relativement à l'épaisseur de peau. Cette méthode a l'avantage de fournir à moindre coût de calcul le même ordre d'approximation qu'une méthode d'impédance de surface. La performance des modèles présentés dans cet exposé est illustrée par différents tests numériques.
Le 9 février 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Jean-Rene Poirier (Lab. Laplace\, Univ. Toulouse 3) null
[Séminaire CSM] Méthodes intégrales pour les équations de Maxwell et accélération par des méthodes de compression
"Dans cet exposé, nous présenterons tout dabord trois applications différentes des équations de Maxwell en domaine non borné ainsi que leur déclinaison en terme de problème aux limites. A chacune de ces applications correspond une formulation intégrale et une problématique différente pour la résolution du système linéaire plein qui en résulte.Dans un second temps nous présenterons 2 méthodes accélération basées sur des techniques de compression ainsi que la déclinaison que cela implique sur chacune de ces applications.La méthode des matrices hiérarchiques (H-Matrix) est maintenant bien connue. Elle consiste en une subdivision de la matrice en bloc divisés de façon hiérarchiques de telle façon que les blocs correspondant à des interactions lointaines comportent une déficience de rang et admettent donc une représentation de rang faible. La matrice ainsi comprimée admet alors une «sorte» de représentation creuse que lon peut exploiter une résolution rapide.La méthode « Tenseur-Train » utilise un principe assez similaire pour résoudre le système linéaire qui doit alors être écrit avec une représentation tensorielle. Une des difficultés est alors de choisir la fonction de mapping permettant de transformer la matrice en un tenseur ayant les bonnes propriétés. Cette option plus propecpective donne dexcellents résultats sur des problématiques en 1D mais reste pour le moment moins performante que les outils usuels sur des applications 3D à visée industrielle."
Le 2 mars 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Li-Lian Wang (Nanyang Technological University) null
[Séminaire CSM] Efficient Spectral and High-Order Methods for Wave Scattering Problems
It is believed that high-order methods have significant advantages in simulating wave propagations. In this talk, we shall propose efficient computational techniques which can be integrated with spectral and spectral-element solvers for time-harmonic wave scattering problems. One important building block is to introduce a truly exact perfect absorbing layer (PAL) for domain truncation of the scattering problem in an unbounded domain with a bounded scatterer. This technique is based on a compression coordinate transformation (including complex and real transformations) in radial direction, and a suitable substitution of the unknown field in the artificial layer. Compared with the widely-used perfectly matched layer (PML) methods, the distinctive features of PAL lie in that (i) it is truly exact in the sense that the PAL-solution is identical to the original solution in the bounded domain reduced by the truncation layer; (ii) with the substitution, the PAL-equation is free of singular coefficients and the substituted unknown field is essentially non-oscillatory in the layer; and (iii) the construction is valid for general star-shaped domain truncation. By formulating the variational formulation in Cartesian coordinates, the implementation of this technique using standard spectral-element or finite-element methods can be made easy as a usual coding practice. We provide ample numerical examples to demonstrate that this method is highly accurate and robust for very high wavenumbers and thin layers. Then we demonstrate various applications e.g., invisibility cloaking in metamaterials.
Le 9 mars 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Jing-Rebecca Li (École Polytechnique) null
[Séminaire CSM] [Reporté] Modeling the diffusion MRI signal by a PDE
The MRI signal (diffusion weighted) is the sum of the magnetization in a volume of cell tissue (a voxel). The magnetization at the scale of the cell microstructure can be modeled by a partial differential equation called the Bloch-Torrey equation. What makes the numerical solution of this equation difficult is the presence of complex interfaces (i.e., cell membranes) over which the solution is discontinuous. I will discuss the numerical solution of the direct problem of the Bloch-Torrey equation, and briefly mention some ideas for the inverse problem.
Le 16 mars 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Xavier Claes (lab. Jacques-Louis Lions\, Paris 6) null
"[Séminaire CSM] Généralisation des Méthodes de Schwarz Optimisées pour le\ntraitement robuste des points de croisement"
"Dans le cadre de la propagation d'ondes en régime harmonique, les Méthodes deSchwarz Optimisées (OSM) sont parmi les stratégies de décomposition de domaineles plus populaires.Dans le cas d'une partition en sous-domaines sans recouvrement arbitraire (comme lorsqu'on a recours à un partitionneur de graphe) la présence de points de croisement, c'est-à-dire des points où trois sous-domaines ou plus sont adjacents, avait jusqu'à présent soulevé de sérieuses difficultés tant surle plan pratique que théorique.Nous décrirons une nouvelle variante d'OSM qui fournit un traitement systématique et robuste des points de croisement ainsi qu'une analyse théorique complète incluant des estimations de convergence.Un ingrédient important et nouveau de cette approche est un opérateur d'échange non-local pour imposer les conditions de transmission et maintenir le couplage entre sous-domaines.Si la théorie associée couvre plusieurs variantes pré-existantes d'OSM, y compris l'algorithme original de Després, elle conduit également à de nouvelles méthodes aux propriétés de convergence accrues.Nous présenterons des résultats numériques en acoustique et en électromagnétisme."
Le 23 mars 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Nina Aguillon (Sorbonne Univ.) null
[Séminaire CSM] Quantification a posteriori de la diffusion numérique
"Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités.Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non.Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable.Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé.Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie.La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance.Cette méthode permet d'obtenir des ""cartes de diffusion numérique"" pour des schémas d'ordre quelconque.Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie.C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon."
Le 27 avril 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Jing-Rebecca Li (École Polytechnique) null
[Séminaire CSM] Modeling the diffusion MRI signal by a PDE
The MRI signal (diffusion weighted) is the sum of the magnetization in a volume of cell tissue (a voxel). The magnetization at the scale of the cell microstructure can be modeled by a partial differential equation called the Bloch-Torrey equation. What makes the numerical solution of this equation difficult is the presence of complex interfaces (i.e., cell membranes) over which the solution is discontinuous. I will discuss the numerical solution of the direct problem of the Bloch-Torrey equation, and briefly mention some ideas for the inverse problem.
Le 4 mai 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Sergei Chernyshenko (Imperial College London\, UK) null
[Séminaire CSM] Bounding time averages: a road to solving the problem of turbulence
The problem of turbulence is the greatest unsolved problem of classical physics. It is encountered in dynamical systems so complicated that numerical calculations are too expensive. In practice it is often suffcient to know only a few time-averaged quantities, such as the mean drag and lift. The problem of turbulence is the problem of establishing methods of obtaining this limited information at a significantly smaller cost than the cost of getting the complete solution. Even finding good upper and lower bounds for the quantity of interest might be enough. The talk will cover the basics of how this can be done, then move on to new developments related to the recent advances in computer-assisted semi-algebraic optimisation, and finish with unsolved problems.
Le 11 mai 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Marcella Bonazzoli Inria Saclay
[Séminaire CSM] On the convergence analysis of one-shot inversion methods
When an inverse problem is solved by a gradient-based optimization algorithm, the corresponding forward and adjoint problems, which are introduced to compute the gradient, can be also solved iteratively. The idea of iterating at the same time on the inverse problem unknown and on the forward and adjoint problem solutions yields to the concept of one-shot inversion methods. We are especially interested in the case where the inner iterations for the direct and adjoint problems are incomplete, that is, stopped before achieving a high accuracy on their solutions. Here, we focus on general linear inverse problems and generic fixed-point iterations for the associated forward problem. We analyze variants of the so-called multi-step one-shot methods, in particular semi-implicit schemes with a regularization parameter. We establish sufficient conditions on the descent step for convergence, by studying the eigenvalues of the block matrix of the coupled iterations. Several numerical experiments are provided to illustrate the convergence of these methods in comparison with the classical gradient descent, where the forward and adjoint problems are solved exactly by a direct solver instead. We observe that very few inner iterations are enough to guarantee good convergence of the inversion algorithm, even in the presence of noisy data.
Le 25 mai 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Marien-Lorenzo Hanot Montpellier
[Séminaire CSM] Le complexe de Stokes discret
L'utilisation des complexes différentiels dans la discrétisation des équations aux dérivées partielles a été récemment popularisée au travers des éléments finis de calcul extérieur.
Initialement employés pour l'électromagnétisme ils ont ensuite été appliqués à de nombreux autres systèmes d'équations, tel que les équations de Navier-Stokes.
Ces méthodes visent à préserver la structure des équations au travers des complexes, et profitent généralement d'une grande stabilité, de robustesse ainsi que d'une préservation exacte de certaines quantités.
L'objectif est de présenter l'application des complexes différentiels à la discrétisation des équations de Navier-Stokes incompressibles avec les avantages qu'ils peuvent apporter.
L'utilisation des complexes discrets demande cependant un certain travail au niveau de la création des espaces. Bien que de nombreuses constructions existent pour les complexes les plus simples, la création de complexes plus avancés reste compliquée en 3 dimensions. Ainsi nous présenterons dans un second temps la construction de tels complexes discrets.
Le 8 juin 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Daniela Capatina Univ. Pau
[Séminaire CSM] Reconstruction de flux conservatifs et analyse d’erreur a posteriori pour des problèmes elliptiques d’interface
On s'intéresse la reconstruction de flux (i.e., d'un vecteur de H(div)) satisfaisant
une propriété de conservation locale et calculé par un post-process local à partir de
la solution éléments finis d'un problème donné. Une des applications importantes de
tels flux est dans l'analyse d'erreur a posteriori et le raffinement adaptatif de maillage,
puisque la norme L2 de la différence entre le flux numérique et le flux reconstruit
constitue un estimateur d’erreur a posteriori, qui majore l'erreur avec une constante
de fiabilité égale à 1.
Dans cet exposé, on présentera une méthode de construction basée sur une
formulation mixte équivalente à la formulation de départ et dont le
multiplicateur, défini sur les arêtes du maillage, est utilisé pour définir de manière
naturelle le flux dans l'espace de Raviart-Thomas. D'une part, cette approche
fournit un cadre unifié pour les méthodes d'éléments finis classiques (conformes,
non-conformes et de Galerkin discontinues) d'ordre quelconque et permet
d'établir des liens entre ces divers flux. D'autre part, contrairement aux méthodes
existantes, elle ne nécessite la résolution d'aucun problème mixte (local ou global).
Après avoir décrit l'approche pour l'opérateur de Laplace, on présentera son
extension à d'autres problèmes-modèle : diffusion avec coefficients discontinus
dûs à la présence d'interfaces, problème de Poisson où la frontière
ne suit pas le maillage et l'approximation est réalisée à l’aide de la méthode CutFEM,
problème de contact où la condition de bord est non-linéaire.
On illustrera les résultats théoriques par des tests numériques.
Le 15 juin 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Jan Nordström Linköping University
[Séminaire CSM] Nonlinear Boundary Conditions for Initial Boundary Value Problems with Applications in Computational Fluid Dynamics
We derive new boundary conditions and implementation procedures for nonlinear initial boundary
value problems (IBVPs) that lead to energy and entropy bounded solutions. The new boundary
procedure is applied to nonlinear IBVPs on skew-symmetric form. For easy of presentation, the
analysis focus on the nonlinear IBVPs part involving first derivatives. However, the boundary
procedure is general in the sense that it can be used to also bound dissipative IBVPs involving
second derivatives, present for example in the Navier-Stokes equations, and we show how that is
done. The complete procedure has two main ingredients. In the first part (published in [1, 2]),
the energy and entropy rate in terms of a surface integral with boundary terms was produced. In
this second part we shortly reiterate the previous analysis for completeness and complement it by
adding second derivative dissipative terms.
This main part of this paper deals with the boundary terms, which are controlled using a new
nonlinear boundary procedure which generalise the well known characteristic boundary procedure
for linear problems. Both strong and weak imposition of the nonlinear boundary conditions are
discussed. We stress that the second part in itself does not depend on the first part. It only
requires that an energy rate in terms a surface integral with boundary terms exist. The new
boundary procedure is exemplified on three important IBVPs in computational fluid dynamics: the
incompressible Euler equations, the shallow water equations and the compressible Euler equations
(all on skew-symmetric form). We also discuss how to formally extend the analysis to the NavierStokes equations. Finally we show that stable semi-discrete approximations follow promptly if
summation-by-parts operators in combination with weak boundary conditions are used.
References
[1] J. Nordström (2022). Nonlinear and linearised primal and dual initial boundary value problems:
When are they bounded? How are they connected?. Journal of Computational Physics, vol 455,
no 111001.
[2] J. Nordström (2022). A skew-symmetric energy and entropy stable formulation of the compressible Euler equations. Journal of Computational Physics, vol 470, no 111573.
Le 21 septembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Vadim Maltsev Cranfield
[Séminaire CSM] Hybrid high-order framework for compressible multi-species flows
We present the application of a family of hybrid Discontinuous Galerkin/ Finite Volume (DG/FV) methods for the solution of multi-species problems involving gas-gas and gas-liquid systems, and using a five-equation interface capturing model. The numerical scheme achieves higher accuracy in smooth flow regions thanks to the DG discretisation, yet avoiding oscillations at material interfaces and shocks thanks to a CWENOZ FV type reconstruction of the same discretisation order of the underlying DG method. This strategy, as typically represented in literature, make use of the so-called troubled cell
indicators for the detection of numerical oscillations generated by an unlimited high-order scheme in presence of discontinuities, enabling in the troubled cells only, a more dissipative scheme in order to suppress spurious oscillations. As will be shown in a series of increasingly challenging test-cases, when applied to multi-species flows in the context of diffuse-interface models, the hybrid framework is able to limit the excessive material interface dissipation, characteristic of these interface-capturing methods, allowing at the same time a control over the amount of dissipation necessary to solve stiffer problems. The implementation is performed in the UCNS3D open-source CFD solver.
Le 28 septembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Bérénice Grec Paris-Cite MAP5
[Séminaire CSM] Modélisation d’un fluide diphasique à faible nombre de Mach avec forts transferts de chaleur
Dans cet exposé, nous nous intéressons à la modélisation de l’écoulement du fluide caloporteur (eau) dans un coeur de réacteur nucléaire.
Pour cela, je présenterai tout d’abord un modèle simplifié à faible nombre de Mach « à 3 équations » (obtenu comme limite asymptotique à bas nombre de Mach d’un modèle compressible, le modèle HEM), qui repose sur la décomposition du champ de pression en une pression thermodynamique (qui intervient dans l’équation d’état) et une pression dynamique (dans l’équation de quantité de mouvement). Cette décomposition présente de nombreux avantages, à la fois du point de l’obtention de solutions exactes et asymptotiques, mais aussi du point de vue numérique.
Par la suite, nous étudions un nouveau modèle (« à 4 équations ») décrivant le comportement d’un fluide diphasique à faible nombre de Mach, qui peut être obtenu comme la limite asymptotique à bas nombre de Mach du modèle HRM. Après avoir décrit quelques propriétés du modèle, nous montrons la convergence formelle de ce modèle vers le modèle précédent « à 3 équations » dans le régime de relaxation instantanée. Nous introduisons un schéma préservant l’asymptotique permettant des simulations numériques du couplage spatial entre deux régions présentant des temps caractéristiques de relaxation différents.
Il s’agit de travaux en collaboration avec Stéphane Dellacherie, Gloria Faccanoni et Yohan Penel.
Le 5 octobre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Vincent Martin LMAC
[Séminaire CSM] Quelques étapes vers la preuve formelle en Coq de la méthodes des éléments finis
La méthode des éléments finis est largement répandue pour résoudre des gammes d'équations aux dérivées partielles. Elle est basée sur un cadre mathématique bien connu et est implémentée dans de nombreux codes numériques. Notre objectif à relativement long terme est double : d'une part, prouver formellement en Coq que la méthode mathématique des éléments finis est "correcte", et d'autre part prouver, toujours en Coq et avec l'aide d'autres outils formels, que des parties de bibliothèques d'éléments finis en C++ sont "correctes". Le sens du mot "correct" est à préciser. Le but est d'avoir la plus grande confiance possible dans la méthode et son implémentation, en précisant/explicitant par exemple quelles sont les hypothèses nécessaires.
On commencera par une explication succincte, par un non spécialiste, de ce qu'un assistant de preuve (comme Coq) peut faire pour aider à prouver un théorème ou un programme. Ensuite, on illustrera brièvement la démarche, avec la preuve complète --mathématique et programme, faite par d'autres-- de l'équation des ondes 1D en différences finies. Enfin, on présentera quelques étapes vers la preuve de la méthode des éléments finis : la preuve du théorème de Lax--Milgram, la
construction de l'intégrale de Lebesgue et le théorème de Tonelli, pour finir sur la preuve en cours de l'unisolvance pour les éléments finis de Lagrange de degré k, sur un simplexe en dimension d.
Ce travail résulte d'une collaboration avec des informaticiennes, Sylvie Boldo (INRIA Saclay) et Micaela Mayero (LIPN, Paris 13) et un numéricien-informaticien François Clément (INRIA Paris). Florian Faissole (Mitsubishi Electric) et Houda Moucine (thèse en cours) ont contribué également.
Le 26 octobre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Ludovic Godard-Cadillac IMB
[Séminaire CSM] Micro-magnetism modeling for nano-particles and nano-wires
This talk will be about a series of works concerning the modeling of micro-magnetism for thin geometries. This presentation is the occasion to present the general properties of micro-magnetism physics and more specifically the phenomenons arising in small geometries and mainly the two case where the domain is a nano-particle (small sphere or small ellipse) or a nano-wire (cylinder or quasi-cylinder with small cross-section). In a second time I will present the contributions I made on these problems and models with P-A. Hervieux, G. Manfredi (physicists) and with R. Côte, C. Courtès, G. Ferrière, Y. Privat (mathematicians) in Strasbourg. The main focus of these works is the study of emergent meta-stable structures that are created on a short time-scale and their evolution in long time with or without external effects (temperature, external force,...). This include both theoretical analysis and numerical simulations.
Le 9 novembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Vanessa Lleras Univ. Montpellier
[Séminaire CSM] $\phi$-FEM, une nouvelle méthode éléments finis non conformes
\phi-FEM est une méthode éléments finis sur des maillages réguliers qui partage des similitudes avec les méthodes classiques aux frontières immergées et des approches plus récentes comme CutFEM. L'innovation de notre méthode consiste à intégrer une fonction Level Set décrivant la géométrie de la structure ou de la particule dans le schéma éléments finis lui-même. Dans l’exposé, je présenterai le principe de la méthode pour différentes conditions aux bords en mettant en avant sa précision et sa rapidité comparée à la méthode des éléments finis classiques puis nous verrons l’application à des problèmes variés (mécanique des structures, Stokes, couplage avec réseaux de neurones).
Le 16 novembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Joyce Ghantous Université de Pau
[Séminaire CSM] Numerical analysis of a diffusion equation with Ventcel boundary conditions on curved meshes
In this talk, we consider a diffusion problem, referred to as the Ventcel problem, involving a second order term on the domain boundary (the Laplace-Beltrami operator).
The focus is on obtaining error estimations expressed with respect to the finite element degree k >= 1 and to the mesh order r >= 1. Indeed a crucial point concerns the construction of high order curved meshes for the discretization of the physical domain and on the definition of the lift operator, which is aimed to transform a function defined on the mesh domain into a function defined on the physical one. This lift is defined in a way as to satisfy adapted properties on the boundary, relatively to the trace operator. Once the theoretical a priori error estimates depending on the two parameters k and r have been obtained, we perform numerical experiments which validate these results. Lastly, an eigenvalue problem with Ventcel boundary conditions is introduced. A similar procedure is used to estimate the eigenvalues and eigenvectors errors. Numerical experiments in 2d and 3d are presented validating the theoretical estimations.
Le 23 novembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Thibault Malou Inrae
[Séminaire CSM] Pest detection from a biology-informed inverse problem and pheromone sensors
One third of the annual world's crop production is directly or indirectly damaged by insects. Early detection of invasive insect pests is key for optimal treatment before infestation. Existing detection devices are based on pheromone traps: attracting pheromones are released to lure insects into the traps, with the number of captures indicating the population levels. As part of the Pherosensor project (https://pherosensor.inrae.fr/), promising new sensors are on development to directly detect pheromones produced by the pests themselves and dispersed in the environment. Inferring the pheromone emission would allow locating the pest's habitat, before infestation. This early detection enables to perform pesticide-free elimination treatments, in a precision agriculture framework.
In order to identify the sources of pheromone emission from signals produced by sensors spatially positioned in the landscape, the inference of the pheromone emission (inverse problem) is performed. Classical inference is conducted by combining the data and the so-called direct model. In the present case, this entails combining the data from the pheromone sensors and the pheromone concentration dispersion that is a 2D reaction-diffusion-convection model. In the proposed method, the inference involves not only the coupling of the pheromone dispersion model with the pheromone sensors data but also incorporates a priori biological knowledge on pest behaviour (favourite habitat, insect clustering for reproduction, population dynamic behaviour...). This information is introduced to constrain the inverse problem towards biologically relevant solutions. Different biology-informed constraints are tested, and the accuracy of the solutions of the inverse problems is assessed on simulated noisy data.
Le 30 novembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Emmanuel Franck INRIA NANCY GRAND EST
[Séminaire CSM] Représentation neural implicite pour des méthodes numériques Hybride
Dans une première partie, nous introduiront les méthodes numériques basées sur des représentations neurales implicites que sont les PINNs et la méthode Neural Galerkin. Nous tenterons de montrer, que ces méthodes bien qu'ayant des propriétés bien différentes
des méthodes numériques usuelles pour les EDP, elles restent proche dans l'esprit des méthodes classiques. Après avoir discuter les forces et les faiblesses de ses nouvelles approches, on introduira des méthodes hybrides combinant PINNs d'un coté
et méthodes élément finis ou Galerkin Discontinu de l'autre. Nous discuterons rapidement la convergence de ses approches, qu'on illustrera numériquement
Le 14 décembre 2023
à 14:00
Séminaire de Calcul Scientifique et Modélisation
Salle 2
Coquerelle Mathieu I2M
[Séminaire CSM] Des avancées récentes des méthodes numériques d’ordre élevé pour les écoulements diphasiques : modèles one-fluid et level set. Applications aux vagues et gouttes d'eau dans le code de calcul massivement parallèle Notus
Les codes de calcul sur maillages structurés bénéficient de l'avantage majeur de permettre, et nécessiter l'utilisation de schémas numériques d'ordres élevés. Pour les écoulements diphasiques, notamment pour les vagues, la présence d'une interface franche où les sauts de masse volumique, viscosité et pression, dû à la tension superficielle, sont souvent très grands requiert un soin particulier et des méthodes idoines. L'approche eulérienne basée sur le modèle one-fluid (OF) est simple à mettre en place et donne des résultats tout à fait satisfaisants... jusqu'à un certain niveau de discrétisation, aujourd'hui rapidement atteint par les maillages très fins nécessaires pour des applications pointues. Nous verrons qu'en revisitant l'intégration des équations de Navier-Stokes, les approches récentes basées sur le transport cohérent de la masse et de la quantité de mouvement sont indispensables pour réduire les erreurs numériques de transferts d'une phase à l'autre, cause d'instabilités, voire de divergence des calculs.
Autre ingrédient fondamental, le modèle de représentation de l'interface est crucial pour capter la richesse de la dynamique de la surface libre. Parmi les familles de méthodes existantes, les Level Set (LS) sont couramment employées, notamment pour les écoulements impliquant des phénomènes capillaires non négligeables. Elles souffrent toutefois d'un problème récurent : le besoin de réinitialiser régulièrement le champ LS pour garantir sa qualité sur les longs temps. La paramétrisation des stratégies basées sur les équations d'Hamilton-Jacobi (HJ) reste encore très sensible à la paramétrisation, aux conditions de bord, et garantit difficilement la stabilité. Nous proposons une approche originale, géométrique, basée sur le principe des closest-points, qui, a l'avantage de pouvoir être appliquée à chaque pas de temps, tout en offrant la même précision que les méthodes HJ+WENO5. Nous en profiterons pour présenter, en aparté, une discussion sur la nécessité d'user des schémas d'ordre élevé pour calculer la courbure de l'interface pour les forces de tension superficielle, critère rarement atteint par les méthodes de type VOF ou MOF.
Nous présenterons l'application de ces travaux à des simulations de vagues et de gouttes de pluie, permettant de reproduire des phénomènes très fins, du déferlement à la capture de poches et bulles d'air sous la surface, participant aux échanges océan-atmosphère. Ces résultats ont été obtenus grâce au code volumes-finis massivement parallèle Notus CFD développé à l'I2M, plate-forme commune de développement de méthodes et d'expérimentation numérique.
Séminaire Calcul Scientifique et Modélisation
Responsables : Wasilij Barsukow et Alessia Del Grosso
Initialement employés pour l'électromagnétisme ils ont ensuite été appliqués à de nombreux autres systèmes d'équations, tel que les équations de Navier-Stokes.
Ces méthodes visent à préserver la structure des équations au travers des complexes, et profitent généralement d'une grande stabilité, de robustesse ainsi que d'une préservation exacte de certaines quantités.
L'objectif est de présenter l'application des complexes différentiels à la discrétisation des équations de Navier-Stokes incompressibles avec les avantages qu'ils peuvent apporter.
L'utilisation des complexes discrets demande cependant un certain travail au niveau de la création des espaces. Bien que de nombreuses constructions existent pour les complexes les plus simples, la création de complexes plus avancés reste compliquée en 3 dimensions. Ainsi nous présenterons dans un second temps la construction de tels complexes discrets.
une propriété de conservation locale et calculé par un post-process local à partir de
la solution éléments finis d'un problème donné. Une des applications importantes de
tels flux est dans l'analyse d'erreur a posteriori et le raffinement adaptatif de maillage,
puisque la norme L2 de la différence entre le flux numérique et le flux reconstruit
constitue un estimateur d’erreur a posteriori, qui majore l'erreur avec une constante
de fiabilité égale à 1.
Dans cet exposé, on présentera une méthode de construction basée sur une
formulation mixte équivalente à la formulation de départ et dont le
multiplicateur, défini sur les arêtes du maillage, est utilisé pour définir de manière
naturelle le flux dans l'espace de Raviart-Thomas. D'une part, cette approche
fournit un cadre unifié pour les méthodes d'éléments finis classiques (conformes,
non-conformes et de Galerkin discontinues) d'ordre quelconque et permet
d'établir des liens entre ces divers flux. D'autre part, contrairement aux méthodes
existantes, elle ne nécessite la résolution d'aucun problème mixte (local ou global).
Après avoir décrit l'approche pour l'opérateur de Laplace, on présentera son
extension à d'autres problèmes-modèle : diffusion avec coefficients discontinus
dûs à la présence d'interfaces, problème de Poisson où la frontière
ne suit pas le maillage et l'approximation est réalisée à l’aide de la méthode CutFEM,
problème de contact où la condition de bord est non-linéaire.
On illustrera les résultats théoriques par des tests numériques.
value problems (IBVPs) that lead to energy and entropy bounded solutions. The new boundary
procedure is applied to nonlinear IBVPs on skew-symmetric form. For easy of presentation, the
analysis focus on the nonlinear IBVPs part involving first derivatives. However, the boundary
procedure is general in the sense that it can be used to also bound dissipative IBVPs involving
second derivatives, present for example in the Navier-Stokes equations, and we show how that is
done. The complete procedure has two main ingredients. In the first part (published in [1, 2]),
the energy and entropy rate in terms of a surface integral with boundary terms was produced. In
this second part we shortly reiterate the previous analysis for completeness and complement it by
adding second derivative dissipative terms.
This main part of this paper deals with the boundary terms, which are controlled using a new
nonlinear boundary procedure which generalise the well known characteristic boundary procedure
for linear problems. Both strong and weak imposition of the nonlinear boundary conditions are
discussed. We stress that the second part in itself does not depend on the first part. It only
requires that an energy rate in terms a surface integral with boundary terms exist. The new
boundary procedure is exemplified on three important IBVPs in computational fluid dynamics: the
incompressible Euler equations, the shallow water equations and the compressible Euler equations
(all on skew-symmetric form). We also discuss how to formally extend the analysis to the NavierStokes equations. Finally we show that stable semi-discrete approximations follow promptly if
summation-by-parts operators in combination with weak boundary conditions are used.
References
[1] J. Nordström (2022). Nonlinear and linearised primal and dual initial boundary value problems:
When are they bounded? How are they connected?. Journal of Computational Physics, vol 455,
no 111001.
[2] J. Nordström (2022). A skew-symmetric energy and entropy stable formulation of the compressible Euler equations. Journal of Computational Physics, vol 470, no 111573.
indicators for the detection of numerical oscillations generated by an unlimited high-order scheme in presence of discontinuities, enabling in the troubled cells only, a more dissipative scheme in order to suppress spurious oscillations. As will be shown in a series of increasingly challenging test-cases, when applied to multi-species flows in the context of diffuse-interface models, the hybrid framework is able to limit the excessive material interface dissipation, characteristic of these interface-capturing methods, allowing at the same time a control over the amount of dissipation necessary to solve stiffer problems. The implementation is performed in the UCNS3D open-source CFD solver.
Pour cela, je présenterai tout d’abord un modèle simplifié à faible nombre de Mach « à 3 équations » (obtenu comme limite asymptotique à bas nombre de Mach d’un modèle compressible, le modèle HEM), qui repose sur la décomposition du champ de pression en une pression thermodynamique (qui intervient dans l’équation d’état) et une pression dynamique (dans l’équation de quantité de mouvement). Cette décomposition présente de nombreux avantages, à la fois du point de l’obtention de solutions exactes et asymptotiques, mais aussi du point de vue numérique.
Par la suite, nous étudions un nouveau modèle (« à 4 équations ») décrivant le comportement d’un fluide diphasique à faible nombre de Mach, qui peut être obtenu comme la limite asymptotique à bas nombre de Mach du modèle HRM. Après avoir décrit quelques propriétés du modèle, nous montrons la convergence formelle de ce modèle vers le modèle précédent « à 3 équations » dans le régime de relaxation instantanée. Nous introduisons un schéma préservant l’asymptotique permettant des simulations numériques du couplage spatial entre deux régions présentant des temps caractéristiques de relaxation différents.
Il s’agit de travaux en collaboration avec Stéphane Dellacherie, Gloria Faccanoni et Yohan Penel.
On commencera par une explication succincte, par un non spécialiste, de ce qu'un assistant de preuve (comme Coq) peut faire pour aider à prouver un théorème ou un programme. Ensuite, on illustrera brièvement la démarche, avec la preuve complète --mathématique et programme, faite par d'autres-- de l'équation des ondes 1D en différences finies. Enfin, on présentera quelques étapes vers la preuve de la méthode des éléments finis : la preuve du théorème de Lax--Milgram, la
construction de l'intégrale de Lebesgue et le théorème de Tonelli, pour finir sur la preuve en cours de l'unisolvance pour les éléments finis de Lagrange de degré k, sur un simplexe en dimension d.
Ce travail résulte d'une collaboration avec des informaticiennes, Sylvie Boldo (INRIA Saclay) et Micaela Mayero (LIPN, Paris 13) et un numéricien-informaticien François Clément (INRIA Paris). Florian Faissole (Mitsubishi Electric) et Houda Moucine (thèse en cours) ont contribué également.
The focus is on obtaining error estimations expressed with respect to the finite element degree k >= 1 and to the mesh order r >= 1. Indeed a crucial point concerns the construction of high order curved meshes for the discretization of the physical domain and on the definition of the lift operator, which is aimed to transform a function defined on the mesh domain into a function defined on the physical one. This lift is defined in a way as to satisfy adapted properties on the boundary, relatively to the trace operator. Once the theoretical a priori error estimates depending on the two parameters k and r have been obtained, we perform numerical experiments which validate these results. Lastly, an eigenvalue problem with Ventcel boundary conditions is introduced. A similar procedure is used to estimate the eigenvalues and eigenvectors errors. Numerical experiments in 2d and 3d are presented validating the theoretical estimations.
In order to identify the sources of pheromone emission from signals produced by sensors spatially positioned in the landscape, the inference of the pheromone emission (inverse problem) is performed. Classical inference is conducted by combining the data and the so-called direct model. In the present case, this entails combining the data from the pheromone sensors and the pheromone concentration dispersion that is a 2D reaction-diffusion-convection model. In the proposed method, the inference involves not only the coupling of the pheromone dispersion model with the pheromone sensors data but also incorporates a priori biological knowledge on pest behaviour (favourite habitat, insect clustering for reproduction, population dynamic behaviour...). This information is introduced to constrain the inverse problem towards biologically relevant solutions. Different biology-informed constraints are tested, and the accuracy of the solutions of the inverse problems is assessed on simulated noisy data.
des méthodes numériques usuelles pour les EDP, elles restent proche dans l'esprit des méthodes classiques. Après avoir discuter les forces et les faiblesses de ses nouvelles approches, on introduira des méthodes hybrides combinant PINNs d'un coté
et méthodes élément finis ou Galerkin Discontinu de l'autre. Nous discuterons rapidement la convergence de ses approches, qu'on illustrera numériquement
Autre ingrédient fondamental, le modèle de représentation de l'interface est crucial pour capter la richesse de la dynamique de la surface libre. Parmi les familles de méthodes existantes, les Level Set (LS) sont couramment employées, notamment pour les écoulements impliquant des phénomènes capillaires non négligeables. Elles souffrent toutefois d'un problème récurent : le besoin de réinitialiser régulièrement le champ LS pour garantir sa qualité sur les longs temps. La paramétrisation des stratégies basées sur les équations d'Hamilton-Jacobi (HJ) reste encore très sensible à la paramétrisation, aux conditions de bord, et garantit difficilement la stabilité. Nous proposons une approche originale, géométrique, basée sur le principe des closest-points, qui, a l'avantage de pouvoir être appliquée à chaque pas de temps, tout en offrant la même précision que les méthodes HJ+WENO5. Nous en profiterons pour présenter, en aparté, une discussion sur la nécessité d'user des schémas d'ordre élevé pour calculer la courbure de l'interface pour les forces de tension superficielle, critère rarement atteint par les méthodes de type VOF ou MOF.
Nous présenterons l'application de ces travaux à des simulations de vagues et de gouttes de pluie, permettant de reproduire des phénomènes très fins, du déferlement à la capture de poches et bulles d'air sous la surface, participant aux échanges océan-atmosphère. Ces résultats ont été obtenus grâce au code volumes-finis massivement parallèle Notus CFD développé à l'I2M, plate-forme commune de développement de méthodes et d'expérimentation numérique.
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Université de Bordeaux
351, cours de la Libération - F 33 405 TALENCE
Tél: +33 (0)5 40 00 60 70
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