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Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres

Responsables : Razvan Barbulescu et Wessel Van Woerden

Page du séminaire

  • Le 26 janvier 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 1
    Bernadette Perrin-Riou Université Paris-Sud
    Présentation de WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server)

  • Le 9 février 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Павел Соломатин imb
    L-functions of Genus Two Abelian Coverings of Elliptic Curves over Finite Fields
    Initially motivated by the relations between Anabelian Geometry and Artin's L-functions of the associated Galois-representations, here we study the list of zeta-functions of genus two abelian coverings of elliptic curves over finite fields. Our goal is to provide a complete description of such a list.
  • Le 1er mars 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Cyril Bouvier imb
    Nonlinear polynomial selection for the number field sieve: improving Montgomery's method
    The number field sieve is the most efficient known algorithm for factoring large integers that are free of small prime factors. The goal of the polynomial selection, the first stage of this algorithm, is to compute a pair of integer polynomials. Montgomery proposed a method for generating two nonlinear polynomials which relies on the construction of small modular geometric progressions. In this talk, I will present theoretical and practical improvements to Montgomery's method that allow us to generate pairs of a quadratic and a cubic polynomials and pairs of two cubic polynomials for larger integer that was previously possible. Joint work with Nicholas Coxon.
  • Le 8 mars 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Fabien Pazuki IMB et Université de Copenhague
    Régulateurs de corps de nombres et de variétés abéliennes et propriété de Northcott.
    Soit $A$ une variété abélienne définie sur un corps de nombres $K$. On peut définir un régulateur associé au groupe de Mordell-Weil des points rationnels $A(K)$, lequel joue un rôle important dans la forme forte de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Si l'on suppose vraie la conjecture de Lang et Silverman, on montre alors que ce régulateur vérifie la propriété de finitude suivante : il n'y a qu'un nombre fini de variétés abéliennes simples de dimension fixée $g$, définie sur $K$, de rang non nul et de régulateur borné. On montre de plus (dans le courant de la preuve) une inégalité inconditionnelle entre la hauteur de Faltings de $A$, les premiers de mauvaise réduction de $A$ et le rang de Mordell-Weil de $A$. L'exposé commencera par une introduction présentant un résultat similaire et inconditionnel pour les régulateurs de familles de corps de nombres.
  • Le 15 mars 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Bill Allombert imb
    Survey on computing isogeny between elliptic curves.
    We present methods to compute isogenies between elliptic curves, and we apply them to the computation of the isogenies matrix of an elliptic curve defined over the rational and to the Schoof Elkies Atkin algorithm for counting point on elliptic curves defined over a finite field.
  • Le 22 mars 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Alexandre Le Meur Université de Rennes
    Formules de Thomae généralisées aux cas des extensions galoisiennes résolubles de $\mathbb{P}^1$.
    D'un point de vue classique, les formules de Thomae relient des rapports de puissances de theta constantes avec les coordonnées affines des points de ramification d'une courbe hyperelliptique. A partir des années 80, plusieurs auteurs, ayant des préoccupations centrés sur la physique, ont montré des généralisations de ces formules au cas des courbes superelliptiques. Plus récemment, Shau Zemel et Hershel Farkas ont écrit un livre en utilisant des arguments essentiellement algébriques. D'un point de vue arithmétique, ces courbes correspondent à des extensions galoisiennes cycliques d'un corps de fonctions $k(x)$. Nous montrerons comment généraliser ces formules au cas des extensions résolubles de $k(x)$ et quelles obstructions peuvent survenir.
  • Le 5 avril 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Benjamin Matschke IMB
    A database of rational elliptic curves with given bad reduction
    In this talk we present a database of rational elliptic curves with good reduction outside certain finite sets of primes, including the set {2, 3, 5, 7, 11}, and all sets whose product is at most 1000.
  • Le 10 mai 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Nicolas Mascot University of Warwick
    Calcul de représentations galoisiennes modulaires / Computing modular Galois representations
    Nous verrons comment la représentation galoisienne modulo l associée à une forme modulaire classique peut être calculée efficacement, en l'isolant dans la torsion de la jacobienne d'une courbe modulaire. Ceci permet notamment de calculer les coefficients a(p) de la forme en temps polynomial en log p, ce qui en fait la méthode la plus efficace connue à ce jour.
  • Le 17 mai 2016 à 11:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Nicolas Mascot University of Warwick
    Certification de représentations galoisiennes modulaires / Certifying modular Galois representations
    Nous verrons comment les calculs de représentations galoisiennes présentés dans l'exposé précédent peuvent être certifiés, en s'appuyant sur la conjecture de modularité de Serre et des calculs explicites de cohomologie des groupes.
  • Le 7 juin 2016 à 10:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Jared Asuncion IMB
    Tower decomposition of Hilbert class fields
    The genus g function Theta : $\mathbb{C}^g x \mathfrak{H}_g -> \mathbb{C}$ has numerous applications in mathematics, from number theory to non-linear differential equations; in particular, its connection with the Abel-Jacobi map on complex elliptic and hyperelliptic curves has important applications. A connection between some values of this function (the theta-constants) and the arithmetico-geometric mean of Gauss (and its generalization in genus $g$, the Borchardt mean) yields an algorithm to compute any $P$ digits of the theta-constants in roughly $\mathrm{log} P$ multiplication of $P$-bit numbers, which is quasi-optimal. We provide a generalization of this connection using general tau-duplication formulas; with some care, this allows us to devise an algorithm to compute $P$ digits of Theta in the same quasi-linear time in $P$. We also report on an implementation in genus 1 and 2, which beats the naive algorithm for precisions as low as a few thousand digits. This is joint work with Emmanuel Thomé.
  • Le 11 octobre 2016 à 14:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Enea Milio Inria Nancy Grand Est
    Une implantation en genre 2 de "Computing functions on Jacobians and their quotients" de Jean-Marc Couveignes et Tony Ezome
    Cet article explique comment définir et évaluer des fonctions sur des Jacobiennes de courbes de genre $g$ et sur des quotients de telles Jacobiennes par des sous-groupes isotropes maximaux de la $\ell$-torsion, pour $\ell>2$ premier. Pour le cas spécifique du genre 2, il est bien connu qu'à partir d'une courbe hyperelliptique $C$ et d'un sous-groupe isotrope maximal $V$, le quotient $\mathrm{Jac}(C)/V$ est la Jacobienne d'une courbe hyperelliptique $C'$, $(\ell,\ell)$-isogène à $C$. L'application de $C$ vers $\mathrm{Jac}(D)$ peut être décrite avec des fractions rationnelles de degré en $O(\ell)$. L'article donne une méthode pour calculer $C'$ et ces fractions. Pour notre exposé, nous nous proposons d'exposer le contenu de ce papier et de parler de l'implantation que nous avons faite en genre 2.
  • Le 18 octobre 2016 à 10:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Gregor Seiler ETH Zurich
    Computing ray class fields of imaginary quadratic fields

  • Le 8 novembre 2016 à 10:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Aurélien Focqué
    Algorithmes BMSS et Lercier Sirvent pour SEA dans PARI

  • Le 22 novembre 2016 à 10:00
    • Séminaire de Théorie Algorithmique des Nombres
    Salle 385
    Razvan Barbulescu
    A brief history of pairings
    Pairings are a relatively new cryptographic tool which have been the object of many arithmetic works. In the last few years some of the pairings have become obsolete because of the progress on the underlying problem of discrete logarithm in finite fields. We propose ourselves to make a list of pairings constructions, to explain their advantages but also their weaknesses. The sporadic curves are vulnerable to the Logjam attack and have never been a popular choice. The small characteristic curves allow a very good arithmetic but are the target of a quasi-polynomial algorithm. The pairings where the characteristic has a low Hamming weight, which eliminate the cost of modular reductions, have been the object of special attacks. When the embedding degree is composite the one can use the tower field arithmetic but there are also tower field attacks.

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