Let X be a subvariety of the n-dimensional algebraic torus. We study the set of algebraic points of X which, in a certain sense, lie close to an algebraic subgroup of dimension m. If m dim X < n we show that the set of these points has bounded height after removing from X a purely geometrically defined Zariski closed subset. The boundedness of height extends a result of Bombieri, Masser, and Zannier in the case r=1 and of Zannier in the case r=n-1. We also discuss a finiteness result for the points described above which depends on a recent result of Amoroso and David on lower bounds of heights of subvarieties of the torus.

Le 18 novembre 2005 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marc Hindry Paris 7

Sur un analogue pour les variétés abéliennes du théorème de Brauer-Siegel

Le theoreme de Brauer-Siegel montre que le produit du nombre de classes par le regulateur d'un corps de nombre se comporte asymptotiquement comme la racine carre du discriminant du corps. Nous discuterons d'un analogue helas conjectural (dependant en particulier au moins de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer) donnant le comportement asymptotique du produit du regulateur d'une variete abelienne sur un corps de nombres par le cardinal du groupe de Tate-Shafarevic. L'enonce (conjectural) fournit une reponse possible a la question "pourquoi est-il difficile de calculer le groupe de Mordell-Weil?".

Le 25 novembre 2005 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Kowalski

Sommes exponentielles sur les ensembles définissables sur les corps finis

Le 2 décembre 2005 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Peyre Grenoble

Allers-retours entre géométrie et arithmétique

Si $V\subset{\bf P}^N_{\bf Q}$, le comportement asymptotique des points de hauteur bornée de $V$ ne peut se comprendre qu'à l'aide de la géométrie de $V$. En collaboration avec Antoine Chambert-Loir, nous avons construit une fonction zêta des hauteurs motivique qui permet de révéler des liens profonds entre les espaces de modules de courbes sur {\bf C} et l'étude des points rationnels de hauteur bornée de $V$.

Le 9 décembre 2005 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gilles Zémor ENST

Constructions de codes "expander"

Le 9 décembre 2005 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Michael Pohst TU Berlin

Regulator bounds for number fields

Le 16 décembre 2005 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Kohel Sidney

Construction p-adique des invariants CM des courbes de genre 2..

Le 20 janvier 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anne-Marie Bergé

Formes quadratiques définies positives : théorie de Morse, eutaxies et décomposition cellulaire

a2x793

Le 27 janvier 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florian Ivorra

Réalisation l-adique de motifs mixtes..

Dans cet exposé, je donnerai les grandes lignes de la construction d'un foncteur de réalisation l-adique entier pour les motifs mixtes triangulés de V. Voevodsky sur un schéma noethérien séparé. Je présenterai la problématique d'où cette question est issue ainsi que de potentielles applications.

Le 3 février 2006 à 13:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tim Browning Bristol

Représentation des entiers par les formes quadratiques..

Soit q(x1,...,xn) une forme quadratique. Cet exposé s'occupe de certains aspects de la résolubilité de l'équation q = k, pour un entier k positif ou nul. Par exemple, quand k=0 et q est indéfinie, on améliore un résultat classique de Cassels sur la taille de la solution minimale de l'équation q = 0. L'ingrédient principal dans la preuve est une forme moderne de la méthode du cercle.

Le 3 février 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Paul Allouche Orsay

Sur une intégrale de Ramanujan

J.-P. Allouche CNRS, LRI, Bâtiment 490 F-91405 Orsay Cedex (France) http://www.lri.fr/ $\sim$ allouche

Dans un article paru en 2000, B. Berndt et D. Bowman calculent deux intégrales dues à Ramanujan :

$\begin{displaymath} I: = \int_0^1 \left(\frac{x^{p-1}}{1-x} - \frac{rx^{q-1}}{1-x^r} \right) dx = \psi(q/r) - \psi(p) + \log r \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} J := \int_0^{\infty} \frac{(1+ax)^{-p} - (1+bx)^{-q}}{x} dx = \psi(q) - \psi(p) + \log \frac{b}{a}. \end{displaymath}$

Ils se demandent alors, compte tenu de la similitude entre les deux membres de droite, si la première intégrale peut se déduire de la seconde. Nous répondons positivement à cette question et nous montrons que la valeur de l'intégrale

peut être déduite d'une expression classique due à Dirichlet de la fonction $\psi$ et de l'égalité classique (conséquence simple du théorème de Frullani-Cauchy)

$\begin{displaymath} \int_0^{\infty} (e^{-ax} - e^{-bx}) \frac{dx}{x} = \log \frac{b}{a}. \end{displaymath}$

Il n'est pas sans intérêt d'indiquer deux expressions de la constante d'Euler $\gamma$ que l'on peut déduire du calcul de l'intégrale :

$\begin{displaymath} \gamma = 1 - \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{k \geq 1} x^{2^k} dx \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \gamma = \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n} \left\lfloor \frac{\log n}{\log 2} \right\rfloor. \end{displaymath}$

La première de ces deux égalités remonte en fait à Catalan, la seconde est connue sous le nom de série de Vacca pour $\gamma$ .

Le 10 février 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Philippe Gaborit Limoges

Interpolation polynomiale multivariée, codes et cryptographie

Dans cet exposé nous nous intéressons à l'interpolation polynomiale multivariée et à ses applications. Nous présenterons tout d'abord des applications connues comme le décodage en liste des codes de Reed-Solomon (pour lequel Madhu Sudan a recu le prix Nevanlinna), mais aussi des applications nouvelles comme le décodage en liste des effacements des codes de Reed-Muller ou encore l'application au calcul de l'immunité algebrique. Ce dernier concept a de trés forte aplications en cryptographie pour contrer les attaques algébriques qui récemment ont permis d'obtenir des attaques trés efficaces sur les registres linéaires filtrés, utilisés pour le chiffrement à flot ou sur certains systèmes à clé symétrique. Ensuite nous présenterons un nouvel algorithme qui permet d'effectuer l'interpolation polynomiale multivariée à plusieurs variables en temps quadratique, améliorant la complexité cubique connue jusqu'ici pour résoudre certains des problèmes précédents.

Le 24 février 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Stéphane Vénéreau Bale

Y a-t-il plusieurs Cn-1 dans Cn..

Plus précisément : deux hypersurfaces de Cⁿ isomorphes à C^n-1 sont-elles toujours équivalentes à automorphisme (polynomial) de Cⁿ près? Cette question, difficile, se résout positivement dans certains cas, avec des arguments topologiques et algébriques mais le cas général, à partir de n=3 reste inconnu; on connait même un plongement explicite de C^3 dans C⁴ dont on ne sait s'il est trivial ou non. Cette question est étroitement liée à d'autres problèmes de la géométrie algébrique affine comme, par exemple, la description du groupe des automorphismes polynomiaux de Cⁿ. On peut également étudier des versions plus algébriques de cette question (remplaçons C par un méchant anneau) et trouver, là, des contre-exemples. }

Le 3 mars 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Raf Clückers

Sommes exponentielles: Conjectures de Denef - Sperber et d'Igusa, et introduction à une compréhension motivique

Je parlerai d'une solution positive des conjectures de Denef - Sperber pour les sommes exponentielles non-dégénérées. Il s'agit de bornes optimales pour des sommes exponentielles, non pas sur des corps finis, mais sur des anneaux finis comme les entiers modulo N avec N un entier positif. (Sur les corps finis, une théorie vaste est connue due à Deligne, Katz, Laumon et autres.) Par factorisation en nombres premiers, le cas important est quand N est une puissance d'un nombre premier, et alors on parle de sommes exponentielles p-adiques. L'uniformité en p et en la puissance de p est difficile à comprendre mais il y a des conjectures d'Igusa, de Denef et Sperber qui donnent des bornes très précises, en beaucoup de cas conjecturalement optimales. Si on somme exp(2i pi f(x)/N) sur les nombres x entre 0 et N-1 dans le cas ou f est nondégénéré par rapport à son polyèdre de Newton, on est dans le cas de la conjecture de Denef et Sperber que je présente. Deuxième thème: avec F. Loeser, et indépendemment par Kashdan et Hrushovski, on comprend finalement la nature motivique qualitative de ses sommes quand p bouge. Malheureusement, cette compréhension qualitative ne donne que des bornes rudes et donc pas assez pour les conjectures mentionnées.

Le 3 mars 2006 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Teturo Kamae Matsuyuma University

Numeration systems and their zeta-functions

Le 10 mars 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Kowalski

Petits écarts entre nombres premiers, d'après Goldston, Graham, Pintz, Yildirim

a2x811

Le 17 mars 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Caro Durham

Fonctions zêta de Weil et cohomologies p-adiques

\def\Q{\mathbb{Q}} \def\D{\mathcal{D}} Le calcul des fonctions zêta de Weil d'une variété algébrique $X$ sur un corps fini de caractéristique $p$ permet d'obtenir des applications cryptographiques. Nous rappellerons leurs différentes interprétations cohomologiques via des méthodes $l$-adiques ($l$ est un premier différent de $p$) ou $p$-adiques (i.e., on travaille sur $\Q_l$ ou $\Q_p$). Ces fonctions se généralisent de multiples façons en considérant en plus de la variété $X$, un objet $E$ (e.g. $\Q_l$-faisceaux constructibles, $F$-cristaux, $F$-isocristaux, $F$-complexes de $\D$-modules arithmétiques) vivant sur $X$. On définit ainsi des fonctions $L$ associées à $E$ (la fonction $L$ du coefficient «constant» redonne la fonction zeta de Weil). Afin d'obtenir une bonne cohomologie $p$-adique sur $X$, i.e., satisfaisant toutes les conditions requises pour devenir une «cohomologie de Weil», l'idée de Berthelot fut de construire une théorie arithmétique des $\D$-modules. Nous donnerons une formule cohomologique des fonctions $L$ associées aux $F$-complexes de $\D$-modules arithmétiques. Nous expliquerons comment cela résulte ou s'inspire des précédentes interprétations cohomologiques.

Le 17 mars 2006 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Frank Vallentin Amsterdam

Semidefinite programming bounds

Finding the stability number of a graph (A stable set is a subset of vertices in which any two are not adjacent and the stability number is the size of a maximum stable set.) is a well-studied problem in combinatorial optimization. It is NP-hard to compute and it is also difficult to approximate it. We propose an algorithm for computing a monotonic decreasing series of upper bounds for the stability number of a given graph. In every step of the series one has to solve a semidefinite programming problem. The algorithm is especially well-suited for highly symmetric graphs: By using harmonic analysis on finite groups one can (sometimes dramatically) reduce the size of the semidefinite programming problems. As a major example we consider the graph H(n,d). Its vertices are binary code words of length n and two vertices are adjacent if their Hamming distance is at most d - 1. Finding a maximum stable set in H(n,d) is equivalent to determining an optimal binary code of length n with minimum norm d. It turns out the the first step of our algorithm gives the classical linear programming bound due to Delsarte and that the second step gives the recent bound of Schrijver. This is joint work with Monique Laurent.

Le 24 mars 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Guillaume Hanrot INRIA\, Nancy

Moyennes de fonctions arithmétiques sur les entiers friables

Les problèmes de friabilité (déntiers, d'idéaux\dots) sont omniprésents dans la théorie algorithmique des nombres modernes, et leur étude est indispensable pour espérer, par exemple, une analyse rigoureuse des algorithmes de factorisation d'entiers. \medskip Je présenterai des résultats généraux permettant d'obtenir un développement asymptotique d'expressions de la forme $$\sum_{{n \leq x, P^+(n) \leq y}} f(n),$$ dans un large domaine, où $f$ est une fonction multiplicative dont la série de Dirichlet est du type $$G(s) \prod_{j=1}^r \zeta_{K_j}^{\lambda_j}(s),$$ sous des hypothèses bénignes sur la fonction $G$. Travail commun avec G. Tenenbaum et J. Wu.

Le 24 mars 2006 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Masayoshi Miyanishi Kwansei Gakuin University

Quelques pensées sur le théorème d'Ax

Le théorème d'Ax, souvent appelé théorème d'Ax, Borel et Grothendieck, séxprime comme suit. Théorème. (Ax, 1969) Soient Y un schéma et X un schéma de type fini sur Y. Soit f: X --> X un Y-endomorphisme injectif. Alors f est bijectif. Il généralise un résultat de D. J. Newman sur le cas X=R^2, déjà généralisé au cas X=R^n avec n quelconque par Bialynicki-Birula et Rosenlicht. Ce théorème a récemment attiré beaucoup d'attention en géométrie algébrique affine, en liaison avec la conjecture Jacobienne. Nous allons le revisiter et considérer ses variantes. Le thème principal de l'exposé sera les endomorphismes des variétés algébriques, pas nécessairement injectifs.

Le 31 mars 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Lara Thomas Lausanne

Structure galoisienne et combinatoire dans les extensions.. d'Artin-Schreier

Soit L/K une extension de corps locaux de degré [L : K] = car K = p > 0. Notons OK et OL les anneaux d'entiers correspondants. Lorsque L/K est totalement ramifiée, on étudie la structure de OL comme module sur l'ordre A associé à l'extension L/K. À l'aide d'arguments essentiellement combinatoires nous donnerons un critère purement algébrique pour que OL soit libre sur A : ce résultat renforce des travaux récents de Aiba et Lettl et s'obtient à partir d'une preuve indépendante. Nous présenterons également un résultat plus général qui permet de calculer le nombre minimal de générateurs de OL comme A-module à partir d'un développement en fraction continue.

Le 7 avril 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

David Vauclair Besancon

Autour de la conjecture de Greenberg généralisée...

La conjecture de Greenberg Généralisée (GG) peut être considérée comme une généralisation lointaine de la conjecture de Vandiver, qui prédit que le nombre de classes de Q(zeta_p)^+ nést pas divisible par p. Le but de cet exposé est l'énoncé d'une version faible (GGf) de la conjecture (GG), ainsi que sa démonstration, sous certaines hypothèses.

Le 14 avril 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Xavier Caruso Paris XIII

Conjecture de l'inertie modérée de Serre

Soit K un corps complet pour une valuation discrète v, de caractéristique nulle et dont on suppose le corps résiduel algébriquement clos de caractéristique p. Soit X un schéma propre et lisse sur K à réduction semi-stable sur l'anneau des entiers de K. En 1972, Serre demandait si les représentations galoisiennes données par la cohomologie étale de X (sur une clôture algébrique) étaient bornées dans un certain sens (qu'il explicitait totalement). Après un bref rappel historique des progrès sur la question de Serre, nous présenterons les méthodes modernes d'attaque d'un tel problème qui reposent principalement sur l'introduction des cohomologies log-cristalline et log-syntomique et l'existence de théorèmes de comparaison entre celles-ci et la cohomologie étale. Enfin nous montrerons comment ces méthodes permettent de prouver complètement le résultat conjecturé par Serre.

Le 21 avril 2006

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

CONGES de PRINTEMPS

Le 28 avril 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andrea Surroca Lausanne

Valeurs algébriques de fonctions transcendantes

Étant donnée une fonction f analytique et transcendante sur C(z), on s'intéresse à l'ensemble S_f des points algébriques en lesquels la fonction f prend des valeurs algébriques. Par exemple, pour la fonction exponentielle, S_f = {0}, et si on pose f(z) = 2^z, alors S_f = Q. On sait, d'après Stäckel, qu'il existe des fonctions entières et transcendantes prenant des valeurs algébriques en tous les points algébriques, cést-à-dire, telles que S_f soit une cloture algebrique de Q. En introduisant un contrôle sur le degré et la hauteur, nous donnerons une majoration sur le nombre de points algébriques où une fonction analytique transcendante prend des valeurs algébriques.

Le 5 mai 2006

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

THESE Eric Balandraud

Le 19 mai 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

John Swallow Davidson College

La structure galoisienne de la cohomologie galoisienne

Soient p un nombre premier, F un corps contenant une racine primitive p-ième d e l'unité et E/F une extension galoisienne de degré p, de groupe de Galois G. S oit G_E le groupe de Galois absolu de E. Les groupes de cohomologie H^i(E,Fp)=H ^i(G_E,Fp) possèdent une structure naturelle de FpG-modules et se decomposent e n somme directe de modules indecomposables. Borevic et Faddeev ont donné, dans les années soixantes, les décompositions de E^*/E^*p---le cas i=1---pour les cor ps locaux. Nous nous intéresserons dans cet exposé au cas i=1 pour des corps q uelconques, puis, utilisant la conjecture de Bloch-Kato, nous étudierons les cas i>1. La surprise vient du fait qu'il existe des FpG-modules indecomposables qu i n'apparaissent jamais dans de telles décompositions. Nous donnerons ensuite q uelques conséquences de ces résultats, notamment une généralisation de la formul e de Schreier pour G_E et des liens avec les groupes de Demuskin et des characte ristiques d'Euler-Poincaré de G_E. Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Labute, N. Lemire, et J. Minac.

Le 26 mai 2006

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

PONT de l'ASCENSION

Le 2 juin 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tanguy Rivoal Grenoble

Un exposant de densité en approximation rationnelle

Le 16 juin 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-François Jaulent

Nombres de Weil l-adiques

Nous introduisons la notion de nombre de Weil l-adique par analogie avec la notion classique de nombre de Weil à linfini ; et nous en étudions quelques propriétés en liaison avec les plongements et les valeurs absolues réelles ou l-adiques des corps de nombres. Nous en tirons diverses applications à la théorie dIwasawa des tours cyclotomiques.

Le 23 juin 2006 à 14:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Douglas Ulmer Arizona

Variétés jacobiennes de rang élévé sur les corps de fonctions

Le 6 octobre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Kowalski

Crible, marches aléatoires sur les groupes et propriété (T)

L'exposé présentera un mélange (agréable espérons-le) de théorie des nombres, d'algèbre, d'analyse et de probabilités pour arriver au résultat suivant~: si l'on part de la matrice identité $X_0$ (de taille $n$ au moins égale à $2$), et que l'on effectue la marche au hasard infinie déterminée par $X_{k+1}=X_k E_k$, où $E_k$ est une matrice élémentaire avec un coefficient $\pm 1$ hors de la diagonale, choisie au hasard pour chaque $k$, alors presque sûrement les polynômes caractéristiques des matrices $X_k$ ainsi obtenues seront irréductible à partir d'un certain rang.

Le 13 octobre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christine Bachoc

Nouvelles bornes pour le nombre de contact et programmation semi-définie

Le nombre de contact (ou plus joliment mais en anglais \emph{kissing number}) de la dimension $n$, noté $\tau(n)$, compte le nombre maximum de sphères de rayon $1$ que l'on peut coller à une même sphère de rayon $1$. On ne connait la valeur exacte de $\tau(n)$ que pour les dimensions $n=1,2,3,4,8,24$. Pour les autres valeurs de $n$, on connait seulement une borne supérieure, obtenue en général par la méthode de la programmation linéaire (LP) due à Philippe Delsarte. Dans un travail en commun avec Frank Vallentin, nous développons une généralisation de cette methode, qui fournit une borne comme solution d'un problème de programmation semi définie (SDP). Cette nouvelle borne s'avère meilleure que la borne LP et nous permet de donner une preuve uniforme pour la valeur connue de $\tau(n)$ pour $n=3,4,8,24$, et d'ameliorer les bornes connues pour $\tau(n)$ pour toutes les autres valeurs de $n=5$ à $n=10$. Elle s'applique aussi à d'autres questions de théorie des codes et de géométrie sphérique qui seront abordées dans l'exposé.

Le 20 octobre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Sandra Rozensztajn Strasbourg

Comparaison entre cohomologie étale p-adique et cristalline sur certaines variétés de Shimura

Soit X un modèle entier d'une variété de Shimura, associée à un groupe réductif G. On peut associer aux représentations de G sur Z_p deux types de faisceaux : des cristaux sur la fibre spéciale de X, et des faisceaux localement constants pour la topologie étale sur la fibre générique. On étudie la relation entre la cohomologie de ces deux types de faisceaux.

Le 27 octobre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marius van der Put Groningen

Searching solutions for differential equations

We focus on the following problem, posed by L. Fuchs: For which linear differential equations L(y) = y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^(n-1)+ ... + a₁y⁽¹⁾ + a₀y = 0 can one express the solutions in terms of solutions of linear differential equations of degree ≤ n? Gino Fano published in 1900 a remarkable paper on this theme. It seems to have been forgotten until M. F. Singer took up this theme around 1985 . He proved and disproved certain statements and conjectures of Fano. We will try to present a systematic treatment of Fano's paper, due to Nguyen Khuong Ann and myself.

Le 3 novembre 2006

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE TOUSSAINT

Le 10 novembre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Renaud Coulangeon

Designs sphériques et fonctions zêta de réseaux

La fonction zêta d'Epstein est une généralisation multidimensionnelle de la fonction zêta de Riemann : à un réseau euclidien $L$ de dimension $n$ on associe la série $$ \zeta(L,s):= \sum_{x \in L - \{0\}} ||x||^{-2s},$$ qui converge pour $\mathrm{Re}(s) > \frac{n}{2}$ et admet un prolongement analytique à $\mathbb{C}\setminus\left\lbrace \frac{n}{2}\right\rbrace $. On s'intéresse aux réseaux qui, à $s>0$ fixé ($s eq \frac{n}{2}$), minimisent $\zeta(L,s)$. Cette question, qui est liée à la question plus classique de la détermination des empilements de sphères réguliers les plus denses, apparait assez naturellement dans des contextes variés (géométrie, physique). Dans un article récent (Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 115--151), Sarnak et Str"ombergsson montrent que les réseaux de racines $\mathbb{D}_4$ et $\mathbb{E}_8$, ainsi que le réseau de Leech $\Lambda_{24}$, réalisent un minimum local strict de $\zeta(L,s)$ pour tout $s>0$ ($s eq \frac{n}{2}$). Nous proposons une nouvelle preuve de ce résultat, conceptuellement plus simple, basée sur la notion de design sphérique. En outre, notre approche permet d'étendre le théorème de Sarnak et Str"ombergsson à toute une famille de réseaux (les "réseaux modulaires extremaux"), \textsl{via} des travaux de Bachoc et Venkov.

Le 10 novembre 2006 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christophe Doche Macquarie

Moments des polynômes de Rudin-Shapiro et généralisations

Le 17 novembre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kohji Matsumoto Nagoya

Mean square values of standard L-functions attached to Ikeda lifts

In general it is very difficult to determine the exact order of the mean square of standard L-functions attached to Siegel modular forms of higher degree. However, if the form is an image of Ikeda lifting, the situation is quite different. In this talk I will report that, in such a case, we can almost determine the exact order. (A part of this talk is a joint work with A. Sankaranarayanan.)

Le 24 novembre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pierre-Marie Poloni Dijon

Peut-on déterminer si deux polynômes donnés sont équivalents ?

Deux polynômes $P,Q\in \bf{C} [X_1,\ldots,X_n]$ sont dits (algébriquement) équivalents s'il existe un automorphime polynomial $\varphi$ de $\bf{C} [X_1,\ldots,X_n]$ tel que $\varphi(P)=Q$. Savoir si deux polynômes donnés sont équivalents ou non est une question naturelle mais difficile en général. Dans cet exposé, on se propose d'illustrer, par des exemples explicites, le genre de difficultés que l'on rencontre. L' étude des plongements de certaines hypersurfaces de $\bf{C}^3$, dites hypersurfaces de Danielewski, jouera un rôle important dans la construction de ces exemples.

Le 8 décembre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Royer Clermont-Ferrand

Statistiques de deuxième ordre des petits zéros de fonctions L de puissances symétriques

Le 15 décembre 2006 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marcus Wagner Berlin

On the computation of Hermite-Humbert constants for real quadratic number fields

In 1965 Harvey Cohn presented an algorithm for the numerical approximation of low-points for the Hilbert modular group of real quadratic number fields $K$ with $h(K)=1$. It turns out that in fact the low-points correspond to extreme Humbert forms of real quadratic number fields. For extreme Humbert forms we use the theory of Vorono"i and Coulangeon for characterization. In this talk we combine the advantages of known algorithms and Cohn's algorithm to obtain new examples of extreme Humbert forms. We are able to compute extreme Humbert forms for the fields $Q(\sqrt{7})$, $Q(\sqrt{11})$ and $Q(\sqrt{6})$.

Le 29 décembre 2006

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE NOEL

Le 12 janvier 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lillian Pierce Princeton

Exploring properties of the class group of quadratic fields via the square sieve

Since Gauss's publication of Disquisitiones Arithmeticae in 1801, mathematicians have been interested in the divisibility properties of class numbers. However, still today many of the properties of class numbers remain mysterious. In this talk we will discuss recent work on the divisibility by 3 of class numbers of quadratic fields. It is conjectured that the 3-part of the class number of the quadratic field $Q(\sqrt{D})$ (i.e. the size of the 3-torsion subgroup) may be bounded above by an arbitrarily small power of $|D|$. However, until recently, the only known bound was the trivial bound for the class number itself, $O(|D|^{1/2 + \varepsilon})$. Bounding the 3-part can be reduced to the problem of counting the number of squares of the form $4x^3 - dz^2$, where $d$ is a square-free positive integer, and $x$ and $z$ are integers in the ranges $x \ll d^{1/2}$, $z\ll d^{1/4}$. This counting problem is nontrivial because of the disproportionate ranges of the variables. We show that using a variant of the square sieve in combination with the q-analogue of van der Corput's method allows one to tackle such a counting problem successfully, giving a nontrivial upper bound for the 3-part of class numbers of quadratic fields. This new method of counting integer points is quite general, and has recently been used by Heath-Brown to give an upper bound for the size of discriminants of imaginary quadratic fields whose class group can have exponent 5.

Le 19 janvier 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Harald Helfgott Bristol

Les ensembles mal distribués doivent être petits

Soit $S\subset \mathbb{Z}^n \cap [0,N]^n$ (un ensemble de points entiers dans un intervalle ou une boîte). Supposons que, pour beaucoup de nombres premiers $p$, la distribution de $S$ dans les classes de congruence modulo $p$ est loin d'être uniforme. Est-ce que $S$ est alors forcément petit ? Une dichotomie claire apparaît: soit $S$ est très petit, soit $S$ a beaucoup de structure algébrique. On montre que, si $S\subset \mathbb{Z}^2 \cap [ 0, N]^2$ occupe un petit nombre de classes de congruence modulo $p$ pour beaucoup de nombres premiers $p$, alors soit $S$ contient moins de $N^{\epsilon}$ éléments, soit la plupart des éléments de $S$ appartiennent à une courbe algébrique de degré $O_{\epsilon}(1)$. On conjecture des choses similaires pour $S\subset \mathbb{Z}^n$, $neq 2$. Dans la preuve, on combine des idées du ``crible majeur'' de Gallaguer et du travail de Bombieri et Pila. Toutes les techniques utilisées sont élémentaires. Il s'agit d'un travail en collaboration avec A. Venkatesh.

Le 26 janvier 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Lubicz CELAR\, Rennes

Relèvement canonique en caractéristique impaire

Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer effectivement des équations donnant un plongement projectif de l'espace des variétés abéliennes munies d'une certaine structure de niveau et caractériser dans cet espace les relevés canoniques. Nous donnerons des applications algorithmiques.

Le 2 février 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Roger Oyono Waterloo

Jacobiennes modulaires non-hyperelliptiques de dimension 3

Dans cet exposé je présenterai deux méthodes différentes pour la construction des équations des courbes non-hyperelliptiques de genre 3 provenant des facteurs Q-simples A_f principalement polarisés de J(X_0(N)), où X_0(N) repésente la courbe modulaire associée à Gamma_0(N). La première méthode, qui ne s'applique qu'aux courbes modulaires, est basée sur le calcul du morphisme canonique des courbes non hyperelliptiques de genre 3 en utilisant des relations algébriques entre éléments d'une base integrale de l'espace S_2 (A_f) des cusp forms. Ces courbes admettent tous des modèles définis sur Q avec des petits coefficients. L'autre méthode est basée sur la résolution explicite du problème de Torelli en dimension 3 : A partir d'une variété abélienne A=C^3 /(Z^3+W Z^3) donnée par sa matrice de périodes W dans H_3 et provenant de la Jacobienne d'une courbe non hyperelliptique de genre 3, trouver l'équation d'un bon modèle de cette courbe (à isomorphisme près).

Le 16 février 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anna Cadoret Bordeaux

Contraintes abéliennes pour les G-revêtements

Si $X\rightarrow k$ est une courbe définie sur un corps $k$ et $\mathbf{t}\subset X$ un diviseur $k$-rationnel sur $X$, l'existence d'un G-revêtement abélien $Y\rightarrow X$ défini sur $k$, de diviseur de ramification $\mathbf{t}$ et de degré premier à la caractéristique de $k$ impose des contraintes arithmétiques sur $X$, $\mathbf{t}$ et $\text{Pic}_{X/k}^{0}$. Ces contraintes permettent de relier l'étude de la torsion sur les jacobiennes de courbes à celle des points rationnels sur certains espaces de modules de $G$-revêtements. Je décrirai la connexion entre ces deux problématiques et certains résultats qu'elle a permis d'obtenir, notamment: \begin{itemize} \item une formulation modulaire de la conjecture de torsion forte pour les jacobiennes de courbes. \item une généralisation en dimension supérieure de la tour des courbes modulaires $(Y_{1}(p^{n+1})\rightarrow Y_{1}(p^{n}))_{n\geq 0}$ pour les jacobiennes hyperelliptiques. \item le théorème suivant: \end{itemize} oindent\textbf{Théorème:} \textit{On se fixe un nombre premier $p$, un corps $k$ de type fini et de caractéristique $ot= p$ et un groupe profini $G$ contenant un sous-groupe ouvert $U\subset G$ tel que $U\twoheadrightarrow \mathbb {Z}_{p}$. Alors, quelque soit la courbe $X\to k$ que l'on considère, il n'existe pas d'extension galoisienne $E/\overline{k}(X)$ de groupe $G$ et de corps des modules $k$.} oindent Ce théorème, qui est un contre-exemple à une variante faible du problème de Galois inverse régulier profini (variante vraie pour les groupes finis), a une interprétation modulaire en terme de non-existence de systèmes projectifs sur certaines tours d'espaces de modules pour les courbes avec $G$-action.

Le 22 février 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Fouquet P.6

Sans titre

Le 23 février 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES D'HIVER

Le 9 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Paul Thomas Young Charleston

Bernoulli numbers and sums of powers..

The Bernoulli numbers arise in classical formulas for the sum of powers of consecutive integers. They play important roles in combinatorics and number theory, and have been studied and generalized by many mathematicians. Among their most important properties is a system of congruences first developed in 1847 by Kummer in his work on the theory of irregular primes. This system of congruences was later interpreted in 1964 by Kubota and Leopoldt as evidence for the existence of remarkable p-adic analogies of the Riemann zeta functions and Dirichlet L-functions. The last decade has seen a resurgence of interest in generalizing and extending Kummer's congruences. In this talk I'll sketch these recent developments, focusing on my own new contributions to the subject and combinatorial applications.

Le 16 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kamal Khuri-Makdisi AUB

Représentations algorithmiques d'une courbe et de sa jacobienne

Soit X une courbe algébrique lisse et projective sur un corps k. Je présente une façon de décrire X sans équations explicites, en utilisant les valeurs en plusieurs points de sections globales de fibrés en droites sur X. Cette représentation de X conduit à des algorithmes rapides pour les diviseurs sur X et pour la jacobienne de X, ainsi qu'à des approches intéressantes pour les modèles explicites des courbes modulaires et de Shimura.

Le 23 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Trotabas

Non-annulation des fonctions L des formes modulaires de Hilbert

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer établit conjecturalement un moyen d'étudier le rang d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres. Sur Q, cela a conduit a étudier la proportion asymptotique de formes modulaires de niveau q premier qui ne s'annulent pas en 1/2, quand q tend vers l'infini. Nous expliquerons la démarche de cette étude, dans le cas d'un corps de nombres totalement réel, pour les formes modulaires de Hilbert, qui passe par une asymptotique des moments amollis.

Le 23 mars 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andrea Pulita

Théorie abélienne des équations différentielles p-adiques...

Ceci est la première partie de ma thèse. Je donne une classification des équations différentielles de rang 1, solubles, sur l'anneau de Robba. C'est la théorie abélienne des équations différentielles. En termes de représentations cela revient à étudier l'abélianisé de l'inertie du groupe de Galois absolu du corps $k((t))$, avec $k$ de caractéristique $p$. En particulier, je calcule le foncteur de Fontaine qui envoie une représentation dans un $\phi,abla$-module sur l'anneau de Robba "borné".

Le 27 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pietro Corvaja

Sans titre

Le 30 mars 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kirill Vankov Grenoble

Calcul symbolique de séries génératrices dans l'algèbre de Hecke

Dans cet exposé je vous présente les résultats explicites de calcul symbolique dans les algèbres de Hecke locales pour $\mathrm{GSp}_n$ des séries génératrices concernées de la conjecture de Shimura (1963) $\sum\limits_{\delta=0}^{\infty}T(p^\delta)X^\delta$ et de Lemme de Rankin de genre supérieur $\sum\limits_{\delta=0}^{\infty}T(p^\delta)\otimes T(p^\delta)X^\delta$. Les résultats ont été obtenus sur l'ordinateur en utilisant l'application sphérique de Satake. Il s'agit d'un travail commun avec Alexei Pantchichkine.

Le 30 mars 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Bruno Martin Nancy

Nouvelles identités de Davenport

Soit $g$ une fonction arithmétique et $B$ la première fonction de Bernoulli normalisée. En développant $B$ en série de Fourier, nous obtenons l'identité formelle $$\sum_{n\ge 1}\frac{g(n)}{n}B(n\theta)=-\sum_{m\ge 1} \frac{\big(g*\1\big)(m)}{m}\sin(2\pi m\theta) \qquad(\theta\in\mathbb{R}),$$ où $*$ désigne l'opérateur de convolution de Dirichlet et $\1$ dénote la fonction arithmétique constante : $\1(n)=1 \,(n\in\mathbb{N}).$ En 1937, Davenport pose le problème de déterminer l'ensemble des nombre réels $\theta$ pour lesquels cette identité prend un sens analytique. En utilisant une méthode reposant sur l'utilisation des entiers friables, nous étudierons le cas où $g$ est la fonction de Piltz d'ordre $z\in\mathbb{C}$.

Le 6 avril 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pierre Charollois

Sur l'argument des unités de Stark

Nous proposons un raffinement de la conjecture de Stark pour un type particulier de corps de nombres. Notre construction, de type analytique, permet de proposer une formule pour l'unité de Stark au complet (module et argument) au moyen de périodes associées à des formes modulaires de Hilbert, et plus précisément à des séries d'Eisenstein de poids 2. Des exemples numériques donneront, on l'espère, du crédit à notre conjecture. C'est un travail en commun avec Henri Darmon.

Le 6 avril 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Blottière Padderborn

Le théorème de Klingen-Siegel via le polylogarithme..

Soit K un corps de nombres totalement réel. Le théorème de Klingen-Siegel est un résultat de rationalité pour les valeurs spéciales de fonctions L (liées aux fonctions zeta partielles) associée à K. Nous donnerons une preuve géométrique de ce théorème. Pour se faire, nous définirons le polylogarithme d'une famille de variétés abéliennes complexes A/S. A partir de cet objet et d'une section de torsion de A/S, on expliquera comment définir des classes de cohomologie rationnelles sur S, appelées classes d'Eisenstein, que l'on peut décrire explicitement à l'aide de séries d'Eisenstein-Kronecker. Ces classes ont un intérêt particulier car, d'après Kings, elles ont une origine motivique. Nous spécialiserons alors la situation géométrique au cas où A/S est une famille modulaire de Hilbert-Blumenthal associée à K et nous considérerons la compactification de Baily-Borel de la base S qui s'obtient en ajoutant un nombre fini de points, appelés pointes. Nous verrons que le résidu des classes d'Eisenstein en ces pointes, qui est un nombre rationnel, s'exprime à l'aide d'une valeur spéciale de la fonction L associée à K considérée par Klingen et Siegel.

Le 13 avril 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE PRINTEMPS

Le 27 avril 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabrice Orgogozo École Polytechnique

p-dimension des corps et méthode d'algébrisation d'Ofer Gabber

Soit $A$ un anneau intègre hensélien excellent, par exemple complet, de corps résiduel de caractéristique $p>0$ et de corps des fractions $K$ de caractéristique nulle. Si $A$ est un anneau de valuation discrète, Kazuya Katô a démontré en 1980 que la $p$-dimension cohomologique de $K$, $p-dim(K)$, dépend du module des formes différentielles absolues sur le corps résiduel. Il conjecture également que sa formule calculant $p-dim(K)$ est valable en toute dimension. On se propose d'expliquer comment, en utilisant une technique d'algébrisation récente d'Ofer Gabber, on peut ramener cette question au cas particulier déjà établi par Katô. (Travail en collaboration avec Ofer Gabber.)

Le 27 avril 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Joël Riou

K-théorie algébrique et théorie homotopique des schémas

Dans les années 1990, en associant la géométrie algébrique et la théorie de l'homotopie, F. Morel et V. Voevodsky ont introduit la théorie homotopique des schémas. Comme dans le cas classique de la K-théorie topologique complexe, ils ont donné une interprétation homotopique de la K-théorie algébrique faisant intervenir la grassmannienne infinie. En partant de ce résultat, il est possible de déterminer l'ensemble des opérations sur la K-théorie algébrique, de construire des régulateurs vers d'autres théories cohomologiques et de donner une réinterprétation du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch.

Le 4 mai 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Carlo Gasbarri Rome

Théorie de Nevanlinna et théorie de la transcendance géométrique

On parlera des généralisations du théorème de Bombieri-Schneider-Lang à des morphismes analytiques des variétés affines dans des variétés projectives. On montrera des applications et l'on expliquera comment la théorie de Nevanlinna joue un rôle important dans ce cadre. Dans la dernière partie on expliquera une nouvelle théorie analogue à la théorie de Nevanlinna, plus adaptée aux problèmes analytiques.

Le 11 mai 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lorenzo Ramero Lille

Une preuve du théorème d'existence de Riemann p-adique

Il s'agit de l'énonce suivant. Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique 0, complet pour une valuation non-archimédienne; soit $D$ un disque défini sur $K$, et notons $D^*$ le disque $D$ privé de son centre (ce sont des $K$-varietés analytiques); alors, tout revêtement fini de $D^*$ se prolonge à un revêtement ramifié de $D$. Ce théorème a été demontré par Gabber autour de 1982. Le but de l'exposé est de présenter une nouvelle preuve, qui est plus élémentaire et qui utilise certaines valuations non-archimédiennes de rang 2.

Le 11 mai 2007 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

V. Vatsal UBC

p-adic measures and L functions

Le 18 mai 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

PONT

Le 25 mai 2007 à 15:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Evelina Viada Fribourg

Points algébriques de courbes

Étant donnée une courbe intègre sur une variété abélienne, on étudie les points algébriques de la courbe qui satisfont certaines propriétés. On veut démontrer si l'ensemble de ces points est fini ou pas. On donnera des examples des deux cas: fini et infini.

Le 1er juin 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Szilárd Revesz Rényi Institute et I.H.P

Oscillation of the remainder term in the Beurling prime number formula

Arne Beurling generalized the prime number theorem to the rather general situation when the role of primes are taken over by some arbitrary reals, and integers are simply the reals of the freely generated multiplicative subgroup of the primes given. If the "number of integers from 1 to $x$" function takes the form $N(x)=x + O(x^a)$, with $a<1$, then the corresponding Beurling zeta function has a meromorphic continuation to the halfplane to the right of $a$. Location of zeroes between the real part = 1 and real part $= a$ lines are then crucial to the oscillation of the prime number formula, as is well-known in the classical case. The lecture describes how these relations can be established even in the generality of Beurling prime distribution. In particular, we explain what (relatively mild) conditions can ensure that the most well-known classical zero density estimates carry over to the Beurling zeta function, too.

Le 8 juin 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tarlok Shorey Tata Institute

Some exponential diophantine equations involving products of integers..

A theorem of Erdos and Selfridge states that a product of two or more consecutive positive integers is never a power. Also Euler proved that a product of four terms in arithmetic progression is not a square. I shall give extensions and refinements of these thorems.

Le 22 juin 2007 à 09:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Journée de Mathan

Pierre Bel "Fonctions zêta de Hurwitz p-adiques et irrationalité"....Yann Bugeaud "Autour du théorème de Roth"....Georges Rhin "Autour du diamètre transfini entier"....Tanguy Rivoal "Interpolation de Lagrange et valeurs de zêta"....Carlo Viola "La méthode du groupe de permutations en approximation..diophantienne"....Michel Walschmidt "Critères de transcendance"..

Le 21 septembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ivan Fesenko

Geometry and analysis on regular models of elliptic curves and their arithmetic

I will present main concepts and ideas of two dimensional adelic analysis on regular models of elliptic curves over global fields and discuss its application to meromorphic continuation and functional equation of the zeta function (mean periodicity hypothesis as a weak form of the Taniyama conjecture), its GRH (positivity of the fourth derivative near zero) and the BSD conjecture (a new method to prove its rank part). The talk will have an emphasis on concrete arithmetic and analytic objects which come naturally from the adelic analysis, and it will include computational results obtained via pari. For a beamer-latex pdf file of a 90 minutes more advanced talk on 2d adelic analysis programme please see http://www.maths.nott.ac.uk/personal/ibf/t1.pdf

Le 28 septembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Achill Schürmann

Perfect forms and extensions

In this talk we review Voronoi's classical theory on perfect lattices, respectively on perfect (positive definite quadratic) forms, from the viewpoint of Ryshkov polyhedra. Based on it we explain how perfect lattices can (in principle) be classified in a given dimension $d$ and we provide some details on the recently finished classification for $d=8$. One of the main applications of such a classification is a solution of the lattice sphere packing problem. One may hope to find an answer to one of the major open problems on sphere packings: the existence of a dimension~$d$, for which there exist non-lattice packings which are denser than any lattice packing. For several dimensions $d\geq 10$ such packings are expected to exist, but so far the lattice sphere packing problem has only been solved for $d\leq 8$ and $d=24$ (where the Leech lattice likely gives the densest possible sphere packing). We introduce a way of extending Voronoi's theory to periodic sets which may help to shed some new light on the problem. On the one hand it yields computational tools for systematic future explorations of dense periodic sphere packings. On the other hand our framework allows to show that perfect and strongly eutactic lattices can not be locally improved to yield denser, periodic non-lattice packings.

Le 5 octobre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fedor Pakovich

Relations between roots of algebraic equations and the polynomial moment problem

The talk concerns the following "polynomial moment problem" which arose recently in connection with Poincare's center-focus problem for polynomial vector fields. For a given polynomial $P(z)$ to describe polynomials $Q(z)$ orthogonal to all powers of $P(z)$ on a segment $\left[a,b\right]$. In the talk we describe the main stages of a solution of this problem with the emphasis to the ones connected to the number theory. In more details, first, using some combinatorial considerations, similar to the ones appearing in the "Dessins d'enfants" theory, we reduce this problem to the description of algebraic functions of the form $Q(P^{-1}(z))$ the branches of which satisfy a certain system of linear equations over $\mathbb{Q}$. Then we show that in order to obtain such a description it is enough to describe irreducible permutation representations over $\mathbb{Q}$ of the groups containing a full cycle. Finally, on the base of the Schur rings theory, we provide a classification of such representations.

Le 12 octobre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eduardo Friedman

Finite Products of Regularized Products

Regularized products are known not to commute, namely the product of two regularized products is not in general equal to the product of each of the regularized products. We study this discrepancy and show that in many cases it is of a polynomial nature. The motivation for this is derivatives of $L$ functions at $0$ and the work of Shintani. This is joint work with Francisco Diaz y Diaz.

Le 19 octobre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

COLLOQUE HENRI COHEN

Sans titre

Le 26 octobre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ben Odgers

Random matrices and L-functions: transitions between ensembles, and a shifted second moment for L-functions of cusp forms.

In recent times, considerable insight has been gained from comparing certain statistics of random matrix ensembles to the corresponding statistics taken over families of $L$-functions. We will look the transitions between ensembles of some such statistics, and for moments see what $L$-function-related conjectures naturally follow. Relating to an example family used above, an explicit formula will also be given for a shifted second moment taken over the family of $L$-functions of level $1$ cusp forms.

Le 2 novembre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE TOUSSAINT

Sans titre

Le 9 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriele Ranieri

Générateurs de l'anneau des entiers d'une extension cyclotomique

Soit $n$ un entier naturel non-nul. Notons $\zeta_n$ une racine primitive $n$-\`{e}me de l'unit'{e} et $\alpha$ un g'{e}n'{e}rateur de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$. On dit que $\alpha\sim\beta$ s'il existe $\sigma$ dans $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)\vert\mathbb{Q})$ et un entier relatif $k$ tels que $\beta=\pm\sigma(\alpha)+k$. Dans ce cas, $\mathbb{Z}[\beta]=\mathbb{Z}[\zeta_n]$. Soit $p$ un nombre premier. Nous connaissons deux classes d''{e}quivalence de $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ \`{a} savoir la classe de $\zeta_p$ et la classe de $\omega:=(\zeta_p+1)^{-1}$. Nous savons '{e}galement que celles-ci sont distinctes si $p>3$ et que $\omega+\overline{\omega}=1$. En 1988, Bremner conjecture qu'il n'existe pas d'autres classes de g'{e}n'{e}rateurs. En 1998, Robertson donne une r'{e}ponse partielle \`{a} cette conjecture en d'{e}montrant que si $\alpha$ est un g'{e}n'{e}rateur alors soit il est '{e}quivalent \`{a} $\zeta_p$ soit $\alpha+\overline{\alpha}$ est un entier impair. Soit $q$ une puissance de $p$ et $h_q^+$ l'ordre du groupe des classes de $\mathbb{Q}(\zeta_q+\overline{\zeta_q})$. En 2006, Gaal et Robertson obtiennent un r'{e}sultat similaire \`{a} celui de Robertson avec l'hypoth\`{e}se suppl'{e}mentaire $h_q^+$ premier avec $p(p-1)/2$. Dans cet expos'{e}, nous montrons qu'il est possible d''{e}liminer celle-ci.

Le 16 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stéphane Nonnenmacher

Mesures semiclassiques sur des variétés de courbure négative

Nous étudions les fonctions propres du laplacien sur des variétés riemanniennes compactes de courbure sectionnelle négative (par exemple les quotients compacts d'un demi-espace hyperbolique). Dans la limite de haute énergie, la localisation de ces fonctions propres est décrite par certaines mesures sur le cotangent unitaire, appelées mesures semiclassiques. Ces mesures sont invariantes par le flot géodésique, mais toute mesure invariante n'est pas forcément une mesure semiclassique. Dans le cas particulier des variétés arithmétiques, les travaux récents de Lindenstrauss ont montré que les états propres de Hecke ont tous comme mesure semiclassique la mesure de Liouville: ces états propres sont "maximalement délocalisés". En se servant uniquement de la dynamique chaotique du flot géodésique, nous montrons (dans le cas général) que les états propres doivent être au moins "à moitié délocalisés": l'entropie de toute mesure semiclassique est au moins égale à la moitié de l'entropie maximale. (collaboration avec N.Anantharaman et H.Koch)

Le 23 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Robert Belliard

Cohomologie asymptotique des unités circulaires

Dans cet exposé on donne un apercu de la théorie d'Iwasawa dans le cadre cyclotomique. Dans ce cas le groupe des classes d'idéaux usuel est accompagné du groupe des classes d'unités obtenu en quotientant les unités par les unités circulaires. La plus part des grands théorèmes et conjectures de cette théorie (Conjecture Principale, conjecture de Greenberg et conjecture de Vandiver par exemple) affirment que ces deux groupes de classes sont apparentés (en des sens plus ou moins précis). On d'ecrira aussi la cohomologie galoisienne de ces unités circulaires dans la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique.

Le 30 novembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Romain Validire

Descente galoisienne pour les noyaux sauvages étales

Soient $p$ un nombre premier et $F_{\infty}$ la $\mathbb Z_p$-extension cyclotmique d'un corps de nombres $F$. L'objet de l'exposé est l'étude du groupe de Galois $\mathcal G_{\infty}':=Gal(\mathcal L_{\infty}'/F_{\infty})$ o $\mathcal L_{\infty}'$ d'esigne la pro-$p$-extension non ramifiée, $p$-décomposée, maximale de $F_{\infty}$. \ Par ailleurs on d'efinit en cohomologie étale, pour tout entier $i\geq 1$, les noyaux sauvages étales $WK_{2i}^{\acute{e}t}(F)$ ; ceux-ci jouent un rle analogue la $p$-partie du groupe des classes de $F$. M. Kolster et C. Movahhedi ont montré que pour une extension finie $E/F$ le morphisme de norme $WK_{2i}^{\acute{e}}(E)\rightarrow WK_{2i}^{\acute{e}}(F)$ est surjectif sauf dans un cas particulier. Dans ce cas, l'étude du comportement galoisien de ces groupes, en lien avec la théorie d'Iwasawa, donne un critère de pro-$p$-liberté pour $\mathcal G_{\infty}'$. \ Nous précisons ainsi certains résultats sur la structure de $\mathcal G_{\infty}'$ obtenus par J.-F. Jaulent et F. Soriano.

Le 7 décembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vincent Cossart U.V.S.Q.

Désingularisation des variétées projectives..de dimension 3 sur un corps quelconque (ou presque)..(travail commun avec olivier Piltant - U.V.S.Q.).

Travail commun avec Olivier PILTANT Après avoir rappelé le problème de la d'esingularisation nous ferons un bref état de l'art en caractéristique $p>0$. Pour résoudre le problème en dimension 3, nous suivons le programme de ZARISKI (1940), que nous rappellerons et qui consiste à scinder la preuve en deux parties oindent 1-uniformisation oindent 2-recollement. Le recollement est acquis depuis 1992. Pour l'uniformisation, nous suivons la stratégie qui permit à ABHYANKAR de faire la dimension 2 (1956) et qui réduit le problème à une équation $$X^p-X g^{p-1}+f \in S[X], $$ $S$ anneau local régulier de dimension 3. Nous donnerons quelques uns des ingrédients qui nous ont permis de conclure.

Le 14 décembre 2007 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tetsushi Ito Kyodai/I.H.E.S.

Hasse invariants and the l-adic cohomology of..unitary Shimura varieties

The classical Hasse invariant is a modular form of weight p-1 in characteristic p which has a simple zero at each supersingular point. In this talk, we will discuss how to generalize the Hasse invariant to unitary Shimura varieties with signature (1,n-1) using the idea of Ekedahl-Oort stratification. We will also discuss an application to the l-adic cohomology of unitary Shimura varieties with bad reduction (Iwahori level structure) using integral models of Harris-Taylor-Yoshida and the weight spectral sequence of Rapoport-Zink.

Le 21 décembre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE NOEL

Sans titre

Le 28 décembre 2007

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE NOEL

Sans titre

Le 4 janvier 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE NOEL

Sans titre

Le 11 janvier 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Wim Veys Leuven Univ.

Fonctions zêta et monodromie.

A un polynôme p-adique ou complexe f on associe sa fonction zêta (d'Igusa) p-adique, motivique ou topologique. La conjecture de la monodromie prédit que les pôles de ces fonctions induisent des valeurs propres de la monodromie locale de f. L'exposé traitera de quelques résultats assez généraux pour des polynômes f en trois variables, et des liens avec certaines configurations de courbes planes et avec des valeurs principales d'intégrales.

Le 18 janvier 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ann Lemahieu Leuven Univ.

Conjecture de monodromie pour un certain type de surfaces

Dans cet exposé nous considérons des surfaces qui sont générales pour un amas torique idéaliste en dimension 3. En particulier, cela veut dire que pour ces surfaces il existe une résolution plongée de singularités qui consiste seulement d'éclatements dans des points. La conjecture de monodromie est une conjecture mystérieuse que prédit une relation entre les pôles de la fonction zêta topologique et les valeurs propres de la monodromie locale. Nous d'emontrons cette conjecture pour ces surfaces. On parlera de la géométrie de ces surfaces et on montrera comment il est possible de d'emontrer la conjecture via des arguments combinatoires.

Le 25 janvier 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vincent Maillot P.7

Constructions explicites et geometrie d'Arakelov (avec D. Roessler)....

Apres une introduction elementaire a la geometrie d'Arakelov, nous montrons comment utiliser le theoreme de Riemann-Roch arithmetique pour retrouver certaines constructions explicites en theorie des nombres.

Le 1er février 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean Gillibert I.M.B.

Structures logarithmiques et modules galoisiens

Soit X un log schéma fin et saturé, et soit G un schéma en groupes commutatif fini et plat sur le schéma sous-jacent à X. Si l'on peut considérer que les G-torseurs pour la topologie fppf sont des objets non ramifiés par nature, au contraire les G-torseurs pour la topologie log plate nous permettent d'envisager de la ramification modérée. En nous servant des travaux de Kato, nous d'efinissons un concept de structure galoisienne pour ces torseurs, puis généralisons les constructions précédentes de l'auteur (homomorphisme de classes pour les variétés abéliennes à réduction semi-stable) dans ce cadre, levant au passage certaines restrictions.

Le 8 février 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yves Benoist

Equidistribution effective des points S-entiers sur les espaces symétriques

Nous verrons comment compter les points S-entiers sur les vari'{e}tes sym'{e}triques \`{a} l'aide d'une d'{e}composition polaire pour les espaces sym'{e}triques p-adiques associ'{e}s.

Le 14 février 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dajano Tossici MPIM - Bonn

Sans titre

Le 14 février 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dajano Tossici MPIM - Bonn

Sans titre

Le 15 février 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kazim Buyukboduk I.H.E.S.

Iwasawa theory of Stark units....

B. Howard, B. Mazur and K. Rubin proved that the existence of Kolyvagin systems relies on a cohomological invariant, what they call the core Selmer rank. When the core Selmer rank is one, they determine the structure of the Selmer group completely in terms of a Kolyvagin system. However, when the Selmer core rank is greater than one such a precision could not be achieved. In fact, one do not expect a similiar result for the structure of the Selmer group in general, as a reflection of the fact that Bloch-Kato conjectures do not in general predict the existence of special elements, but a regulator, to compute the relevant L-values. An example of a core rank greater than one situation arises if one attempts to utilize the Euler system that would come from the Stark elements (whose existence were predicted by K. Rubin) over a totally real number field. This is what I will discuss in this talk. I will explain how to construct, using Stark elements, many Kolyvagin systems for certain modified Selmer structures (that are adjusted to have core rank one) and relate them to appropriate ideal class groups, following the machinery of Kolyvagin systems and prove a Gras-type conjecture. At the end, I will discuss the Iwasawa theory of Stark units and explain how to extend our technique to deduce the main conjectures of Iwasawa theory over totally real number fields.

Le 22 février 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Fouquet P.6

Systèmes d'Euler et théorie d'Iwasawa des formes modulaires ordinaires

Depuis les travaux de Mazur, Kolyvagin et Perrin-Riou, il est connu que les points CM sur les courbes modulaires permettent de construire un système d'Euler et jouent un rôle en théorie d'Iwasawa. Nous d'ecrivons une généralisation de cette construction aux tours de courbes de Shimura formes modulaires et en d'eduisons des résultats en direction de la conjecture principale pour les représentations galoisiennes associées aux formes modulaires de Hilbert ordinaires.

Le 29 février 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES D'HIVER

Sans titre

Le 7 mars 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicolas Ratazzi P.11

Points de torsion sur les variétés abéliennes : cas CM et cas d'un produit de courbes elliptiques

Les deux exposés traitent du problème suivant. Une variété abélienne A d'efinie sur un corps de nombres K étant fixée, on considère, pour toute extension finie L/K une borne pour le cardinal du groupe des points de torsion L-rationnels en terme du degré [L:K]. On proposera une formule conjecturale pour l'exposant optimal dans ces majorations en terme de la dimension du groupe de Mumford-Tate de A, ainsi qu'une démonstration dans les cas indiqués dans les titres.

Le 7 mars 2008 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marc Hindry P.7

Points de torsion sur les variétés abéliennes de type GSp..

Voir résumé pour l'exposé de N. Ratazzi.

Le 14 mars 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christophe Ritzenthaler I.M.L.

A propos des questions de Serre sur les variétés abéliennes de dimension 3.

Si A est une variété abélienne de dimension g sur un corps k et si A est géométriquement la jacobienne d'une courbe (non-hyperelliptique) C, il existe une (possible) obstruction à ce que A soit une jacobienne sur k. Dans le cas où g=3 et k est un corps de nombres, J.-P. Serre a proposé une stratégie pour calculer cette obstruction. Cette méthode est basée sur le calcul de la racine carrée d'une certaine forme modulaire de poids 18. Nous prouvons que cette stratégie est valide.

Le 21 mars 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Benois I.M.B.

L'invariant l et zéros triviaux des fonctions L p-adiques

Soit $V$ une représentation $p$-adique pseudo-géométrique de $\text{\rm Gal} (\bar \bold Q/\bold Q).$Dans cet exposé on s'intéresse au comportement aux entiers de la fonction $L$ $p$-adique $L_p(V,s)$ de $V$. Le phénomène de zéros triviaux apparaît lorsque le facteur eulerien $E_p(V,s)$ s'annule en $s=0$ ou $s=1.$ Dans ce cas la fonction $L$ $p$-adique peut avoir un zéro d'ordre strictement supérieur à celui de la fonction $L$ complexe. Si $V$ est ordinaire en $p$, Greenberg lui a associé un invariant $\ell_p$ et a conjecturé que $\ell_p$ intervient dans la formule liant les valeurs spéciales de la fonction $L$ $p$-adique et de la fonction $L$ complexe comme facteur supplémentaire. En utilisant la théorie des $(\varphi,\Gamma)$-modules on généralise la d'efinition de $\ell_p$ à toutes les représentations semi-stables. On montre ensuite que dans le cas de zéros triviaux, cet invariant intervient comme facteur supplémentaire dans la formule à la Bloch et Kato pour la valeur spéciale de la fonction $L$ $p$-adique de Perrin-Riou.

Le 27 mars 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ozlem Imamoglu

Sans titre

Le 28 mars 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marc-Hubert Nicole P.7

Stratification de Manin des variétés modulaires de..Hilbert.

Cet exposé explore la géométrie de la réduction modulo p de variétés modulaires de Hilbert en des places divisant le discriminant du corps totalement réel.\ oindent La classification à isomorphisme près (due à Manin) des modules de Dieudonné s'adapte très bien aux modules de Dieudonné à multiplication réelle. Nous utilisons la structure algébro-géométrique de la classification pour définir une stratification, dite de Manin, de la fibre spéciale de la variété modulaire de Hilbert. Il s'avère que cette stratification naturelle co" \i ncide avec la stratification par la pente due à F. Andreatta et E. Goren. Nous illustrerons notre propos dans le cas des surfaces modulaires de Hilbert par un court d'etour via les cycles évanescents.\ oindent L'intérêt d'une telle étude est que les stratifications un peu fines habituelles, très utiles en places de bonne réduction, deviennent assez pathologiques en places de mauvaise réduction. De plus, notre construction est généralisable à d'autres variétés de Shimura; nous donnerons quelques d'etails pour les variétés e.g., unitaires, le temps permettant.

Le 4 avril 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Luc illusie P.11

Actions de groupes finis et caractéristiques d'Euler-Poincaré

Supposons qu'un groupe fini G opère sur un schéma X séparé et de type fini sur un corps k. On peut alors considérer, pour s dans G, la somme alternée des traces de s sur des groupes de cohomologie de divers types associés à X/k (à support compact ou sans support, Betti pour k = C, l-adique, rigide). On examinera un certain nombre de questions concernant ces traces. Certaines ont été résolues il y a longtemps, d'autres plus récemment. On donnera notamment une généralisation équivariante d'un théorème de Laumon sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré.

Le 11 avril 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicolas Templier

Valeurs asymptotiques de moments de séries L quadratiques

L'exposé concerne certaines valeurs spéciales de séries L associées aux corps quadratiques imaginaires (intervenant dans la formule de Gross et de Zagier). Dans un premier temps, on expliquera comment il est possible d'estimer certains moments à l'aide de théoremes d'équidistribution(Duke, petits points). On donnera ensuite l'application arithmétique suivante: étant donné une courbe elliptique $E$ d'efinie sur $\mathbb{Q}$, le rang du groupe des points rationnels de $E$ qui sont d'efinis sur les corps de classes de Hilbert de certains corps quadratiques imaginaires est minoré par une puissance du discriminant. Dans un deuxieme temps, on decrira une approche analytique via un probleme de convolution decalée et une solution partielle.

Le 18 avril 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Minhyong Kim University College

Fundamental groups, principal bundles, and rational points...

In his investigation of the Diophantine geometry of algebraic curves, Andre Weil developed the algebraic theory of the Jacobian in the early 20th century. We will discuss different manifestations of his construction, and recent applications of topological ideas to the arithmetic study of hyperbolic curves.

Le 2 mai 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE PRINTEMPS

Sans titre

Le 9 mai 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

PONT VICTOIRE 45

Sans titre

Le 16 mai 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gilles Robert

K-théorie et polylogarithmes: une approche de la conjecture de Zagier par ..la théorie des tissus

La conjecture de Zagier formule un lien entre régulateur de Borel et polylogarithmes. Apr\ès avoir abordé les travaux de Goncharov reliant cette conjecture \à la recherche d'un cocycle sur Gl_n(C), on montrera en quoi ce problème est lié à l'existence de relations abéliennes d'un certain type sur des tissus naturels associés à certains espaces de configurations. On explicitera ensuite les techniques (largement inspirées de travaux de Gangl) permettant de chercher ces relations abéliennes, ainsi que les problèmes particuliers liés au fait que les tissus associés ne sont pas de codimension un. Enfin, en guise d'illustration, on présentera une relation pentalogarithmique à quatre variables portée par un tissu proche de celui étudié par Goncharov pour le trilogarithme.

Le 23 mai 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lars Halvard Halle Leuven Univ.

Filtrations of Néron models and stable reduction of curves

Let $A_K$ be an abelian variety defined over the fraction field $K$ of a d.v.r. $R$, and let $A/R$ be its Néron model. The special fiber $A_k$ of $A$ contains a canonical subgroup scheme $U$, the unipotent radical. If $U$ is zero, we say that $A_K$ has stable reduction over $R$. The starting point for this talk is a certain filtration of $A_k$ by closed unipotent subgroup schemes, introduced by B. Edixhoven. This talk will concern the case where the abelian variety is the Jacobian $J_K$ of a smooth curve $X/K$. We will discuss how one can obtain information about the filtration of $J_k$ by considering G-actions on $R'$-models of $X$, for certain tamely ramified G-Galois extensions $R'/R$. Furthermore, we will mention some numerical data for the filtration that we can compute with these methods, and how this relates to the stable reduction of X.

Le 30 mai 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eknath Ghate Tata Institute

Counting Exotic Forms of Weight 1....

We count the number of octahedral forms of prime level. We show that this number is a constant on average. This is joint work with Manjul Bhargava.

Le 6 juin 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Paul Cerri I.M.B.

Minima euclidiens et algèbres centrales à division

Le but de cet exposé est de présenter des résultats issus d'une collaboration avec Eva Bayer-Fluckiger et Jérôme Chaubert (EPFL). Il portera sur l'extension de la notion d'euclidianité, classiquement d'efinie sur les corps de nombres, au cadre des algèbres centrales é division sur de tels corps. Les propriétés qui seront abordées concernent essentiellement la rationalité du minimum euclidien et les bornes que l'on peut d'efinir pour ce minimum. On essaiera de mettre l'accent sur l'exemple fondamental des algèbres de quaternions.

Le 13 juin 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lenny Fukshansky

On distribution of well-rounded sublattices of Z^2

We study the distribution of well-rounded sublattices of Z^2 by means of investigating the structure of the set C of its similarity classes. We prove that C has structure of an infinitely generated non-commutative monoid, and define the notion of minima and determinant weight for each similarity class in C. We show that these similarity classes are in bijective correspondence with certain ideals in Gaussian integers, and construct an explicit parametrization of lattices in each such similarity class by elements in the corresponding ideal. We use this parametrization to investigate some basic analytic properties of zeta function of well-rounded sublattices of Z^2, including its order of the pole, growth of coefficients, and some related features.

Le 20 juin 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

CONFERENCE DE PIERRETTE CASSOU-NOUGUES

Sans titre

Le 28 juin 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Frank Vallentin

Fourier analysis, linear programming, and densities of distance avoiding sets

In this talk I will consider the problem of determining the maximal density of sets in Euclidean space which avoid some given distances, in the sense that there should be no two points in the set at the given distances. To find upper bounds for the maximal density we use the Fourier coefficients of the auto correlation function of the characteristic function of a distance avoiding set together with linear programming. This method is related to the linear programming bound for sphere packings due to Henry Cohn and Noam Elkies. I give two applications of our bound: In dimensions 2, ..., 24 we compute new upper bounds for the density of sets avoiding the unit distance, which results into new lower bounds for the measurable chromatic number of Euclidean space. Then, we have a new, simple proof of a recent result by Boris Bukh concerning sets avoiding many distances. His proof resembles the famous regularity lemma of Szemeredi. Furthermore, it implies a result by Furstenberg, Katznelson, Weiss, proved by ergodic theoretic methods, that every planar set of positive density realizes all distances which are large enough. This is joint work with Fernando M. de Oliveira Filho.

Le 19 septembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christian Wuthrich

Self-points sur les courbes elliptiques

Soit $E/\mathbb{Q}$ une courbe elliptique de conducteur $N$. '{E}tant donn'{e} un sous-groupe cyclique $C$ d'ordre $N$ de $E$, on peut construire un point modulaire $P_C$ sur $E$ en prenant l'image du couple $(E,C)$ sur $X_0(N)$ par la param'{e}trisation modulaire $X_0(N)\to E$. Lorsque la courbe $E$ n'admet pas de multiplication complexe, ces points $P_C$ devraient \^{e}tre d'ordre infini dans le groupe de Mordell-Weil de $E$ sur le corps de nombres $\mathbb{Q}(C)$: ceci est d'{e}montrable dans de nombreux cas. De plus, on peut utiliser ces points pour construire des classes d'{e}riv'{e}es \`{a} la Kolyvagin.

Le 26 septembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Farrell Brumley

Bornes vers Ramanujan sur un corps de nombres

On montrera une nouvelle méthode pour obtenir des bornes non triviales vers la conjecture de Ramanujan pour des formes paraboliques sur $GL_n$ sur un corps de nombres. Cette méthode a ses origines dans les travaux de Landau. On montrera comment adapter sa méthode à un corps de nombres sans perte dans le degré, ce qui répond à une question posée il y a 25 ans par Serre. Nos méthodes permettent de traiter d'une manière uniforme les paramètres locaux à chaque place, y compris les places archimédiennes. L'exposé commencera par une introduction aux objets en question et à la conjecture de Ramanujan, avant de passer aux d'etails algébriques et analytiques de la méthode.

Le 3 octobre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabien Trihan

Sur la théorie d'Iwasawa des variétés abéliennes sur des corps de fonctions

Nous considérons un analogue géométrique de la théorie d'Iwasawa des variéties abéliennes sur les corps de nombres étudiée par Iwasawa, Mazur et autres.

Le 10 octobre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Johannes Nicaise

Espaces de Berkovich et structures de Hodge mixtes

Dans les ann\èes 90, Vladimir Berkovich a developpé une nouvelle approche à la géométrie non-archimédienne (i.e. géométrie analytique sur un corps ultramétrique K). Berkovich a d'emontré plusieurs manifestations du phénomène suivant: si X est un objet algébrique défini sur K (e.g. une K-variété) et X^{an} est l'espace K-analytique associé, la cohomologie singulière de X^{an} est naturellement isomorphe à la partie de poids zéro de la cohomologie de X. Je montrerai que ce phénomène s'étend à la "fibre de Milnor analytique", un modèle non-archimédien pour la fibration de Milnor classique associée à une singularité d'hypersurface (f,x) : sa cohomologie singulière est naturellement isomorphe à la partie de poids zéro de la cohomologie proche de f à x. L'exposé contient une introduction aux espaces de Berkovich.

Le 17 octobre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Pierre Parent

Serre's uniformity in the split Cartan case

Let $E$ be an elliptic curve over $\bf Q$, without complex multiplication over $\overline{\bf Q}$. For $p$ a prime number, consider the representation ${\mathrm{Gal}}(\overline{\bf Q} /{\bf Q})\to GL (E[p])\simeq GL_2 ({\bf F}_p )$ induced by the Galois action on the group of $p$-torsion points of $E$. A theorem of Serre, published in 1972, asserts that there exists an integer $B_E$ such that the above representation is surjective for $p$ larger than $B_E$. Serre then asked the following question: can $B_E$ be chosen independently of $E$? The classification of maximal subgroups of $GL_2 ({\bf F}_p )$ shows that this boils down to proving the triviality, for large enough $p$, of the sets of rational points of four families of modular curves, namely $X_0 (p)$, $X_{\mathrm{split}} (p)$, $X_{\mathrm{non-split}} (p)$ and $X_{{\frak A}_4} (p)$ (we say that a point of one of those curves is {\it trivial} if it is either a cusp, or the underlying isomorphism class of elliptic curves has complex multiplication over $\overline{\bf Q}$). The (so-called exceptional) case of $X_{{\frak A}_4} (p)$ was ruled out by Serre. The fact that $X_0 (p)({\bf Q} )$ is made of only cusps for $p>163$ is a well-known theorem of Mazur. In this talk we will present a proof that $X_{\mathrm{split}} (p)({\bf Q})$ is trivial for large enough $p$ (joint work with Yuri Bilu).

Le 24 octobre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Martin Sombra

Height of toric varieties

A complete toric variety $X$ of dimension $n$ is determined by a lattice $N$ and a complete integral fan $\Sigma$ in $N_R$. This variety has a model over the integers and is equipped with the action of a torus $T$. An equivariant ample line bundle $L$ on $X$ determines an integral polytope $P$ in the dual space $N_R^\vee$. Plenty of algebro-geometric properties of the pair $(X,L)$ can easily be read off from the polytope $P$. The exponential map determines a parametrization of the open orbit $X_0$ by $N_C$. Assume that $L$ is equipped with a positive Hermitian metric that is equivariant under the action of the compact torus. Then, minus the logarithm of the norm of a section of $L$, determines a strictly convex function $f$ on $N_R$. The stability set of this function turns out to be the polytope $P$ and the Legendre dual $g = f^\vee$ is a strictly convex function on $P$. This function $g$ is the symplectic potential in the Guillemin-Abreu theory. We prove that the height of $X$ with respect to the metrized line bundle $L$ is given by $(n + 1)!$ times the integral of $?g$ with respect to the normalized Haar measure of $N_R^\vee$. This is the arithmetic analogue of the expression of the degree of a toric variety as $n!$ times the volume of the polytope. We expect that many other Arakelov geometric properties of $X$ can be read from the function g. This is a report on joint work with J.I. Burgos (Barcelone) and P. Philippon (Paris).

Le 31 octobre 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

PONT 1 NOVEMBRE

Sans titre

Le 7 novembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Wittenberg C.N.R.S. Strasbourg - D.M.A. E.N.S. Ulm

Groupes fondamentaux et obstruction élémentaire..

Nous considérons deux obstructions classiques à l'existence de points rationnels sur les variétés algébriques irréductibles $X$ d'efinies sur un corps $k$ arbitraire. La première, introduite par Grothendieck, fait intervenir le groupe fondamental de $X$ (ou du point générique de $X$, dans une variante birationnelle). La seconde est l'obstruction élémentaire, qui s'exprime en termes de modules galoisiens. Dans cet exposé nous relions ces deux obstructions. Sur les corps p-adiques, ainsi que sur les corps de nombres en supposant la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des variétés abéliennes, nous en d'eduisons une forme "abélienne" de la conjecture de section "anabélienne" birationnelle de Grothendieck. D'autre part, l'étude des classes de cycles associées aux sections du groupe fondamental de $X$ nous permet de donner un exemple montrant que la vacuité de l'obstruction élémentaire n'est pas stable par extension des scalaires, répondant ainsi à une question de Colliot-Thélène, Borovoi et Skorobogatov. (Travail en commun avec H. Esnault.)

Le 14 novembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthew Morrow

Fubini's theorem and ramification...

I will discuss some results relating generalised Euler characteristics, Fubini's theorem, the Riemann-Hurwitz formula, and the ramification theory of surfaces.

Le 21 novembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ricardo Menares

Operateurs de Hecke et theorie d'Arakelov sur les courbes modulaires

Les operateurs de Hecke definissent des correspondances sur les courbes modulaires. A cause du manque de fonctorialite de la theorie d'Arakelov classique, ces correspondances n'agissent pas sur le groupe de Chow arithmetique. Par contre, les theories generalisees de J.-B. Bost ou d'U. Kuehn sont bien adaptees a ce cadre et il est possible de faire agir ces correspondances sur le groupe de Chow arithmetique generalise. Nous allons expliquer comment ceci est fait et on montrera que les correspondances de Hecke sont auto-adjointes par rapport au produit d'intersection de Bost-Kuehn. La decomposition du groupe de Chow arithmetique generalise en composantes propres qui en est deduite permet de definir des nouveaux invariants arithmetiques, plus fins que l'auto-intersection du faisceau canonique.

Le 28 novembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Kowalski

Un polynôme entier explicite de groupe de Galois W(E_8)

Le problème de Galois inverse pour les groupes de Weyl est résolu depuis longtemps, et de manière relativement simple, du point de vue théorique, mais la construction d'exemples concrets de polynômes entiers ayant un tel groupe de Galois peut être assez d'elicate. Dans le cas des groupes de Weyl de certains groupes de Lie exceptionnels, Shioda a donné des constructions élégantes provenant de la géométrie arithmétique. Le cas du groupe $E_8$ est le plus complexe, et, après une présentation du problème, l'exposé présentera une solution basée plus directement sur la structure des groupes algébriques (à laquelle elle peut servir d'introduction agréable), où l'idée principale a été suggérée par les propriétés des marches au hasard sur les groupes et du grand crible. L'exemple explicite qui sera donné d'ependant de calculs informatiques, il sera expliqué également pourquoi il est raisonnable de croire que le polynôme obtenu, de degré 240, a bien la propriété annoncée. (Travail en commun avec F. Jouve et D. Zywina)

Le 5 décembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andreas Nickel

The Lifted Root Number Conjucture for small sets of places and an application to CM-extensions

The Lifted Root Number Conjecture (LRNC) is a famous conjecture which relates the leading terms at zero of Artin L-functions attached to a finite Galois extension L/K of number fields to natural arithmetic invariants. It has been introduced by K.W. Gruenberg, J. Ritter and A. Weiss in 1999. The conjecture depends on a set S of primes of L which is supposed to be sufficiently large. We formulate a LRNC for small sets S which only need to contain the archimedean primes and apply this to CM-extensions which we require to be (almost) tame above a fixed odd prime p. In this case the conjecture naturally decomposes into a plus and a minus part, and it is the minus part for which we prove the LRNC at p for an infinite class of relatively abelian extensions. Moreover, we show that the minus part of the LRNC implies the Strong Brumer-Stark Conjecture in the tamely ramified case.

Le 12 décembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicole Raulf

Sur le comportement asymptotique des nombres de classes.

Je d'emontrerai comment on peut utiliser la formule du nombre de classes pour d'eterminer le comportement asymptotique des nombres de classes dont les discriminants appartiennent à une progression donnée ou sont des discriminants fondamentaux.

Le 19 décembre 2008 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pascal Autissier Rennes 1

Géométrie, points entiers et courbes entières

Soit X une variété projective sur un corps de nombres (resp. sur C). Soit H la somme de "suffisamment de diviseurs positifs" sur X. On montre qu'aucun ensemble de points quasi-entiers (resp. aucune courbe entière) sur X-H n'est Zariski-dense.

Le 26 décembre 2008

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE NOEL

Sans titre

Le 1er janvier 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Férié

Le 2 janvier 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE NOEL

Sans titre

Le 9 janvier 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Floric Tavares Ribeiro

Une formule explicite pour le symbole de Hilbert d'un groupe formel

Abrashkin a établi une formule de réciprocité pour le symbole de Hilbert d'un groupe formel généralisant la formule de Br"uckner-Vostokov classique. Toutefois, pour la montrer, il suppose la présence de racines de l'unité dans le corps de base. La motivation de l'exposé sera de présenter une nouvelle preuve de la formule n'utilisant pas cette hypothèse. Cela se fait en combinant des méthodes de ($\varphi, \Gamma$)-modules et une interpretation cohomologique de la technique d'Abrashkin. Nous introduirons donc des ($\varphi, \Gamma$)-modules adaptés à cette situation ainsi que des outils cohomologiques liés comme le complexe de Herr et donnerons les idées sous-jacentes à la d'emonstration.

Le 16 janvier 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tim Dokchitser

Parity conjecture for elliptic curves

(joint with Vladimir Dokchitser) For an elliptic curve E over the rational numbers, there are various modulo 2 versions of the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture, each sometimes called the Parity Conjecture. One asserts that the Mordell-Weil rank of E has the same parity as the analytic rank. Another one is the same statement for the p-infinity Selmer rank for some prime p. I will explain the background behind the conjectures and the ideas behind the proof of the second one. (This completes earlier work by Birch, Stephens, Greenberg, Guo, Monsky, Nekovar and Kim.)

Le 23 janvier 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Harald Helfgott

Echappée et incidence: leur rôle dans la croissance en groupe.

(travail en partie joint avec N. Gill and M. Rudnev) Jusqu'à présent, la théorie géometrique des groupes (Gromov et amis; il s'agit des groupes infinis) et des travaux récents sur la combinatoire des groupes non-commutatifs (il s'agit plutôt ici des groups finis) ont un outil en commun: l'idée de l'échappe. Après une brève discussion sur ce qu'est l'échappée et comment l'utiliser, on examinera la possibilité de refaire une grande partie de la <> sur la combinatoire d'un plan projectif abstrait. On vera une assertion assez basique de cette combinatoire du plan qui n'a pas un analogue claire dans la combinatoire additive classique; nous verons comment l'idée principale de la preuve est encore une fois l'échappe.

Le 30 janvier 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

WINTER SCHOOL ON QUANTUM CHAOS

Sans titre

Le 6 février 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Erik Pickett

Self-Dual Normal Bases for the Square-Root of the Inverse Different

Let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$, let $L/K$ be a finite abelian Galois extension of odd degree and let $O_L$ be the valuation ring of $L$. We define $A_{L/K}$ to be the unique fractional $O_L$-ideal with square equal to the inverse different of $L/K$. Combining a result of Erez with a result of Fainsilber and Morales we can see that $A_{L/K}$ admits an integral normal basis that is self-dual with respect to the trace form if and only if $L/K$ is at most weakly ramified. For $p$ an odd prime and $L/\mathbb{Q}_p$ contained in certain cyclotomic extensions, Erez has described such self-dual integral normal bases for $A_{L/\mathbb{Q}_p}$. Assuming $K/\Q_p$ to be unramified we generate odd abelian weakly ramified extensions of $K$ using Lubin-Tate formal groups. We then use Dwork's exponential power series to explicitly construct self-dual integral normal bases for the square-root of the inverse different in these extensions. These constructions generalise Erez's results for cyclotomic extensions.

Le 13 février 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dajano Tossici MPIM - Bonn

Models of (Z/p^2Z)_K in unequal characteristic

Let $R$ be a discrete valuation ring of unequal characteristic and let $K$ be its fraction field. The aim of this talk is to give the classification of models of $(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})_ K$, i.e. finite and flat group schemes over $R$ which are isomorphic to $(\mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z})_K$ over $K$. The main features of this classification are the following: 1) the parameters can be easily interpretated; 2) the description of the models is explict, i.e. it is given in terms of equations; 3) any model can be seen as the kernel of an exact sequence which coincides generically with the Kummer sequence. This sequence let us to generalize the Kummer Theory to describe torsors under these group schemes. The main tool which we use is the Sekiguchi-Suwa Theory, which we will briefly recall. If we will have enough time we will compare our work with the recent works of Breuil and Kisin about the classification of finite and flat goup schemes over a d.v.r.

Le 20 février 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES D'HIVER

Sans titre

Le 27 février 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES D'HIVER

Sans titre

Le 6 mars 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Qing Liu Université Bordeaux 1

Lemmes de déplacement et indices de variétés algébriques

L'indice d'une variété algébrique $X$ sur un corps $K$ est le pgcd des degrés de ses points. Dans un travail en commun avec Ofer Gabber et Dino Lorenzini, nous étudions quelques propriétés de l'indice notamment lorsque $K$ est un corps de valuation discrète hensélien. Si $X$ s'étend en un schéma propre régulier sur l'anneau de valuation de $K$, nous relions l'indice de $X$ aux indices des composantes irréductibles (non nécessairement régulières) de la fibre spéciale, généralisant des résultats antérieurs de Colliot-Thélène-Saito et de Bosch-Liu, et répondant à une question de P. Clark. Nous proposons deux preuves reposant d'une part sur un lemme de d'eplacement pour des variétés singulières, et d'autre part sur un lemme de d'eplacement des $1$-cycles sur un schéma régulier.

Le 13 mars 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Peter Gruber

Applications of an Idea of Voronoi..

Voronoi's idea, to identify quadratic forms in E^d and points in E^d(d+1)/2, has led to many results on positive definite quadratic forms, zeta functions, normed spaces, etc. In this lecture we study refined extremum properties of the density of lattice packings of balls and of Epstein zeta functions, related to results of Berge, Martinet, Bachoc, Coulangeon, Venkov and others.

Le 20 mars 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pietro Corvaja

Nouveaux resultats sur les points entiers des surfaces algebriques

Dans un travail en collaboration avec U. Zannier, nous avons introduit une nouvelle méthode pour d'emontrer la d'egénéréscence des points entiers sur certaines surfaces algébriques. Nous allons appliquer cette méthode pour étudier des problèmes de divisibilité: notamment, on se donne des polynômes $f_i(X,Y)$ et $g_i(X,Y)$, pour $i=1,2,3$, et on s'intéresse aux points entiers $x,y$ tels que $f_i(x,y)$ divise $g_i(x,y)$. On obtient une généralisation du célèbre théorème des trois $S$-unités. On montrera, comme cas particulier de cette théorie, un exemple d'une surface lisse et simplement connexe sur laquelle les points entiers sont toujours d'egénérés.

Le 27 mars 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ozlem Imamoglu

Some new results on the j-invariant

Singular moduli is the classical name for the values of the $j$ function at imaginary quadratic irrationalities. They are algebraic numbers that play an important role in number theory and have been studied since Kronecker and Weber. In the 1990s Borcherds and Zagier established some beautiful connections between the traces of singular moduli, infinite products and weakly holomorphic modular forms of half-integral weight. In this talk I will report on joint work with W. Duke and A. Toth where we consider cycles integrals of the $j$ function, which can be thought as real quadratic analogues of singular moduli.

Le 2 avril 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sinnou David Univ. Paris 6

Sans titre

Le 3 avril 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marco Antei MPIM-Bonn

Clôture galoisienne de morphismes essentiellement finis

(Travail en collaboration avec M. Emsalem) Après avoir d'efini les morphismes essentiellement finis vers un schéma $X$ (sur un corps) on montrera que pour tout morphisme essentiellement fini $f:Y \to X$ t.q. $\mathcal{O}_{Y}(Y)=k$ il existe un torseur sur $X$ qui le domine. On montrera aussi que ce torseur est le plus petit possible et que le morphisme de transition est lui aussi un torseur. On d'ecrira une suite exacte de schémas en groupes fondamentaux.

Le 10 avril 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sans titre

Le 17 avril 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES DE PRINTEMPS

Sans titre

Le 24 avril 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mladen Dimitrov

Symboles automorphes sur les variétés modulaires de Hilbert..et fonctions L p-adiques

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Tadashi Ochiai, sur la construction de fonctions L p-adiques à d+1+delta variables pour les familles de Hida de formes modulaires de Hilbert sur un corps de nombres totalement réel F de degré d et d'efaut de Leopoldt delta. La construction s'appuie sur un théorème de contrôle pour la cohomologie ordinaire des variétés modulaires de Hilbert et la d'efinition d'un symbole automorphe p-adique universel. S'il me reste du temps, j'esquisserai une construction plus générale, faisant intervenir des anneaux de d'eformation universels de représentations galoisiennes de F modulo p, via un théorème R=T à la Wiles.

Le 1er mai 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

FETE DU TRAVAIL

Sans titre

Le 8 mai 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

FETE VICTOIRE 45

Sans titre

Le 15 mai 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Hugo Chapdelaine

Construction de p-unités fortes dans les corps de classes de rayon de corps quadratiques réels.

Une $p$-unité forte est un nombre algébrique $x$ ayant un diviseur supporté seulement sur des idéaux premiers au-dessus de $p$ et tel que tous ses conjugués soient sur le cercle unité. Les sommes de Gauss normalisées associées a un caractère de Dirichlet $\chi$ de conducteur $p^n$ sont des exemples de $p$-unités fortes. On propose d'expliquer une construction conjecturale de p-unités fortes dans les corps de rayons de corps quadratiques réels. La méthode utilisée consiste à faire de l'intégration $p$-adique de certaines mesures construites à partir de moments de séries d'Eisenstein. Une partie de l'exposé sera réservée à l'aspect algorithnmique de cette construction et plusieurs exemples numériques seront présentés.

Le 22 mai 2009

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

PONT ASCENSION

Sans titre

Le 29 mai 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Federico Pellarin

Combien une forme quasi-modulaire peut-elle s'annuler à l'infini sans être..nulle?

La ${\Bbb C}$-algèbre ${\Bbb C}[E_2,E_4,E_6]$ ($E_{2i}$ étant les séries d'Eisenstein de poids $2i$ normalisées) est graduée et les éléments homogènes pour cette graduation s'appellent formes quasi-modulaires. Toute forme quasi-modulaire a un poids (c'est le degré par rapport à la graduation) et une $q$-expansion, qui est une série entière qui la d'ecrit au voisinage de $i\infty$. Si une forme quasi-modulaire s'annule beaucoup en $i\infty$ et son poids est "petit" alors elle est nulle. Ce simple principe peut être quantifié de manière satisfaisante. Mais il y a un problème analogue, en caractéristique non nulle, concernant les formes quasi-modulaires de Drinfeld, qui est beaucoup plus difficile à traiter, ce qui est à première vue surprenant. Cet exposé se veut comme une introduction à ce problème et aux résultats partiels dont nous disposons.

Le 5 juin 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jérémy Le Borgne

Optimisation du théorème d'Ax-Sen-Tate et application à un calcul de cohomologie galoisienne p-adique

Soient $p$ un nombre premier, $Q_p$ le corps des nombres $p$-adiques, $K$ une extension finie de $Q_p$, $\overline{K}$ une clôture algébrique et $C$ la complétion de $\overline{K}$. Dans sa preuve du théorème d'Ax-Sen-Tate, que je rappellerai, Ax montre que si $x$ élément de $C$ vérifie $v(sx-x)\geq A$ pour tout $s$ dans le groupe de Galois absolu de $K$ noté $G$ alors il existe $y$ dans $K$ tel que $v(x-y)\geq A-c$, où $c$ est la constante $p/(p-1)^2$. Ax s'interroge sur l'optimalité de cette constante, je répondrai à cette question en utilisant l'extension de $K$ par les racines $p^n$-èmes de l'uniformisante, et en m'appuyant sur les idées que Tate a d'eveloppées dans sa d'emonstration du théorème d'Ax-Sen-Tate. Je montrerai comment cette étude donne des résultats plus précis sur les éléments de $C$ vérifiant l'hypothèse du théorème d'Ax, qui permettent de d'ecrire assez précisément $H1(G,O_{\overline{K}})$.

Le 8 juin 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ted Chinburg UPenn

Recognizing zeta functions from unit groups

Suppose K is a totally real number field and that O_K^* is the group of units of the integers of K. In this talk I will show how if one assumes Schanuel's conjecture about logarithms of algebraic numbers, one can determine the zeta function of K from the isometry class of the rational vector space spanned by the image of the units of K under the usual log map into a Euclidean space. This is joint work with C. Rajan.

Le 12 juin 2009 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Pierre Parent

Soutenance HDR: Points rationnels des courbes modulaires et de Shimura

Le 19 juin 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Luca di Feo X\, I.N.R.I.A.

Calcul d'isogénies en petite caractéristique..

Nous nous intéressons au problème de calculer explicitement une isogénie entre courbes elliptiques. Lorsque le degré de l'isogénie est inférieur à la caractéristique du corps de base, les algorithmes CCR et de Atkin permettent un calcul aisé. Le cas où la caractéristique est inférieure au degré cherché est beaucoup plus d'elicat à traiter et a donné lieu à de nombreux algorithmes. En nous appuyant sur les travaux récents de E. Schost et de l'orateur [2], nous présentons ici une version rapide de l'algorithme de Couveignes [1] et nous comparons les performances avec celles des autres algorithmes connus.\ [1] J.-M. Couveignes. Computing l-isogenies using the p-torsion. in ANTS' II, 59$$65. Springer, 1996.\ [2] D.F., E. Schost. Fast Arithmetics in Artin-Schreier Towers over Finite Fields. To appear in ISSAC'09. ACM, 2009.\

Le 11 septembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pascal Autissier Univ. Bordeaux 1

Sur le degré canonique des courbes dans les variétés de type général

Le 18 septembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabien Pazuki Univ. Bordeaux 1

Conjecture de Zhang et carrés de surfaces abéliennes.

On s'intéressera dans cet exposé à une conjecture de Zhang dite conjecture de Manin-Mumford dynamique. Suite à des travaux récents de Ghioca et Tucker, il apparaît qu'il est possible de trouver des contre-exemples à cette conjecture au moins dans le cas de produit de courbes elliptiques. Une question de Ghioca est de savoir si ce sont les seuls contre-exemples possibles. On verra comment construire de nouveaux contre-exemples dans le cas des produits de surfaces abéliennes.

Le 25 septembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damian Rossler C.N.R.S. - Univ. Paris 11

Au sujet du théorème d'Adams-Riemann-Roch en caractéristique positive..

Le théorème d'Adams-Riemann-Roch est un raffinement du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch, dans lequel on ne perd pas toute information sur la torsion de la $K_0$-théorie des schémas. Ce théorème est d'emontré pour la première fois dans SGA 6, essentiellement comme conséquence d'une formule d'excès d'intersection. Une d'emonstration différente, fondée sur la méthode de la d'eformation au cône normal, a été d'ecouverte dans les années 70 par Baum, Fulton et MacPherson. On d'ecrira dans cet exposé une d'emonstration purement calculatoire de ce théorème, dans le cas où la base est de caractéristique $p>0$, le morphisme est lisse et projectif et l'opération d'Adams considérée est $\psi^p$. Il s'agit d'un travail commun avec R. Pink.

Le 2 octobre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Philipp Habegger E.T.H. Zurich

Weakly bounded height and modular curves

Consider a fixed algebraic curve contained in an algebraic torus and defined over the field of algebraic numbers. It has been known for some time, that points on the fixed curve with multiplicatively dependent coordinates have uniformly bounded height, unless the curve satisfies a simple geometric property. This boundedness of height can be used to prove finiteness results going into the direction of conjectures of Pink and Zilber.\ In this talk we study a modular variant of this problem. In fact we look at the intersection of a fixed algebraic curve in the affine plane with the union of all modular curves Y_0(n). In other words, we study points on the fixed curve whose coordinates are j-invariants of isogenous elliptic curves. Motivated by the example in algebraic tori one can ask if such points have height bounded independently of n. Unfortunately, this is false in all interesting cases. We state a conjecture giving a height upper bound in terms of n which is weak enough to deduce some simple finiteness results. We also discuss a number of cases where this conjecture can be proven.

Le 9 octobre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Hisao Yoshihara Niigata Univ.

Singular plane curves with Galois points

Let C be an irreducible projective plane curve defined over an algebraically closed field k. A point P on the plane is called a Galois point if the projection with center P induces a Galois extension of function fields, i.e., the normalization of C is a Galois covering of the projective line. Then, several questions arise, the standard ones are: (1) How is the structures of C and the Galois group when there exists a Galois point. (2) How is the distribution of Galois points. If the characteristic of k is zero and C is smooth, then they are simple. However, if not so, the question are rather difficult. We study them in detail in the case where C has a singular point and has a genus zero or one.

Le 16 octobre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jacques Martinet Univ. Bordeaux 1

Sur l'indice d'un sous-réseau de Minkowski

Soit $L$ un réseau d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$, de déterminant $D$. On définit des constantes $H_n$ [Hermite] (resp. $M_n$ [Minkowski]) en prenant le maximum de $(\frac{N(e_1)\cdots N(e_n)}D)^{1/n}$ sur une base (resp. sur $n$~vecteurs indépendants de $L$~; des {\sl minima successifs de $L$\/}). Il en résulte une majoration de l'indice $[L:L']$ pour tout sous-réseau $L'$ de Minkowski de $L$. Soit $d$ l'annulateur de $L/L'$. Dans un travail récent avec Achill {\sc Sch"urmann}, nous avons obtenu la classification en dimension~$9$ des codes sur $Z/dZ$ provenant d'un tel quotient, étendant les résultats connus jusqu'à la dimension~$8$ ({\small ce séminaire, 23 janvier 1998}). Nous en avons déduit la solution du problème de Louis Michel~: un réseau engendré par ses vecteurs minimaux posséde-t-il une base de vecteurs minimaux~? La réponse est toujours {\sl oui\/} si $n<9$, mais non au-delà. (Contre-exemple antérieur de Conway et Sloane pour $n=11$). Par ailleurs, je donnerai les majorations optimales des quotients des produits $\prod N(e_i)$ sur $L$ et $L'$ pour $n=6,7,8$, améliorant un travail ancien de van der Waerden (Acta Math., 1956).

Le 23 octobre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

John Boxall Univ. de Caen

Ordres des points des sous-variétés des groupes algébriques commutatifs sur un corps fini

Dans cet exposé on s'intéressera aux ordres des points situés sur une sous-variété d'une variété semi-abélienne sur un corps fini. On étudiera en particulier des contraintes sur les ordres possibles et des bornes pour le nombre de points dont l'ordre est un est entier fixé. Un bon nombre de questions restent toutefois en suspens.

Le 30 octobre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vacances de la Toussaint

Le 6 novembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Andreas Enge Univ. Bordeaux 1

Invariants de classes (presque) sans réciprocité de Shimura

Un invariant de classes est une valeur spéciale d'une fonction modulaire qui engendre algébriquement le corps de classes de Hilbert d'un corps quadratique imaginaire. Il peut être utilisé pour obtenir des courbes elliptiques à multiplication complexe et donc à cardinal connu d'avance sur un corps fini, ce qui trouve des applications en cryptographie et pour les preuves de primalité. Classiquement, la loi de réciprocité de Shimura est utilisée pour démontrer qu'une valeur est invariant de classes et pour déterminer ses conjuguées algébriques, ce qui demande des calculs fastidieux au cas par cas. Schertz a donné une approche élégante qui encapsule la loi de réciprocité et permet d'obtenir des preuves faciles pour des fonctions modulaires pour $Gamma^0(N)$ ayant un développement en $q$ rationnel. En même temps, il en résulte une caractérisation facilement implantable des conjuguées. Dans le cadre du résultat de Schertz, je présente une généralisation aux fonctions multipliées par des racines de l'unité et donne une application à l'invariant de classes de Ramanujan.

Le 13 novembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tony Scholl Cambridge Univ.

Hypersurfaces et la conjecture de Weil

Le 20 novembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Gaëtan Bisson LORIA

Calcul des anneaux d'endomorphismes des variétés abéliennes sur les corps finis

Les anneaux d'endomorphismes des courbes elliptiques (et, plus généralement, des variétés abéliennes) définies sur les corps finis sont d'importants objets, autant pour leur rôle dans la « méthode CM » (pour construire des variétés de cardinal donné) que pour leur pertinence en cryptographie. Nous présenterons une méthode permettant de les calculer en temps sous-exponentiel en la taille du corps de base, étant ainsi (en pratique comme en théorie) plus rapide que les précédentes ; elle exploite l'action du groupe de classe sur le graphe d'isogénie, empruntant quelques idées aux travaux de Kohel. Dans le cas elliptique, il s'agit de travaux communs avec Andrew Sutherland ; dans le cas général, ce sont des travaux en cours.

Le 27 novembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alessandro Chiodo Univ. Grenoble 1

Quantifier la finitude du modèle de Néron du groupe des fibrés de r-torsion

Soit R un anneau de valuation discrète à corps résiduel algébriquement clos, et soit CK une courbe lisse sur le corps des fractions K. Pour tout entier positif r premier à la caractéristique résiduelle, nous considérons le K-schéma en groupes fini Pic_{CK}[r] qui représente les fibrés de r-torsion sur CK. Nous déterminons quand il existe un R-schéma en groupes fini, modèle de Pic_{CK}[r] sur R ; autrement dit, nous établissons quand le modèle de Néron de Pic_{CK}[r] est fini. La question admet toujours une réponse affirmative dans le contexte des champs, où l'on dispose de modèles de Néron champêtres et des courbes champêtres. Cela permet de quantifier la finitude du modèle de Néron classique et de fournir un critère efficace.

Le 4 décembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Annulé

Le 11 décembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Valéry Mahé Univ. de Besançon

Un analogue du problème de Mersenne pour les courbes elliptiques

Le problème de Mersenne consiste en la détermination des nombres premiers de la forme (2^n) -1. Ce problème à un analogue dans le cadre de l'étude des spécialisations des point d'une courbe elliptique en les nombres premiers : "calculer l'ensemble I(B) des indices des termes premiers dans une suite elliptique à divisibilité B." La finitude de l'ensemble I(B) est connue seulement dans le cas particulier où une descente par isogénie est possible (on dit alors que B est "magnifiée"). Dans cet exposé nous expliquerons comment les méthodes classiques de résolution d'équations de Thue permettent d'obtenir des bornes explicites uniformes (valables à deux exceptions prêt) sur l'indice des termes premiers d'une suite elliptique à divisibilite magnifiée. L'exposé commencera par des rappels concernant les notions de suites elliptiques à divisibilité et de magnification.

Le 18 décembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Frédéric Paugam Univ. Paris 7

Symétries spectrales des fonctions zêtas et géométrie analytique globale

On définit un accouplement symplectique sur l'interprétation spectrale de Connes/Meyer pour les zéros de zeta. Cet accouplement avait été défini sous l'hypothèse de Riemann par Sarnak. On en donne une construction inconditionnelle. On présente ensuite une faisceautisation de l'interprétation spectrale locale utilisant la géométrie analytique globale de Berkovich et on explique des difficultés simples inhérentes à la potentielle combinaison de ces deux constructions.

Le 25 décembre 2009 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Férié

Le 1er janvier 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Férié

Le 8 janvier 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Guilhem Castagnos Univ. Bordeaux 1

Cryptanalyse des systèmes de chiffrement NICE

Le cryptosystème NICE (New Ideal Coset Encryption) est un système de chiffrement à clef publique dont la sécurité est basée sur la difficulté de factoriser $N=pq^2$ où $p$ et $q$ sont deux grands nombres premiers distincts. Ce système utilise l'arithmétique des groupes de classes de corps quadratiques et existe en deux versions suivant la valeur du discriminant choisi $N$ ou $-N$. Je présenterai une cryptanalyse de ces deux versions qui consiste à factoriser $N$ en temps polynomial en utilisant une forme quadratique qui représente $q^2$ avec des entiers « petits ». Dans le cas imaginaire, une telle forme quadratique est donnée dans la clef publique du système alors que dans le cas réel, elle peut être exhibée en utilisant le fait que le régulateur du corps quadratique utilisé est exceptionnellement « petit ». Travail commun avec Antoine Joux, Fabien Laguillaumie et Phong Nguyen.

Le 15 janvier 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jérôme Poineau Univ. de Strasbourg

Une application des espaces de Berkovich au problème inverse de Galois

Nous commencerons par rappeler une preuve classique du fait que tout groupe fini est groupe de Galois sur C(T). Nous expliquerons ensuite comment, à l'aide d'une stratégie similaire, donner une nouvelle démonstration d'un résultat de D. Harbater assurant que tout groupe fini est groupe de Galois sur un corps de séries arithmétiques (composés de séries à coefficients dans Z satisfaisant certaines conditions de convergence). Pour cela, il suffit introduire un espace adéquat : la droite de Berkovich sur Z.

Le 22 janvier 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Bertrand Univ. Paris 6

Un théorème de Lindemann-Weierstrass fonctionnel sur les schémas abéliens

Le théorème de Lindemann-Weierstrass concerne les valeurs de la fonction exponentielle usuelle en des nombres algébriques. Dans un récent travail avec A. Pillay, nous en avons obtenu une version fonctionnelle, pour certaines variétés semi-abéliennes sur un corps différentiel. J'en donnerai ici, dans le cas abélien, une preuve de nature galoisienne. Inspirée par la théorie de Kummer, elle repose sur les outils suivants : les d'erivées logarithmiques de Buium (version multiplicative de la connexion de Gauss-Manin), la théorie de Galois différentielle non linéaire de Pillay, et le théorème du noyau de Manin-Chai.

Le 29 janvier 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pas d'exposé (Sakura workshop)

Le 5 février 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mathieu Florence Univ. Paris 6

Géométrie birationnelle équivariante des grassmanniennes

Soient $K$ un corps, et $A$ une $K$-algèbre de dimension finie $n$ sur $K$. Soit $G$ le groupe algébrique $GL_1(A)$, dont les $K$-points sont les éléments inversibles de $A$. Soit $pK$ est étale), nous construisons explicitement un isomorphisme birationnel $G$-équivariant entre $Gr(p,A)$ et le produit de $Gr(pgcd(p,n),A)$ par un espace affine. De nombreux corollaires s'en déduisent alors par torsion, liés à la conjecture d'Amitsur. Par exemple, si $B$ et $C$ sont deux $K$-algèbres simples centrales de degrés premiers entre eux, alors la variété de Severi-Brauer $SB(A \otimes B)$ est birationnelle au produit de $SB(A) \times SB(B)$ par un espace affine de dimension convenable. Jusqu'à présent, il était seulement connu que ces deux variétés sont stablement birationnelles.

Le 12 février 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damien Robert LORIA

Computing isogenies between abelian varieties

Isogenies are an essential tool in Elliptic Curves cryptography, where they are used in a wide variety of area: fast point counting, complex multiplication methods... Vélu's formulas give an efficient method for computing such isogenies, but there were no known formulas for computing isogenies for hyperelliptic curves of higher genus, except in particuliar cases. In this talk, we will show how the framework of theta structures, developped by Mumford in 1967, allows us to give a generalization of Vélu's formulas for any abelian variety. This is a joint work with David Lubicz. (The talk will be given in french, but the slides are in english).

Le 19 février 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ludovic Delabarre Univ. de Saint-Etienne

Domaine maximal de méromorphie de produits eulériens multivariables et applications

Le but de cette exposé est d'étudier le domaine maximal d'extension méromorphe de produits eulériens de polynômes "ganzvertige" de plusieurs variables. Le prolongement méromorphe de cette classe de fonctions permet par exemple, grâce à des outils analytiques, d'obtenir des résultats intéressants en arithmétique ou en théorie des groupes. Le problème consiste dans un premier temps à trouver une expression du prolongement du produit eulérien jusqu'à un certain domaine en précisant les éventuels pôles ou zéros qui apparaissent. En donnant une condition nécessaire et suffisante sur le polynôme qui assure l'existence d'une frontière naturelle (c'est à dire une frontière au-delà de laquelle il n'existe pas de prolongement méromorphe), on étend le résultat classique d'une variable de 1928 obtenu par T. Estermann. De plus, ce travail constitue un premier pas vers la résolution d'une conjecture énoncée par Z. Rudnick et M. du Sautoy concernant le domaine de méromorphie de produits eulériens associés au comptage des sous-groupes d'un groupe donné.

Le 26 février 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vacances d'hiver

Le 5 mars 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Antonio Lei Cambridge Univ.

Iwasawa theory for modular forms and Wach modules

Let f be a modular form and p a supersingular for f. The Iwasawa theory for f over the Zp-cyclotomic extension is more difficult than the ordinary case for two reasons: 1. The classical p-adic L-functions are not in the Iwasawa algebra; 2. The p-Selmer group is not cotorsion over the Iwasawa algebra. In this talk, I will explain how to apply the theory of Wach modules to the p-adic representation associated to f under certain conditions to overcome these difficulties. This generalises the works of Pollack and Kobayashi in the most supersingular case.

Le 12 mars 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Chi-Fu Yu Academia Sinica/I.H.E.S.

On finiteness of endomorphism rings of abelian varieties

The endomorphism ring End(A) of an abelian variety A is an order in a semi-simple algebra over Q. The co-index of End(A) is the index to any maximal order containing it. We show that for abelian varieties of fixed dimension over any field of characteristic p>0, the p-exponents of the co-indices of their endomorphism rings are bounded. This gives a constraint for which order of a finite-dimensional semi-simple Q-algebras that can be the endomorphism ring of an abelian variety of positive characteristic.

Le 19 mars 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Benjamin Schraen E.N.S. Paris

Correspondance de Langlands p-adique et espaces de Drinfeld

Soit $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$. On appelle espace de Drinfeld le complémentaire dans $\mathbb{P}^n_F$ de l'union des hyperplans définis sur $F$. Il s'agit d'un espace analytique rigide muni d'une action de $GL(n+1,F)$. Le complexe de cohomologie de de Rham de cet espace est muni de structures additionnelles dans une catégorie dérivée de représentations de $GL(n+1,F)$. Ceci permet d'obtenir un foncteur associant à une représentation localement analytique $p$-adique de $GL(n+1,F)$ un $(phi,N)$-module filtré. Dans le cas où $n=1$ et $F=\mathbb{Q}_p$, on retrouve, via la théorie de Fontaine, une partie de la correspondance de Langlands $p$-adique.

Le 26 mars 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Lepage E.N.S. Paris

Groupe fondamental tempéré de courbes hyperboliques et graphe de la..réduction stable

Le groupe fondamental tempéré d'une variété analytique sur un corps non archimédien est un groupe topologique qui classifie les "revêtements étales" qui deviennent des revêtements topologiques pour la topologie de Berkovich après pullback par un revêtement étale fini. Pour les courbes hyperboliques sur C_p, S. Mochizuki a montré qu'on pouvait reconstruire le graphe de la réduction stable à partir du groupe fondamental tempéré. On s'intéressera plus particulièrement au cas des courbes de Mumford, pour lesquelles on peut également retrouver une métrique naturelle sur le graphe à partir du groupe fondamental tempéré.

Le 2 avril 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sinnou David Univ. Paris 6

Point de torsion des varietes abeliennes sur les corps de fonctions..

Trouver une borne uniforme pour l'ordre d'un point de torsion d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres est un problème ouvert, à l'exception du cas elliptique (Merel). La situation est similaire sur les corps de fonctions. Un problème proche est la conjecture de Lang-Silverman. Cette dernière prédit une borne inférieure pour la hauteur de Néron-Tate d'un point d'ordre infini d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres, exception faite d'obstructions naturelles. Cette conjecture est ouverte, y compris dans le cas elliptique. Par contre, elle a été résolue dans le cas elliptique, sur un corps de fonctions (Hindry-Silverman). Nous décrirons plus précisément les questions qui se posent dans ce cadre. Dans un deusièe temps, nous décrirons une stratégie permettant d'attaquer ces questions dans le cadre fonctionnel.

Le 9 avril 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Laurent Moret-Bailly Univ. Rennes 1

Courbes elliptiques et indécidabilité d'anneaux de fonctions algébriques

Le dixième problème de Hilbert (trouver un algorithme concluant à l'existence - ou non - de solutions entières d'une équation diophantienne donnée) a été résolu négativement en 1970 par Matyasevich (à la suite de travaux de M. Davis, H. Putnam et J. Robinson). Depuis, les logiciens s'intéressent au problème analogue pour des anneaux R autres que Z, le cas ouvert le plus célèbre étant R=Q. J'expliquerai comment une méthode due à J. Denef permet de traiter le cas de certains anneaux de fonctions en caractéristique nulle.

Le 16 avril 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lucia Di Vizio Univ. Paris 7

Courbures, groupes de Galois et groupoïde de Malgrange des équations aux q-différences

J'expliquerai comment le groupe de Galois générique d'une équation aux q-différences peut toujours être calculé grâce aux v-courbures, dans l'esprit de la conjecture de Grothendieck-Katz pour les équations différentielles sur un corps de nombres. J'expliquerai aussi le lien entre les v-courbures d'une équations aux q-différences et les relations différentielles entre ses solutions. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Charlotte Hardouin.

Le 23 avril 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Annulé

Le 30 avril 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vacances de printemps

Le 7 mai 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Bourqui Univ. Rennes 1

Un exemple de comptage de courbes "en famille"

Soit C une courbe et X une variété définies sur un corps fini. La version géométrique de la conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de morphismes de C vers X de grand degré. Nous expliquerons comment la théorie de l'anneau total de coordonnées (appelé aussi anneau de Cox) permet de réécrire naturellement la fonction zêta des hauteurs (i.e. la série génératrice associée au problème de comptage précédent) en termes d'une sommation sur le cône effectif dual de X ; puis nous appliquerons ce fait à la démonstration de la conjecture de Manin pour une certaine famille de quadriques intrinsèques (i.e. dont l'anneau total de coordonnées s'identifie à l'anneau de coordonnées d'une quadrique).

Le 14 mai 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Victor Abrashkin Durham Univ.

A semi-stable case of a generalization of the Shafarevich Conjecture

Breuil's integral theory of semi-stable p-adic representations is slightly extended to prove that if X is projective variety over rational numbers with semi-stable reduction modulo 3 and good reduction modulo other prime numbers then h^{2,0}(X_C)=0.

Le 21 mai 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Adebisi Agboola UC Santa Barbara

Restricted Selmer groups and special values of p-adic L-functions

Let E/Q be an elliptic curve with complex multiplication by the ring of integers of an imaginary quadratic fi eld K. In 1991, by studying a certain special value of the Katz two-variable p-adic L-function lying outside the range of p-adic interpolation, K. Rubin formulated a p-adic variant of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture when E(K) is infi nite, and he proved that his conjecture is true for E(K) of rank one. When E(K) is fi nite, however, the statement of Rubin's original conjecture no longer applies, and the relevant special value of the appropriate p-adic L-function is equal to zero. We shall explain what happens in this case. We shall also describe what happens in an analogous situation associated to CM modular forms of higher weight.

Le 28 mai 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriele Ranieri Univ. de Bâle

Indépendance linéaire des fonctions L p-adiques modulo p

Lien vers le résumé

Le 4 juin 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sylvain Maugeais Univ. du Maine

Automorphismes d'ordre p des anneaux de séries formelles

Le but est de construire et de classifier (au sens de la théorie des déformations) les automorphismes des anneaux de séries formelles de la forme A[[x]] pour un anneau local complet A de caractéristique résiduelle p.

Le 11 juin 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yves André C.N.R.S./E.N.S. Paris

A propos de semistabilité dans la catégorie monoïdale des réseaux euclidiens ou hermitiens...

Le fil conducteur de l'exposé est la notion (introduite par Stuhler) de semistabilité pour un réseau euclidien, et son comportement (non encore élucidé) vis-à-vis des opérations tensorielles - un fil qui nous mènera à promouvoir le point de vue catégorique dans ce domaine.

Le 18 juin 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Igor Shparlinski Macquarie Univ. et E.N.S. Paris

Fermat quotients: Nonvanishing, Distribution and Dynamics

We describe resent results (obtained in a joint work with J. Bourgain, K. Ford and S. Konyagin) about the smallest integer $a > 1$, for which the Fermat quotient $q_p(a) = (a^{p-1}-1)/p$ does not vanish modulo a prime $p$, which in improve a result of H.W. Lenstra of 1979 from $4(\log p)2$ down to $(\log p)^{463/252 + o(1)}$, for all $p$, and down to $(\log p)^{5/3 + o(1)}$, for almost all $p$. We also discuss recent results (obtained in a joint work with A. Ostafe) about some dynamical properties of the map $a\mapsto q_p(a) (mod p)$ such as the cycles length and the number of fixed points. Underlying techniques include results on the distribution of smooth numbers and elements of multiplicative subgroups of residue rings, bounds of Heilbronn exponential sums and a large sieve inequality with square moduli will be discussed too.

Le 17 septembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jilong Tong Univ. Bordeaux 1

Étude locale des torseurs sous une courbe elliptique

Soit $\mathcal{O}_K$ un anneau de valuation discrète complet, à corps résiduel $k$ algébriquement clos de caractéristique $p > 0$, à corps des fractions $K$, et soit $\pi \in \mathcal{O}_K$ une uniformisante de $\mathcal{O}_K$. Notons $S = \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_K)$, avec $s$ le point fermé. Soit $J_K$ une courbe elliptique sur $K$, et notons $\mathcal N$ son $S$-modèle de Néron, $J = \mathcal N^{\circ}$ sa composante neutre. Donnons-nous par ailleurs un torseur $X_K$ sous $J_K$ d'ordre $d$, et soit $X$ le $S$-modèle propre minimal régulier de $X_K$. En général, $X$ n'est pas cohomologiquement plat, et son foncteur de Picard $\mathrm{Pic}^\circ_{X/S}$ n'est pas représentable, même par un espace algébrique en général. C'est connu qu'il existe un épimorphisme (pour la topologie fppf) de foncteurs en groupes naturel $q : \mathrm{Pic}^\circ_{X/S} \rightarrow J$ qui prolonge l'isomorphisme de bidualité sur la fibre générique. De plus, le pgcd des multiplicités des composantes irréductibles de $X_s$ est $d$. Il existe donc un faisceau inversible d'idéaux $\mathcal I$ de $\mathcal O_X$ tel que $\mathcal I^d = \pi \mathcal{O}_X \subset \mathcal O_X$. Dans cet exposé, on va étudier les faisceaux inversibles sur $X$ en relation avec la filtration $\mathcal I$-adique, et ensuite montrer que le morphisme $q$ ci-dessus est compatible avec la filtration $\mathcal I$-adique sur $\mathrm{Pic}^\circ_{X/S}(S)$, et la filtration $\pi$-adique sur $J(S)$. Tout ceci se dit agréablement sur les réalisations de Greenberg de $\mathrm{Pic}^\circ_{X/S}$ et $J$. Cette étude conduit aussi aux fonctions de Herbrand, similaires à celles rencontrées par Serre dans sa description du corps de classes local.

Le 24 septembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Michael Drmota TU Wien

The sum of digits of primes

It is relatively easy to show that the average number of non-zero binary digits of primes < x is almost the same as the average number of non-zero binary digits of all natural numbers < x, namely (1/2) \log_2 x + O(1). The main purpose of this talk is to provide asymptotic expansions for the number of primes < x with precisely k non-zero binary digits for k close to (1/2) \log_2 x. The proof is based on a thorough analysis of exponential sums involving the sum-of-digits function (that is related to a recent solution of problem of Gelfond) and a refined central limit theorem for the sum-of-digits function of primes. Interestingly this result answers a question that is attributed to Ben Green whether for every given k there exists a prime with k non-zero binary digits. There is also a very nice relation to the Thue-Morse sequence. This is joint work with Christian Mauduit and Joel Rivat.

Le 1er octobre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

François Brunault ENS Lyon

Courbes elliptiques et conjecture de Zagier

Une conjecture de Zagier, formulée initialement dans le cas des corps de nombres et étendue par la suite aux courbes elliptiques, relie valeurs spéciales de fonctions zêta et polylogarithmes. Dans le cas d'une courbe elliptique E définie sur Q, Goncharov et Levin ont démontré la conjecture de Zagier pour L(E,2) de manière inexplicite, en passant par la K-théorie de E. Dans cet exposé, je commencerai par expliquer comment expliciter le théorème de Goncharov et Levin pour certaines courbes elliptiques. Je parlerai ensuite du cas de l'extension des scalaires d'une courbe elliptique E à un corps de nombres abélien K et, dans un cas particulier, je montrerai une version explicite de la conjecture de Zagier pour L(E/K,2).

Le 8 octobre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Éric Balandraud Univ. Paris 6

La méthode polynomiale en théorie additive des nombres

Le Combinatorial Nullstellensatz est un théorème de Noga Alon généralisant aux polynômes à plusieurs variables l'idée qu'un polynôme de degré d ne peut avoir d+1 racines. Les applications du Combinatorial Nullstellensatz sont très nombreuses, nous présenterons rapidement des exemples en théorie des graphes ou en géométrie discrète, ainsi que certains developpements recents de ce théorème. De cette idée, Alon, Nathanson et Rusza ont développé la méthode polynomiale en théorie additive des nombres. Ils ont alors donné de nouvelles preuves des théorèmes de Cauchy-Davenport et du théorème de Hamidoune-Dias da Silva (conjecture d'Erdos-Heilbronn), ainsi que d'autres résultats originaux. Une conjecture de Selfridge affirme que dans Z/nZ, un sous-ensemble de cardinal maximal sans sous-somme nulle, est de cardinal k tel que k(k+1)/2 <= n+1. Nous présenterons un nouveau résultat pour un sous-ensemble A de Z/pZ concernant le cardinal de l'ensemble des sous-sommes de A, donnant une preuve de la conjecture de Selfridge dans le cas premier.

Le 15 octobre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Harari Univ. Paris-Sud

Obstruction de descente et suite exacte fondamentale

On établit un lien entre l'obstruction de descente à l'existence d'un point rationnel et les sections de la suite exacte fondamentale de Grothendieck; ceci a des applications à l'obstruction de Brauer-Manin et à la conjecture des sections birationnelle en géométrie anabélienne (travail commun avec J. Stix).

Le 22 octobre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Éric Gaudron Univ. Grenoble 1

Théorèmes des périodes et isogénies

Étant donné une période w d'une variété abélienne A (définie sur un corps de nombres k), un théorème de Wüstholz affirme que le plus petit sous-espace vectoriel de l'espace tangent à A, défini sur une clôture algébrique de k, contenant w, est l'espace tangent d'une sous-variété abélienne A_w. Un théorème des périodes donne une majoration du degré de A_w, degré relatif à un plongement projectif de A. Les premières bornes ont été obtenues par Masser et Wüstholz dans les années 90. Ces énoncés permettent d'estimer le degré de l'isogénie minimale entre deux courbes elliptiques isogènes.

Dans cet exposé, nous présenterons de nouveaux résultats qui améliorent les bornes connues jusqu'alors. Il s'agit d'un travail en commun avec Gaël Rémond.

Le 29 octobre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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Vacances de la Toussaint

Le 5 novembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eknath Ghate Tata Institute of Fundamental Research

Weight one forms in p-adic families

A p-adic family of ordinary eigenforms contains infinitely many classical members of any fixed weight at least 2. Moreover, every classical p-ordinary eigenform of weight at least 2 is known to live in a unique family. However, non-CM families contain only finitely many weight 1 members, and moreover, one expect the uniqueness result to fail in weight 1. In this talk we shall a) give sharp estimates for the exact number of weight 1 members in families and b) give recipies and examples to show how exactly uniqueness fails. This is joint work with Mladen Dimitrov.

Le 12 novembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Alain Togbe Purdue Univ. North Central

Sur les solutions de l'équation diophantienne $AX^2-BY^{2n}=C$

L'équation diophantienne $$ AX^{2} - BY^{2n} = C$$ a une histoire très longue et riche. Il a été étudié par de nombreux chercheurs. On peut citer par exemples Ljunggren, MA Bennett, JH Chen, JHE Cohn, F. Luca, PM Voutier, PG Walsh, J. Luo, P. Yuan, Z. Zhang, ... Au cours de cet exposé, nous allons discuter des progrès récents sur l'équation diophantienne ci-dessus. En particulier, nous donnons la preuve de notre résultat sur l'équation diophantienne $$ X^{2} - (p^{2m} +1) Y^{6} = - p^{2m}, $$ où $p$ est un nombre premier et $m$ est un entier positif.

Le 19 novembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Stéphane Vinatier Univ. de Limoges

Bases normales auto-duales

Soit $N/F$ une extension galoisienne finie de corps, de groupe de Galois $G$. Une base de $N$ sur $F$ est \textit{normale} si elle est constituée des conjugués d'un élément $\alpha$ de $N$ sous l'action de $G$, \textit{normale auto-duale} si, de plus, la trace de $N$ à $F$ des produits $\alpha g(\alpha)$ pour $g\in G$ vaut $1$ si $g$ est l'identité, $0$ sinon. Dans un premier temps, on considèrera le cas d'une extension de corps finis. On rappellera les conditions d'existence de bases normales auto-duales, et on définira la complexité de la multiplication dans une telle base. On présentera un algorithme qui construit toutes les bases normales auto-duales de l'extension (à partir d'un résultat théorique récent de Pickett), et qui permet, pour de petites valeurs de la caractéristique et du degré, de déterminer celles qui ont la plus faible complexité. Il s'agit d'un travail en commun avec François Arnault et Erik Pickett. Dans un second temps, on se placera dans le cas d'une extension cyclique de degré premier du corps des rationnels, et on s'intéressera à la complexité (globale) de la base normale auto-duale définie par Erez. Ceci est un travail en cours avec les mêmes auteurs que le précédent. Enfin, on rappellera la construction, due à Pickett, de bases normales auto-duales pour certaines extensions locales de degré premier, à l'aide de l'exponentielle de Dwork et de la théorie de Lubin-Tate, puis on montrera comment les normes-résolvantes associées à ces bases sont liées aux sommes de Gauss galoisiennes associées au corps de base. Ce résultat local a une interprétation globale en terme de structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente de certaines extensions relatives faiblement ramifiées de corps de nombres (travail en commun avec Erik Pickett).

Le 26 novembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Jean-Marc Couveignes INRIA\, Univ. Toulouse II

Algorithmes quasi-optimaux : aussitôt dit, aussitôt fait

On apprend à l'école comment ajouter ou multiplier deux entiers. La division euclidienne et son application au calcul du PGCD viennent ensuite, et, plus tard, la multiplication des polynômes, puis des matrices. Pour chacun de ces problèmes, la méthode apprise à l'école est la plus facile à expliquer et la plus commode lorsque l'on traite des données de petite taille. Mais, d'un point de vue asymptotique, la méthode naïve n'est pas la meilleure, sauf pour l'addition. Pour multiplier deux nombres entiers, par exemple, il existe des algorithmes quasi-optimaux, c'est-à-dire des méthodes de calcul qui ne demandent pas (beaucoup) plus de temps qu'il n'en faut pour écrire le résultat. On ne peut donc espérer de meilleurs algorithmes. Ces méthodes de multiplication rapide utilisent la transformée de Fourier discrète. Inventées dans les années 1970, elles se sont répandues grâce à la micro-informatique et aux logiciels de calcul formel. Quant à la multiplication des matrices, Strassen et d'autres ont proposé depuis 1969 des méthodes théoriquement plus rapides que la méthode standard; mais on ignore s'il existe des algorithmes optimaux: multiplier deux matrices est aujourd'hui bien plus lent que de recopier le résultat. Majorer le rang du tenseur de multiplication des matrices est une question importante et difficile. Cohn et Umans on récemment reformulé cette question en termes de combinatoire et de représentations de groupes finis.

Dans la première partie de mon exposé je présenterai quelques uns de ces problèmes importants de complexité algébrique.

Je présenterai ensuite un travail commun avec Reynald Lercier, qui donne un algorithme quasi-optimal pour produire des polynômes irréductibles sur un corps fini, à l'aide de la théorie de Kummer des courbes elliptiques. La même question pour les entiers premiers reste ouverte.

Le 3 décembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Laurent Berger ENS Lyon

Réduction modulo p de représentations cristallines

Je rappellerai comment on associe des représentations de $Gal(\bar{{\bf Q}}/{\bf Q})$ à des objets géométriques et comment on peut, dans certains cas, calculer explicitement la réduction modulo $p$ de leur restriction à certains sous-groupes intéressants.

Le 10 décembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Peter Bruin Univ. Paris-Sud 11

Sur le calcul des coefficients des formes modulaires

Soit $f$ une forme modulaire de poids et niveau donnés sur un corps de nombres. Pour tout entier positif $m$, soit $a_m(f)$ le $m$-ième coefficient du $q$-développement de $f$. On sait que $f$ est déterminée par les coefficients $a_0(f), ..., a_N(f)$, avec $N$ suffisamment grand. Il est naturel de se poser la question si, étant donnés $a_0(f), ..., a_N(f)$ et un entier positif $m$, on peut calculer « rapidement » $a_m(f)$. J.-M. Couveignes, S. J. Edixhoven et al. ont récemment développé un algorithme pour résoudre ce probleme pour les formes de niveau 1. La méthode est basée sur le calcul de représentations modulaires de dimension 2 du groupe de Galois absolu de {\bf Q} sur des corps finis. J'expliquerai cet algorithme, ainsi qu'une généralisation aux formes de plus haut niveau qui est donnée dans ma thèse. Je donnerai une application au problème suivant : pour $k$ et $n$ entiers, avec $k$ pair, quel est le nombre de représentations de $n$ comme somme de $k$ carrés ?

Le 17 décembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

David Lubicz CELAR

Couplage avec les fonctions thêta

Nous décrivons un algorithme de calcul de couplages utilisant les fonctions thêta. Puis nous revisitons divers techniques d'accélération de ces calculs (couplage de Ate, couplage optimal). Un bénéfice de notre approche est sa généralité puisqu'elle permet de calculer très naturellement des couplages sur toutes les variétés abéliennes. Nous obtenons aussi des gains de performance.

Travail commun avec Damien Robert

Le 24 décembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances de Noël ¤

Le 31 décembre 2010 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances de Noël ¤

Le 7 janvier 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alain Couvreur Univ. Bordeaux 1

Une généralisation géométrique des codes de Goppa classiques utilisant l'opérateur de Cartier

Nous rappellerons tout d'abord quelques rudiments de la théorie des codes correcteurs et des codes géométriques. Nous nous focaliserons ensuite sur le problème classique (et souvent difficile) consistant à rechercher de bonnes familles de codes à coefficients dans $\mathbb{F}_2$. Une approche classique consiste à choisir de bons codes d'efinis sur une extension $\mathbb{F}_{2^m}$ de $\mathbb{F}_2$ et de les "descendre" sur $\mathbb{F}_2$ via une opération arithmétique classique (restriction, trace, etc...) Si le code d'efini sur $\mathbb{F}_{2^m}$ est un code géométrique construit sur une courbe de genre $0$ et judicieusement choisi, l'opération de restriction à $\mathbb{F}_2$ donne des codes bien meilleurs que dans le cas "générique", ce sont les codes de Goppa binaires. Dans cet exposé, nous présenterons une généralisation de cette approche aux courbes de genre quelconque basée sur l'utilisation de l'opérateur de Cartier.

Le 14 janvier 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Amaury Thuillier Univ. Lyon 1

Réduction semi-stable des courbes du point de vue de Berkovich

Le théorème de réduction semi-stable des courbes algébriques sur un corps local fournit une description locale des courbes analytiques au sens de Berkovich. En renversant la vapeur, je présenterai une démonstration élémentaire du théorème de réduction semi-stable dans le cadre des espaces de Berkovich.

Le 21 janvier 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Éric Delaygue Univ. Grenoble 1

Critère pour l'intégralité des coefficients de Taylor des applications miroir...

Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que tous les coefficients de Taylor à l'origine d'une application miroir soient entiers. Les applications miroir sont des séries formelles $z.exp(G(z)/F(z))$, où $F(z)$ et $G(z)+log(z)F(z)$ sont des solutions particulières de certaines équations différentielles hypergéométriques généralisées. Ce critère est basé sur les propriétés analytiques de l'application de Landau classiquement associée aux suites de quotients de factorielles.

Le 28 janvier 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Peyre Univ. Grenoble 1

Montée et descente du côté de Châtelet.

Les torseurs versels ont été introduits par J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc pour étudier le principe de Hasse et l'approximation faible sur des variétés telles que les surfaces de Châtelet. Dans un travail avec Tim Browning et Régis de la Bretèche, nous avons utilisé ces torseurs comme première étape pour démontrer le principe de Batyrev et Manin pour certaines de ces surfaces. Le but de cet exposé est de présenter ce résultat et sa preuve.

Le 4 février 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt

Graphes de très grande maille fondés sur les octonions

La maille d'un graphe est définie comme la plus petite taille d'un cycle dans ce dernier. Une vieille question en théorie des graphes consiste à étudier quelle est la plus grande maille possible pour un graphe $d$-régulier (c'est à dire un graphe où chaque sommet comporte $d$ arêtes) et à proposer des familles de graphe atteignant la borne. La meilleure borne supérieure sur la maille est de l'ordre de $(2+o(1)) \log_{d-1} n$ quand le nombre de sommets $n$ tend vers l'infini. De nombreuses constructions atteignant une maille de taille logarithmique en le nombre de sommets ont été proposées par le passé. La construction la plus célèbre est sans nul doute une construction arithmétique fondée sur les propriétés de factorisation des quaternions due à Margulis, Lubotzky, Philips et Sarnak datant de la deuxième partie des années 1980. De manière remarquable, cette construction a aussi fourni la première famille infinie de graphes $d$-réguliers qui soit de Ramanujan (c'est une propriété remarquable portant sur le spectre du graphe). La maille de cette famille est de l'ordre de $4/3 \log_{d-1}n$ et c'était jusqu'à présent la meilleure construction connue pour la propriété de maille. Nous nous inspirons de cette construction fondée sur les quaternions pour proposer une nouvelle construction à base d'octonions dont la maille est de l'ordre de $12/7 \log_{d-1} n$ nous rapprochant ainsi un peu plus de la borne supérieure susmentionnée. Nous montrons aussi, comme dans le cas de la construction à base de quaternions, que cette nouvelle famille est aussi de Ramanujan par un argument de comptage du nombre de solutions d'une certaine équation diophantienne quadratique. travail effectué en commun avec Xavier Dahan

Le 11 février 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alexander Rahm Weizman Instit.

La conjecture de Baum/Connes - un accès explicite

Considérons les groupes de Bianchi: Ce sont PSL_2(A) avec A l'anneau d'entiers d'un corps quadratique imaginaire. Un modèle pour leur espace classifiant pour actions propres, est l'espace hyperbolique à trois dimensions, sur lequel ils agissent comme mouvements engendrés par des translations et des rotations.

Un programme en Pari/GP qui vient d'être réalisé, nous permet d'obtenir des domaines fondamentaux pour cette action; et nous soutient dans les calculs de la K-homologie équivariante des groupes de Bianchi par une suite spectrale.

Baum et Connes construisent un homomorphisme de la K-homologie équivariante d'un groupe à la K-théorie de sa C^*-algèbre réduite; et postulent qu'il soit un isomorphisme.

Leur conjecture est vérifiée pour les groupes de Bianchi, ce qui nous permet d'obtenir cette dernière K-théorie des opérateurs, qui ne serait pas accessible directement pour les groupes de Bianchi.

Le 18 février 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Philippe Goutet Jussieu et Paris X

Hypersurfaces de Dwork et hypersurfaces hypergéométriques

Les hypersurfaces de Dwork, qui sont des déformations monomiales des hypersurfaces de Fermat, possèdent des propriétés arithmétiques riches (notamment en relation avec la symétrie miroir et la modularité) parmi lesquelles figurent de nombreux liens avec des objets de type hypergéométrique. Après avoir dressé un petit panorama de ces liens, on s'intéressera à comment la fonction zêta des hypersurfaces de Dwork se décompose en facteurs qui proviennent d'hypersurfaces hypergéométriques et qui admettent une interprétation en terme de fonctions L de représentations d'un groupe d'automorphismes.

Le 25 février 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances d'hiver ¤

Le 4 mars 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christophe Mourougane Univ. Rennes 1

Sur les sections des familles d'hypersurfaces de grand degré..

Grauert et Manin ont montré qu'une famille non-isotriviale de courbes compactes hyperboliques n'a qu'un nombre fini de sections. Nous montrerons un analogue pour une famille non birationnellement isotriviale d'hypersurfaces de grand degré et de grande variabilité d'un espace projectif complexe : il existe un fermé strict de l'espace total qui contient l'image de toutes les sections.

Le 11 mars 2011 à 15:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Baptiste Morin Caltech-Münster

Cohomologie Weil-étale et fonctions Zêta des schémas arithmétiques en s=0 (à 15h)

Lichtenbaum a conjecturé l'existence d'une cohomologie Weil-étale permettant d'exprimer, en termes de caractéristiques d'Euler-Poincaré, l'ordre d'annulation et la valeur spéciale en $s=0$ de la fonction zêta d'un schéma arithmétique. On énoncera cette conjecture puis on s'intéressera à la cohomologie à coefficients dans $\mathbb{R}$ pour les schémas réguliers et propres sur $Spec(\mathbb{Z})$, qui a été définie dans un travail commun avec Matthias Flach. Enfin, on présentera une construction de la cohomologie Weil-étale à coefficients dans $\mathbb{Z}$, en supposant que certains groupes de cohomologie motivique sont de type fini.

Le 18 mars 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Go Yamashita RIMS Kyoto

Automorphie pour $GL_n$ et théorie de Hodge $p$-adique intégrale..

Taylor et Wiles utilisent une technique basée sur la modularité pour la démonstration de la conjecture de Fermat. Leur technique a été développée dans plusieurs directions. Récemment, Kisin a affaibli la condition sur $p$ pour $GL_2$ en utilisant la théorie de Hodge $p$-adique intégrale. D'autre part, Clozel-Harris-Taylor et Taylor ont généralisé cette approche pour $GL_n$. Dans cette exposé, je vais presenter mes travaux avec S. Yasuda permettant de mélanger les approches de Kisin et Clozel-Harris-Taylor, Taylor afin d'affaiblir la condition sur $p$ pour $GL_n$ en utilisant la théorie de Hodge $p$-adique intégrale.

Le 25 mars 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Agnès David ENS-Lyon

Caractère d'isogénie et critères d'irréductibilité..

Je présenterai une version explicite d'un résultat de Momose sur les courbes elliptiques possédant sur un corps de nombres une isogénie de degré premier. J'expliquerai ensuite comment obtenir par des méthodes semblables des critères uniformes d'irréductibilité de représentations galoisiennes pour des familles infinies de courbes elliptiques, définies par un type de réduction en certaines places.

Le 1er avril 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Antonio Lei Monash Univ.

Aspects of non-commutative Iwasawa theory at supersingular primes

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ with supersingular reduction at $p$ and let $K$ be a false Tate extension of $\mathbb{Q}$. On the one hand, I will explain how to define plus and minus Selmer groups of $E$ over $K$ using ideas from $p$-adic Hodge theory, generalising works of Kobayashi. On the other hand, I will talk about some congruences of $L$-values of $E$ which might give rise to a possible definition of plus and minus $p$-adic $L$-functions for $K$, generalising works of Pollack.

Le 8 avril 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stefano Morra Univ. Versailles

La structure des représentations irréductibles modulo $p$ pour $GL_2(Q_p)$

On démontre l'existence d'une filtration naturelle $GL_2(\mathbb{Z}_p)$- équivariante sur les représentations irréductibles modulo $p$ pour $GL_2(\mathbb{Q}_p)$, ce qui permet de donner une description fine de ces objets. On en déduit leur filtration par le $GL_2(\mathbb{Z}_p)$-socle, leurs espaces des invariants sous plusieurs sous-groupes de congruences, ainsi que leurs restrictions aux sous-groupes de Cartan. D'après la com- patibilitée locale-globale cela permet d'obtenir la dimension de certains sous-espaces isotypiques de la cohomologie modulo $p$ de plusieurs courbes modulaires.

Le 15 avril 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anthony Martin Univ. Clermont-Ferrand

Théorie d'Iwasawa des noyaux sauvages étales et sommes de Gauss

On donnera une description de l'idéal de Fitting de la partie + du groupe $X'$ en haut de la tour cyclotomique d'un corps de nombres abélien en termes de sommes de Gauss.

Le 22 avril 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances de printemps ¤

Le 29 avril 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Andreas Holmstrom IMB

Homotopy theory and values of zeta functions.. (salle 1)

I will describe a recent conjecture of Scholbach, which unifies several classical number-theoretic conjectures on special values of zeta functions and L-functions, including the Beilinson conjectures and Soulé's conjecture. A key role in Scholbach's conjecture is played by a new cohomology theory for arithmetic schemes, which has been constructed in joint work with Scholbach.

Le 6 mai 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Evgeniy Zorin Paris 6

Lemmes de multiplicité..

Je présenterai certains résultats sur le lemme de multiplicité, un outil important dans l'étude d'indépendance algébrique des nombres. J'expliquerai comment les résultats de ce type interviennent dans les critères pour les mesures d'indépendance algébrique, et si le temps le permet nous verrons aussi quelques applications.

Le 13 mai 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriele Nebe RWTH Aachen

Réseaux extrémaux

Je raconterai l'histoire de la découverte d'un réseau unimodulaire pair de minimum 8 en dimension 72. Ce réseau réalise l'empilement de sphères le plus dense connu en dimension 72. L'existence d'un tel réseau était un problème ouvert depuis plus de 30 ans. Par contre la méthode de construction avait déjà été appliquée par Turyn en 1967 pour construire le code de Golay a partir du code de Hamming, et plus tard par Lepowsky, Meurman, Tits et Quebbemann (~ 1980) pour construire le réseau de Leech.

Le 20 mai 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Stephen Lichtenbaum Brown Univ.

Cohomological formulas for special values of L-functions of motives (salle 1)

Given a motive over the ring of integers of a number field, we give a conjectured formula for the special value of the L-function of the motive at s = o as the product of a motivic Euler characteristic and an Arakelov (or Tamagawa) Euler characteristic. We will give many examples.

Le 27 mai 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Attila Bérczes Univ. Debrecen

Multiply monogenic orders

An order of a number field is called monogenic if it is generated by a single element over the integers. Clearly, if an order is generated by an algebraic number, then it is generated by any translate of this number by a rational integer. Such numbers are called equivalent. In the present talk we will be interested in orders having two or more pairwise non-equivalent generators. Joint work with J.-H. Evertse and K. Győry.

Le 3 juin 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Pont de l'Ascension ¤

Le 10 juin 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Asher Auel MPI Bonn\, Emory Univ.

Les invariants de Clifford-Hasse-Witt sur les courbes p-adiques..

On s'intéresse aux généralisations aux cas des schémas d'un théorème célèbre de Merkurjev--qui affirme que toute classe de Brauer de 2-torsion sur un corps (de caractéristique différente de 2) est représentée par l'algèbre de Clifford d'une forme quadratique. Parimala, Scharlau, et Sridharan ont trouvé des courbes p-adiques propres et lisses pour lesquelles ce théorème de Merkurjev (maintenant pour les algèbres de Clifford de fibrés quadratiques) est équivalent à l'existence d'une thêta-caractéristique rationnelle. Le résultat principal est que sur les courbes p-adiques propres et lisses il faut également considérer les invariants de Clifford-Hasse-Witt des fibrés quadratiques à valeurs dans des fibrés en droites.

Le 17 juin 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Oded Regev ENS Paris

Learning with Errors over Rings

The ``learning with errors'' (LWE) problem is to distinguish random linear equations, which have been perturbed by a small amount of noise, from truly uniform ones. The problem has been shown to be as hard as worst-case lattice problems, and in recent years it has served as the foundation for a plethora of cryptographic applications.

Unfortunately, these applications are rather inefficient due to an inherent quadratic overhead in the use of LWE. After a short introduction to the area, we will discuss recent work on making LWE and its applications truly efficient by exploiting extra algebraic structure. Namely, we will define the ring-LWE problem, and prove that it too enjoys very strong hardness guarantees. We will mention some recent cryptographic applications in this line of work.

Based on joint work with Vadim Lyubashevsky and Chris Peikert.

Le 24 juin 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yuichiro Hoshi RIMS Kyoto

On a problem of Matsumoto and Tamagawa concerning monodromic fullness of hyperbolic curves

In this talk, we will discuss the following problem posed by Makoto Matsumoto and Akio Tamagawa concerning monodromic fullness of hyperbolic curves.

For a hyperbolic curve X over a number field, are the following three conditions equivalent?

(A) For any prime number l, X is quasi-l-monodromically full.

(B) There exists a prime number l such that X is l-monodromically full.

The property of being (quasi-)monodromically full may be regarded as an analogue for hyperbolic curves of the property of not admitting complex multiplication for elliptic curves, and the above equivalence may be regarded as an analogue for hyperbolic curves of the following result concerning the Galois representation on the Tate module of an elliptic curve over a number field proven by Jean-Pierre Serre.

For an elliptic curve E over a number field, the following four conditions are equivalent:

(0) E does not admit complex multiplication.

(1) For any prime number l, the image of the l-adic Galois representation associated to E is open.

(2) There exists a prime number l such that the l-adic Galois representation associated to E is surjective.

(3) The l-adic Galois representation associated to E is surjective for all but finitely many prime numbers l.

In this talk, I will present some results concerning the above problem in the case where the given hyperbolic curve is of genus zero. In particular, I will give an example of a hyperbolic curve of type (0,4) over a number field which satisfies (C) but does not satisfy (A).

Le 1er juillet 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Chandrashekhar Khare

Automorphic forms and Iwasawa theory

The method of Ribet, Mazur-Wiles and Wiles constructs unramified extensions of cylotomic extensions of totally real fields using automorphic forms. We will discuss how one one can construct ramified extensions, and the role these extensions play in questions about non-vanishing of $p$-adic regulators.

Le 16 septembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dajano Tossici Univ. Bordeaux 1

Modèles des schémas en groupes de racines de l'unité

Soit $R$ un anneau de valuation discrète de caractéristique inégale et soit $K$ son corps de fractions. Dans un travail en collaboration avec Mézard et Romagny, on étudie les schémas en groupes finis et plats sur $R$ qui sont isomorphes au schéma en groupe diagonalisable $\mu_{p^n,K}$ sur $K$ (aussi dits modèles de $mu_{p^n}$) où $p$ est la caractéristique du corps résiduel de $R$ et $n$ est un entier naturel. Dans l'exposé, on montre la construction de beaucoup de modèles de $\mu_{p^n,K}$, que l'on a appelé schémas en groupes de Kummer car ils sont le noyau d'une isogénie qui est isomorphe sur la fibre générique à l'isogénie de Kummer. De plus, dans l'exposé, on classifiera tous les modules de Breuil-Kisin (que nous allons définir) associés aux modèles de $\mu_{p+n,K}$. Finalement, nous donnons des motivations pour la conjecture (que nous avons formulé) qui dit que tout modèle de $\mu_{p^n,K}$ est un groupe de Kummer.

Le 23 septembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Marc Couveignes Univ. Bordeaux 1

Paramétrisation des cubiques planes à l'aide d'un radical cubique

Étant donnée une cubique lisse projective plane $C$ sur un corps $K$ de caractéristique première à $6$, on cherche des morphismes finis $f : D\rightarrow C$ où $D$ est un revêtement radiciel de $P1/K$ de degré $3$. On dit que $f$ est une paramétrisation de $C$ à l'aide d'un radical cubique. Ces paramétrisations présentent un intérêt cryptographique. Icart, Kammerer, Lercier, Renault and Farashahi en ont donné quelques exemples. J'expliquerai pourquoi ces paramétrisations correspondent à des courbes rationnelles dans le plan dual, ayant des propriétés remarquables d'intersection avec la duale $\hat C$ de $C$. De telles courbes se relèvent en des courbes rationnelles sur le revêtement de degré $2$ du plan dual ramifié le long de $\hat C$. Ce revêtement est une surface K3 de rang générique $19$. L'étude de son groupe de Néron-Séveri met de l'ordre dans les paramétrisations connues et permet d'en produire de nouvelles. Travail en commun avec Jean-Gabriel Kammerer. Je ferai un pot ensuite.

Le 30 septembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damien Robert INRIA Bordeaux

Couplages optimaux sur variétés abéliennes via les fonctions thêta..

L'utilisation de couplages en cryptographie a connu un grand essor ces dernières années, car elle permet la réalisation de protocoles comme la cryptographie basée sur l'identité, de manière efficace. Pour l'instant, les seuls couplages cryptographiquement sûrs connus viennent des variétés abéliennes. L'algorithme de Miller permet de calculer efficacement le couplage de Weil et de Tate sur les Jacobiennes de courbes hyperelliptiques. Une collaboration avec David Lubicz nous a permis de développer un algorithme pour calculer le couplage sur une variété abélienne par le biais des fonctions thêta. Pour des raisons d'efficacité, des modifications du couplage de Tate ont été développées dans le cadre des courbes elliptiques (couplage de ate optimal). Dans cet exposé, nous décrirons notre algorithme, et comment l'adapter aux couplages optimaux. Il s'agit d'une collaboration avec David Lubicz.

In english : The use of pairings in cryptology has allowed to implement powerful protocols like Identity Based Encryption in an efficient way. To date, the only cryptographically secure known pairings come from Abelian Varieties. Miller's algorithm allows to compute pairings efficiently on Jacobians of hyperelliptic curves. In a paper with David Lubicz, we described an algorithm using theta functions to compute the Weil and Tate pairing on any abelian variety.

Since theta coordinates are faster than Mumford coordinates for hyperelliptic of genus 2 curves, this algorithm is particularly interesting in this case. However for cryptographic applications of pairings, one can use faster pairings derived from the Tate pairing (optimal ate). In this talk, we will describe our pairing algorithm, and how we can adapt it to the case of the ate and optimal ate pairing.

Le 7 octobre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Julien Cassaigne IML

Éviter les cubes additifs

Pirillo et Varricchio ont posé en 1994 la question suivante : existe-t-il une suite d'entiers bornée telle que deux blocs consécutifs de même longueur n'aient jamais la même somme ? Ce problème fait partie des problèmes d'évitabilité de motifs dans les mots infinis, le motif à éviter étant ici appelé carré additif. Il est encore ouvert à ce jour.

Nous considérons dans cet exposé le cas des cubes additifs, c'est à dire du motif formé non pas de deux mais de trois blocs consécutifs de même longueur et de même somme. Nous montrons au moyen d'une construction explicite qu'il est évitable sur un alphabet à 4 éléments. Nous nous demandons ensuite dans quelle mesure une construction similaire serait possible pour les carrés additifs (dans l'hypothèse où la réponse à la question de Pirillo et Varricchio serait positive).

Travail en collaboration avec J. Currie, L. Schaeffer et J. Shallit. http://arxiv.org/abs/1106.5204

Le 14 octobre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Vauclair Caen

Théorie d'Iwasawa en caractéristique p

Soit A/F une variété abélienne semi-stable sur un corps de fonctions et F_\infty/F une extension de Lie p-adique de groupe G partout non ramifiée. Dans ce contexte, une adaptation naturelle des conjectures principales de la théorie d'Iwasawa non commutative stipule l'existence d'une ``mesure L p-adique'' ``interpolant'' la valeur en 1 de la fonction L de Hasse Weil à tous les caractères d'Artin de G. Cette mesure doit aussi être reliée aux groupes (ou plutôt complexes) de Selmer de A le long de l'extension. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut adapter les résultats de Kato-Trihan sur BSD pour démontrer (sous des hypothèses restrictives) une telle ``conjecture principale''. Il s'agit d'un travail en commun (en cours) avec Fabien Trihan.

Le 21 octobre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Hallouin Toulouse 2

Obstructions globales à la descente pour les variétés

Dans ce travail, en collaboration avec Jean-Marc Couveignes, nous nous intéressons aux corps des modules et de définition de certaines variétés. Plus précisément, on souhaite trouver des exemples de variétés qui ne sont pas définies sur leur corps des modules. Partant du fait que de telles obstructions à la descente existent dans la catégorie des revêtements de courbes, nous produisons d'autres exemples dans certaines catégories de surfaces puis dans la catégorie des courbes lisses.

Le 28 octobre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Harald Helfgott ENS

Le diamètre des groupes de permutations

Soient G un groupe fini et A un ensemble de générateurs de A. Le diamètre diam(Gamma(G,A)) du graphe de Cayley Gamma(G,A) est le l minimal tel que chaque élément de G peut être écrit comme un produit de longueur <=l d'éléments de A et A^{-1}. La question est : comment borner diam(G):= max_A diam(Gamma(G,A)) ?

Il a été conjecturé durant longtemps que le diamètre du groupe symétrique sur $n$ lettres est borné par une puissance de n, mais la meilleure borne connue était exponentielle en sqrt(n log n). Nous avons prouvé une borne quasi polynomiale :

diam(G) = exp(O(log n)^4 log log n) = exp((log log |G|)^O(1)).

Par des résultats standard, ceci implique la même borne pour tous les groupes de permutations transitifs.

Travail commun avec A. Seress.

Le 4 novembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Elodie Leducq Paris 7

Rayon de recouvrement des codes de Reed-Muller généralisés

Le rayon de rcouvrement des codes de Reed-Muller a surtout été étudié dans le cas binaire. Dans cet exposé, on se propose de généraliser certains résultats aux codes de Reed-Muller généralisés. Plus précisément, on donne un encadrement du rayon de recouvrement des codes de Reed-Muller généralisés d'ordre 1 qui pemet d'obtenir la valeur du rayon de recouvrement dans certains cas.

Le 11 novembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Armistice ¤

Le 18 novembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Etienne Fouvry Paris Sud

Sur la taille du regulateur des corps quadratiques réels

Dans ce travail avec F. Jouve, nous étudions le cardinal de l'ensemble des $D$ discriminants fondamentaux positifs tels que $\epsilon(D)$ (unité fondamentale du corps quadratique Q(sqrt(D)) soit supérieur à D à la puissance t, où t est une constante comprise entre $1$ et $3$. Divers points de vue sont adoptés.

Le 25 novembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Antonella Perucca K.U. Leuven

Caractérisations radicielles de courbes elliptiques

Un résultat célèbre de Faltings peut être reformulé pour les courbes elliptiques comme suit : Soit K un corps de nombres, et soit E une courbe elliptique sur K. Soit S un ensemble d'idéaux premiers de l'anneau des entiers de K de densité un et de bonne réduction pour E. Alors la classe de K-isogénie de E est déterminée par la fonction qui à un idéal premier p dans S associe la taille #E (k_p) du groupe des points de E sur le corps résiduel.

Nous prouvons qu'il suffit de regarder les nombres premiers qui divisent la taille. Nous avons également remplacé E(k_p) par l'image du groupe de Mordell-Weil via la réduction modulo p, et résolu le problème analogue pour une large classe de variétés abéliennes. Il s'agit d'un travail en commun avec Chris Hall.

Le 2 décembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Michel Raibaut Madrid

Une fibre de Milnor motivique à l'infini (Salle 1)

Soit U une variété algébrique complexe et f:U->C une application régulière. Par application du théorème d'existence des stratifications de Whitney et du théorème de fibration de Thom-Mather il existe R>0 tel que f:U\f^{-1}(D(0,R))->C\D(0,R) est une fibration topologique localement triviale. La fibre de cette fibration est appelée "fibre de Milnor à l'infini". Un invariant classique associé est le spectre de Hodge-Stenbrink à l'infini. Nous montrons dans cet exposé comment construire une "fibre de Milnor motivique à l'infini" analogue motivique de la fibre de Milnor à l'infini. Cet objet est construit à partir d'une compactification mais n'en dépend pas. Il permet notamment de retrouver le spectre à l'infini de f. Nous donnerons en particulier son expression dans le cas d'un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l'infini.

Le 9 décembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Helena Cobo Madrid

Motivic Poincaré series of toric varieties

Motivic Poincaré series were defined by Denef and Loeser in analogy with some generating series ocurring in arithmetic geometry. They proved the series, the geometric and arithmetic, have a rational form. We will give a rational form of these series in the case of toric varieties, in terms of some monomial ideals associated to the semigroup of the toric variety. This is a joint work with Pedro González Pérez.

Le 16 décembre 2011 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Lara Thomas ÉNS Lyon

Représentation analytique de générateurs galoisiens dans des extensions de corps p-adiques (Salle 1)

Soit $K$ un corps $p$-adique. Dans cet exposé, nous donnerons une représentation analytique de générateurs pour certains modules galoisiens dans des extensions abéliennes, totalement, faiblement et sauvagement ramifiées de $K$. Le résultat principal est la construction d'une série formelle surconvergente à coefficients dans des extensions de Lubin-Tate de $K$. Cette construction utilise plusieurs outils : des exponentielles de groupes formels, la théorie de Lubin-Tate et les vecteurs de Witt dits ramifiés. Elle permet de généraliser deux travaux récents : d'une part la construction due à Pickett de générateurs galoisiens pour la racine carrée de la codifférente dans certaines extensions de corps locaux qui fait suite aux travaux d'Erez, et d'autre part la théorie des $\pi$-exponentielles de Pulita utilisée pour la classification d'équations différentielles $p$-adiques solubles de rang 1. Travail commun avec Erik Pickett.

Le 6 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthieu Romagny Paris 6

Réduction en p de revêtements de courbes de genre supérieur

Des travaux de Drinfeld, Katz-Mazur et Conrad ont permis de comprendre la réduction en p de la courbe modulaire X_0(p) classifiant les isogénies cycliques de degré p entre courbes elliptiques. Dans cet exposé, nous nous intéressons aux revêtements cycliques de degré p de courbes de genre g>1. Nous présenterons un théorème de réduction stable pour ces revêtements et expliquerons les complications qui apparaissent pour les revêtements de degré p^n lorsque n>1. Il s'agit d'un travail en commun avec Dan Abramovich.

Le 13 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Víctor Rotger UPC

Diagonal cycles, triple product L-functions and rational points on elliptic curves (Salle 1)

The theme of this talk is the connection between the pro-unipotent fundamental group $\pi_1(X; o)$ of a pointed modular curve $X$, algebraic cycles, and special values of $L$-functions. The extension of mixed Hodge structures arising in the second stage in the lower central series of $\pi_1(X; o)$ gives rise to a supply of points on the Jacobian $\mathrm{Jac}(X)$ of $X$, indexed by Hodge cycles on the surface $X^2$. I will explain how these points can be computed in practice and how are related to the image of the diagonal in $X^3$ under the (complex, étale or $p$-adic de Rham) Abel-Jacobi map. When combined with a formula of Gross-Zagier type for triple product $L$-functions obtained by X. Yuan, S. Zhang and W. Zhang, this yields a criterion, in terms of the leading terms of certain L-series attached to modular forms, for these points to be of infinite order. This reports on a joint work with H. Darmon (partly in collaboration with M. Daub, S. Lichstenstein, I. Sols and W. Stein).

Le 20 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Shanwen Wang Padova

Système d'Euler de Kato en famille (salle 1)

On donnera une construction de sytème d'Euler de Kato sur l'espace de poids, ce qui est le pointe de départ de la construction d'un système d'Euler de Kato sur une courbe de Hecke cuspidale.

Le 27 janvier 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Charles De Clercq Paris 6

Motifs supérieurs des groupes projectifs linéaires

Le motif supérieur d'une variété projective homogène X sous l'action d'un groupe algébrique semisimple est un invariant très fin, qui encode notamment la dimension p-canonique de X. Dans cet exposé, je présenterai la classification des motifs supérieurs des groupes projectifs linéaires, qui stipule que ces motifs supérieurs sont paramétrés par les sous-groupes cycliques du groupe de Brauer du corps de base ainsi que la dimension des idéaux sous-jacents. J'examinerai ensuite deux conséquences de ce résultat, dont la dichotomie motivique des groupes projectifs linéaires.

Le 3 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Benois Université Bordeaux 1

Zéros triviaux des formes modulaires

Soit $f$ une forme modulaire de poids $k$. La fonction $L$ $p$-adique $L_{p,\alpha}(f,s)$ associée à $f$ vérifie la propriété d'interpolation suivante $$ L_{p,\alpha}(f,m)=\Cal E_{\alpha}(f,m)\,L(f,m), \qquad \text{$m$ entier $1\leq m\leq k-1$}. $$ On dit que $L_{p,\alpha}(f,s)$ a un zéro trivial en $s=m\in \Bbb Z$ lorsque $\Cal E_{\alpha}(f,m)=0.$ En 1986, Mazur, Tate et Teitelbaum ont formulé un conjecture qui donne une interprétation arithmétique de la {\bf d'erivée} de $L_{p,\alpha}(f,s)$ en un zéro trivial si $f$ a réduction semistable en $p$. Cette conjecture a été démontrée en 1998-2000 par deux méthodes completement différentes (Kato-Kurihara-Tsuji, Greenberg-Stevens). Dans cet exposé on va formuler et prouver l'analogue de cette conjecture dans le cas de bonne réduction.

Le 10 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alena Pirutka Strasbourg

Sur quelques aspects de la cohomologie non ramifiée

Dans cet exposé, après avoir passé en revue les propriétés générales des groupes de cohomologie non ramifiée, on s'intéressera à des applications pour l'étude des groupes des Chow, ainsi que pour certains principes locaux-globaux, pour des variétés sur des corps fini. En particulier, on va donner un exemple d'une variété projective et lisse, géométriquement rationnelle, définie sur un corps fini et telle que l'application naturelle $CH^2(X)->CH^2(\bar X)^G$ n'est pas surjective.

Le 17 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthias Flach Caltech

Weil-etale cohomology and Zeta functions of arithmetic schemes

We report on work, joint with Morin, that gives a conjectural description of leading Taylor coefficients of Zeta functions of arithmetic schemes in terms of volumes of certain Weil-etale cohomology groups of motivic complexes. Such a description was given by Milne, Lichtenbaum and Geisser for varieties over finite fields and was begun by Lichtenbaum for the Dedekind Zeta function at s=0. Our work covers arbitrary regular, projective arithmetic schemes at any integer argument and is compatible with the Tamagawa number conjecture of Bloch, Kato, Fontaine and Perin-Riou.

Le 24 février 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mathilde Herblot Frankfurt am Main

Versions géométriques complexes et p-adiques du théorème de Schneider-Lang

Le théorème de Schneider-Lang est un critère classique de transcendance pour des nombres complexes. Il dit que des fonctions méromorphes d'ordre fini, vérifiant une équation différentielle polynomiale à coefficients dans un corps de nombres et algébriquement indépendantes ne peuvent prendre simultanément des valeurs dans ce corps de nombres qu'en un nombre fini de points. Comme corollaire, on obtient par exemple directement la transcendance de e, pi, log2 ou exp(a) pour tout a algébrique non nul. Dans cet exposé, je présenterai des généralisations géométriques de ce critère, valables sur le corps des nombres complexes ou sur un corps p-adique. En dimension 1, j'exposerai un théorème concernant des sous-schémas formels admettant une uniformisation par une courbe algébrique affine. En dimension supérieure, j'énoncerai un théorème qui s'applique à des sous-schémas formels admettant une uniformisation par un produit d'ouverts de la droite affine, sous l'hypothèse supplémentaire que l'ensemble des points étudiés est un produit cartésien. Les démonstrations de ces résultats reposent sur la méthode des pentes développée par J.-B. Bost et utilisent le langage de la géométrie d'Arakelov.

Le 2 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances d'hiver ¤

Le 9 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damien Stehlé ÉNS Lyon

Une preuve de sécurité pour le cryptosystème NTRU

NTRUEncrypt, proposé en 1996 par Hoffstein, Pipher et Silverman, est le schéma de chiffrement asymétrique le plus efficace, parmi ceux dont la sécurité repose sur la difficulté de problèmes portant sur les réseaux euclidiens. Malheureusement, depuis sa création, sa sécurité a régulièrement été mise en doute. Nous montrerons comment modifier NTRUEncrypt pour qu'il admette une preuve de sécurité contre les attaques à clair choisi, sous l'hypothèse qu'il est difficile de trouver des vecteurs courts dans des réseaux correspondant à des idéaux arbitraires des anneaux d'entiers de corps cyclotomiques. La preuve repose sur les travaux récents de [Lyubashevsky et al., Eurocrypt'10] sur la difficulté du problème Ring-LWE. Notre principale contribution est de démontrer que si les polynômes de petites hauteurs correspondant à la clé secrète sont tirés suivant une loi Gaussienne discrète, alors la distribution de la clé publique, qui est leur quotient modulo un entier, est statistiquement proche de la loi uniforme sur son domaine.

Travail en commun avec Ron Steinfeld

Le 16 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Keisuke Arai Tokyo

Algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type

We classify the characters associated to algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type, and over number fields (not only quadratic fields but also fields of higher degree) we show that there are few points on such a Shimura curve for every sufficiently large prime number $p$. This is an analogue of the study of rational points or points over quadratic fields on the modular curve $X_0(p)$ by Mazur and Momose.

Le 23 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Brinon Paris 13

Formes de Siegel surconvergentes

Dans cet exposé, j'expliquerai une construction des faisceaux de formes modulaires de Siegel surconvergentes qui utilise des tours d'Igusa surconvergentes. Il s'agit d'un travail en commun avec F. Mokrane et J. Tilouine.

Le 30 mars 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Baptiste Calmès Université d'Artois

Motifs de Chow-Witt

Cet exposé est basé sur un travail commun avec Jean Fasel. Morel et Voevodsky ont défini la catégorie A^1-homotopique stable SH(k) des schémas sur un corps k. Cette catégorie est l'équivalent en géométrie algébrique de la catégorie homotopique stable SH en topologie algébrique, et elle constitue un cadre idéal pour comprendre de nombreuses théories cohomologiques qui y sont représentables. Une bonne compréhension de cette catégorie est donc très souhaitable. Voevodsky a également défini une catégorie de motifs (DM) qui est triangulée, en étroite relation avec la catégorie SH(k), et qui lui a permis d'obtenir des résultats spectaculaires (conjecture de Milnor, etc.). Je tenterai de donner une présentation accessible aux non-spécialistes des structures mentionnées ci-dessus, puis j'expliquerai comment les groupes de Chow-Witt peuvent remplacer les groupes de Chow dans la construction d'une catégorie de motifs analogue à celle de Voevodsky, dans le but de mieux approcher la catégorie A^1-homotopique stable.

Le 6 avril 2012 à 13:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alina Firicel Grenoble

Approximation diophantienne et automates finis

Dans cet exposé nous nous intéressons à l'approximation des séries de Laurent algébriques, à coefficients dans un corps fini, par des fractions rationnelles. A l'aide d'une méthode inspirée par un article d'Adamczewski et Cassaigne, nous donnons une majoration générale de l'exposant d'irrationalité de ces séries de Laurent. La preuve de ce résultat repose sur un théorème de Christol faisant intervenir les automates finis. Nous illustrerons cette approche à l'aide de quelques exemples.

Le 13 avril 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stéphane Viguié Univ. Franche-Comté

Systèmes d'Euler, conjecture de Gras, conjecture principale d'Iwasawa.

Les systèmes d'Euler ont été introduits au d'ebut des années 90. Étant donné une extension abélienne finie de corps globaux $K/k$, ils permettent dans certains cas de comparer les structures du module galoisien des $p$-classes $A_K$ et du module galoisien des unités modulo unités de Stark $MCE_K /MCSt_K$. Dans le cas où $k$ est un corps de fonctions de caractéristique $\rho$, ou dans le cas où $k$ est quadratique imaginaire, nous étendons la méthode d'eveloppée par K.\,Rubin. Nous montrons que si $pmid[K:k]$ (dans le cas des corps de fonctions, on suppose aussi $peq\rho$), alors pour tout (sauf les caractères $MBQ$-conjugués au caractère de Teichmuller dans un cas pathologique ) $MBQ_p$-caractère irréductible $\psi$ on a égalité des cardinaux des $\psi$-parties, $\#\left( A_{K,\psi} \right) = \#\left( MCE_K/MCSt_K \right)_\psi.$ Dans le cas où $k$ est quadratique imaginaire, et où le nombre premier $potin \{2,3\}$ est d'ecomposé dans $k$, on note $k_\infty $ l'unique $MBZ_p$-extension de $k$ non ramifiée en dehors de $MFp$. On considère une extension $K_\infty $ de $k_\infty $, abélienne sur $k$. Inspiré par les travaux de K.\,Rubin et W.\,Bley, nous montrons que pour tout $MBC_p$-caractère irréductible $\chi$ du sous-groupe de torsion de $Gal\left( K_\infty /k \right)$, on a égalité des idéaux caractéristiques des $\chi$-quotients, $\#\left( A_{\infty ,\chi} \right) = \#\left( MCE_\infty /MCSt_\infty \right)_\chi.$

Le 20 avril 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Bernard de Mathan Univ. Bordeaux 1

Le principe des tiroirs en Approximation Diophantienne

Le titre, peut-être un peu facétieux, est choisi pour souligner le fait que la conjecture de Littlewood classique, en Approximation Diophantienne simultanée, ainsi que la conjecture mixte (mêlant approximation et divisibilité), proviennent de problèmes extrêmement simples, qui deviennent difficiles, voire insolubles, en renforçant simplement une condition. Sous ce titre, je proposerai un "survey" de résultats récents de divers auteurs sur ces problèmes, ainsi que sur la conjecture duale de la conjecture de Littlewood.

Le 27 avril 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

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¤ Vacances de printemps ¤

Le 4 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vésale Nicolas Univ. Franche-Comté

Formules analytiques du nombre de classes: rajoutons un peu d'action galoisienne.

On cherche depuis longtemps à généraliser la formule analytique du nombre de classes. La conjecture la plus célèbre du domaine est certainement celle de Birch et Swinnerton-Dyer, qui est un cas très particulier des conjectures équivariantes des nombres de Tamagawa (ETNC) énoncées par Bloch; Kato; Fontaine; Perrin-Riou; Burns et Flach (1990-2001). Malheureusement, si l'on dispose de nombreuses conjectures, les théorèmes sont moins nombreux. Le résultat le plus marquant est le théorème de Burns-Greither (2003): il donne, dans le cas des corps abéliens, une formule analytique du nombre de classes Galois-équivariante. Le but de cet exposé est double: premièrement, nous généraliserons la formule analytique du nombres de classes pour les fonctions L p-adiques de Leopoldt-Colmez en ajoutant, dans le cas abélien, de l'action Galoisienne. Nous prouverons ainsi l'analogue, pour les fonctions L p-adiques, du théorème de Burns-Greither. Deuxièmement, nous comparerons valeurs spéciales des fonctions L et L p-adiques (toujours de façon équivariante), ce qui nous donnera une nouvelle preuve du théorème de Burns-Greither. Mots clés: Théorie d'Iwasawa, régulateurs et K-théorie des anneaux d'entiers, conjectures de Stark, cohomologies Galoisienne et étale, exponentielle de Bloch-Kato et représentations p-adiques.

Le 11 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sudhir Ghorpade Mumbai

Splitting Subspaces, Singer Cycles and Linear Recurrences

\def\FF{{\mathbb F}} \def\PP{{\mathbb P}} \def\Fp{{\mathbb F}_p} \def\Fq{{\mathbb F}_q} \def\Fqm{{\mathbb F}_{q^m}} \def\Fqmn{{\mathbb F}_{q^{mn}}} \def\Fqtn{{\mathbb F}_{q^{2n}}} \def\mod{{\rm mod}} Finite fields have a remarkable property that finite dimensional vector spaces over them are naturally endowed with a compatible field structure. Indeed, we can simply ``move the $d$'' so as to write $\Fq^d \simeq \FF_{q^d}$, where $d$ is any positive integer and, as usual, $\Fq$ denotes the finite field with $q$ elements. This leads to some interesting notions where the field structure and the linear structure are intertwined. One such notion is that of a splitting subspace, which appears to go back at least to Niederreiter (1995) in connection with his work on pseudorandom number generation. Here is the definition. %{\bf Definition.} Fix positive integers $m,n$ and a prime power $q$. Let $\alpha \in \Fqmn$. % be a primitive element of $\Fqmn$ in the sense that $\Fqmn=\Fq(\alpha)$. An $m$-dimensional $\Fq$-linear subspace $W$ of $\Fqmn$ is said to be \emph{$\alpha$-splitting} if \begin{displaymath} \Fqmn = W \oplus \alpha W \oplus \cdots \oplus \alpha^{n-1}W. \end{displaymath} Concerning splitting subspaces, Niederreiter asked the following oindent {\bf Question.} Given %any $\alpha\in \Fqmn$ such that $\Fqmn=\Fq(\alpha)$, what is the number of $m$-dimensional $\alpha$-splitting subspaces of $\Fqmn$? This question has been open for over 15 years. We will outline some recent progress as well as connections to topics such as Singer cycles (in general linear groups), linear recurrences, and primitive polynomials. %, and cryptography. En route, we will also notice an amusing connection with the Riemann zeta function and questions such as when are two polynomials in $\Fq[X]$ of a given positive degree relatively prime.

Le 18 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damien Bernard Clermont-Ferrand

Zéros non-triviaux des fonctions L

Dans cet exposé, je présenterai une approche statistique des zéros non-triviaux des fonctions L et m?intéresserai plus particulièrement à la hauteur du plus petit de ces zéros.

Le 25 mai 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gerard Freixas Paris 7 - CNRS

Généralisations de la formule de Hilbert-Samuel arithmétique

La formule de Hilbert-Samuel arithmétique mesure le volume du réseau des sections entières d'un fibré sur une variété arithmétique. Le théorème, originalement démontré par Gillet et Soulé comme conséquence de leur théorème de Riemann-Roch en théorie d'Arakelov, a été étendu dans plusieurs directions. Dans l'exposé je présenterai une généralisation qui permet de considérer, par exemple, des variétés de Shimura non compactes et des fibrés de formes automorphes, auxquels la théorie classique de Gillet et Soulé ne s'applique pas.

Le 1er juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Luis Dieulefait Barcelona

Modularity and non-solvable base change for GL(2)..

We will present the general ideas in the proof of non-solvable base change for GL(2), from classical modular forms to Hilbert modular forms. The main inputs are modularity lifting theorems and the method of modularity by propagation.

Le 8 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sylvain Duquesne Rennes 1

Représentation RNS des nombres et calcul de couplages

Dans cet exposé, Je présenterais le système de représentation des nombres basé sur le théorème des restes chinois (RNS) et je montrerais comment et pourquoi il est bien adapté au calcul de couplage sur les courbes elliptiques, en particulier pour les grands degrés d'extension comme pour les courbes BN et pour les implémentations matérielles.

Le 15 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florent Jouve Paris Sud

Matrice de Bézout et transfert de formes quadratiques

Si A est une k-algèbre munie d'une forme A-bilinéaire non-dégénérée, on se demande comment déduire naturellement une famille de structures k-bilinéaires non-dégénérées sur A. Si A est le quotient de k[X] par un polynôme sans facteur carré, on peut utiliser la trace pour opérer ce transfert de structure bilinéaire non-dégénérée. Dans cet exposé (portant sur un travail en commun avec F. Rodriguez-Villegas) on abordera cette question dans un plus grand degré de généralité et l'on montrera que la réponse fait apparaitre une méthode due à Bézout pour le calcul du résultant de deux polynômes. On appliquera ensuite le résultat général à la question de l'existence d'isométries dont on prescrit certains invariants (polynôme caractéristique, forme de Jordan, norme spinorielle...).

Le 22 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gilles Zémor Université Bordeaux 1

Quelques développements récents en combinatoire additive dans le contexte des groupes non-commutatifs

Soit $G$ un groupe abélien fini. Soient $S$ et $T$ deux parties de $G$ telles que $|S+T|\leq |S| + |T| -1$. Les théorèmes additifs classiques nous disent que si on exclut des cas dégénérés par les conditions $|T|\geq 2$ et $|S+T|\leq |G|-2$, alors $S$ est soit une progression arithmétique, soit est bien recouvert par des translatés d'un sous-groupe. Nous obtenons une généralisation de cette caractérisation au cas des groupes non commutatifs qui fait apparaître des exemples quelque peu inattendus d'ensembles $S$ qui ne sont ni des progressions, ni très bien recouverts par des translatés d'un sous-groupe. Nous nous appuyons sur la méthode atomique d'Hamidoune que nous présenterons dans l'exposé avec quelques applications.

Le 29 juin 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Conférence \"Galois covers and deformations\"

Sans titre

Le 6 juillet 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Benjamin Smith LIX\, École polytechnique

Counting points on genus 2 Jacobians with real multiplication

(Joint work with P. Gaudry and D. Kohel) We present an accelerated Schoof-type point-counting algorithm for curves of genus 2 equipped with an efficiently computable real multiplication endomorphism. Our new algorithm reduces the complexity of genus 2 point counting over a finite field $\F_{q}$ of large characteristic from $\widetilde{O}(\log^8 q)$ to $\widetilde{O}(\log^5 q)$. We have used our algorithm to compute a 256-bit prime-order Jacobian suitable for cryptographic applications, and also the order of a 1024-bit Jacobian. (The previous "world record", without real multiplication techniques, was a 256-bit Jacobian).

Le 13 juillet 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Conférence \"Galois Representations and Arithmetic Geometry\"

En l'honneur des 60 ans de Sir Martin J. Taylor.

Le 14 septembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicola Mazzari Univ. Bordeaux 1

..Motifs et cohomologie des variétés p-adiques

Je vais vous donner un aperçu autour de la cohomologie syntomique rigide défini par A. Besser. Elle est analogue à la cohomologie de Deligne-Beilinson et est un outil pour étudier les cycles de schémas sur les entiers p-adiques. Grosso modo elle est construite par la cohomologie de de Rham de la fibre générique et la cohomologie rigide de la fibre spéciale. Je donnerais aussi quelques résultats d'un travail en commun avec F. Deglise: nous avons utilisé la catégorie triangulée des motifs pour montrer certaines propriétés (importantes pour les applications) de la cohomologie syntomique rigide.

Le 21 septembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Brinon Univ. Bordeaux 1

Théorie de Sen des B_dR-représentations

Dans ce travail en commun avec F. Andreatta, nous étendons la théorie des ${\rm B}_{\rm dR}$-représentations de J.-M. Fontaine au cas relatif (sur des schémas affines "petits" au sens de G. Faltings). Cela permet de prouver une propriété de pureté pour les représentations de de Rham (due à K. Morita et T. Tsuji).

Le 28 septembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Angelo Vistoli SNS de Pise

The Nori correspondence

Let X be a variety over a field k, with a fixed rational point x_0 in X(k). Nori defined a profinite group scheme N(X,x_0), usually called Nori's fundamental group, with the property that homomorphisms N(X,x_0) to a fixed finite group scheme G correspond to G-torsors P --> X, with a fixed rational point in the inverse image of x_0 in P. If k is algebraically closed this coincides with Grothendieck's fundamental group, but is in general very different. Nori's main theorem is that if X is complete, the category of finite-dimensional representations of N(X,x_0) is equivalent to an abelian subcategory of the category of vector bundles on X, the category of essentially finite bundles. After describing Nori's results, I will explain my work in collaboration with Niels Borne, from the University of Lille, in which we extend them by removing the dependence on the base point, substituting Nori's fundamental group with a gerbe (in characteristic 0 this had already been done by Deligne), and give a simpler definition of essentially finite bundle, and a more direct and general proof of the correspondence between representations and essentially finite bundles. I will also explain how our formalism naturally yields a formulation of Grothendieck's section conjecture in positive characteristic.

Le 5 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 385

Anatoly Libgober Chicago

Mordell-Weil groups of isotrivial abelian..varieties over function fields.

I'll discuss description of the Mordell Weil rank of an isotrivial abelian variety over field of complex rational functions in two variables in terms of the fundamental group of the complement to the discriminant provided that the discriminant has singularities of CM type. As a corollary I'll describe a family of simple Jacobians for which the Mordell Weil rank can be arbitrary large.

Le 12 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Cécile Dartyge UHP Nancy

Complexité de familles d'ensembles pseudo-aléatoires

Soient p un nombre premier, S un sous-ensemble de F_p et H une famille de polynômes à coefficients dans F_p et de degré inférieur à d. Quel est-alors le plus grand entier k tel que pour toutes paires de sous-ensembles de F_p, disjoints A,B dont le cardinal de l'union est k, il existe un polynôme P appartenant à H tel que P(x) soit dans S si x est dans A et P(x) n'appartienne pas à S si x est dans B? Ce problème correspond à l'étude de la complexité de certaines familles pseudo-aléatoires. On commencera par donner la définition de cette complexité puis nous exposerons les différents résultats obtenus selon la nature des ensembles S et H étudiés. Il s'agit de travaux réalisés avec R. Balasubramanian, Elie Mosaki et Andras Sarkozy

Le 19 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dmitry Logachev Univ. of Simon Bolivar\, Venezuela

Modules d'Anderson, leurs réseaux et rangs analytiques

Les modules d'Anderson de rang $r$ et dimension $n$ sont analogues des variétés abéliennes de dimension $r$ à multiplication par un corps quadratique imaginaire de signature $(n, r-n)$. Alors, l'objet analytique correspondant à ce module est un réseau de rang $r$ en $C^n$ ($C$ est l'analogue fonctionnelle des nombres complexes). Nous introduisons la notion de dualité des modules d'Anderson, prouvons que la dualité des modules est compatible avec la dualité des réseaux, appliquons ce résultat pour démontrer qu'il y a une correspondance 1 - 1 entre les modules d'Anderson purs de dimension $n=r-1$ (duales aux modules de Drinfeld) et les réseaux de rang $r$ en $C^n$ ayant des duales (presque tous - mais pas tous - ces réseaux ont les duales). Le plus probable, la condition de la pureté du module d'Anderson est essentielle: nous n'avons pas cette correspondance 1 - 1 pour tous les modules d'Anderson (travail en progrès). Il y a la notion du rang analytique du module d'Anderson défini sur un corps $F_q(T)$. Je présenterai les résultats des calculs du rang analytique des tordues du module de Carlitz - le module d'Anderson le plus simple possible. Il y a des problèmes ouverts, par exemple: ce rang, est-il borné? Quelle est l'asymptotique d'apparence du rang élevé, etc.

Le 26 octobre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gaël Rémond Univ. Bordeaux 1

Polarisations et isogénies

Dans ce travail en commun avec Éric Gaudron, nous donnons plusieurs estimations explicites pour la géométrie des variétés abéliennes sur les corps de nombres. En particulier, nous d'emontrons l'existence d'une petite polarisation, dont le degré est contrôlé par la hauteur de Faltings et la dimension de la variété et le degré du corps. Nous améliorons aussi et rendons explicites les théorèmes d'isogénies de Masser et W"ustholz. Au c\oe ur des preuves se trouvent des arguments de géométrie des nombres sur les réseaux euclidiens formés des endomorphismes entre deux variétés abéliennes. On applique ensuite un théorème des périodes.

Le 2 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Vacances de la Toussaint ¤

Le 9 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Annulé

La théorie des représentations lisses complexes de $GL(n)$ et de ses formes intérieures sur un corps p-adique est bien comprise. Lorsqu'on remplace le corps des nombres complexes par un corps algébriquement clos de caractéristique $l$ non nulle (supposée différente de p dans cet exposé) plusieurs outils de la théorie complexe font défaut, un problème essentiel étant dû à l'existence de représentations cuspidales non supercuspidales. Dans la théorie modulaire, l'un des principaux outils est la théorie des types, qui analyse les représentations de GL(n) par restriction à certains sous-groupes ouverts compacts. Je présenterai les résultats connus à ce jour issus de travaux en collaboration avec Alberto Minguez et avec Shaun Stevens (unicité du support supercuspidal, classifications des représentations irréductibles, construction des représentations cuspidales par induction compacte, involution de Zelevinski, décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses), ainsi que les problèmes à résoudre.

Le 16 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Riccardo Brasca ENS de Lyon

Strict O-modules and p-adic modular forms

We introduce the category of strict $O$-modules, following Faltings. We focus in particular on the strict duality theory, that generalize Cartier duality. We then explain why strict $O$-modules are related to the theory of $p$-adic modular forms, showing that this approach is interesting also in the case $O=Z_p$.

Le 23 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yongqi Liang Univ. Paris 7

Zéro-cycles sur les fibrations en surfaces de Châtelet au-dessus d'une courbe.

Soit $X$ une variété projective lisse définie sur un corps de nombres, fibrée en surfaces de Châtelet au dessus d'une courbe $C$. En supposant la finitude du groupe de Tate-Schafarevitch de la jacobienne de $C$, on montre que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l'approximation faible pour les zéro-cycles sur $X$.

Le 30 novembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriele Nebe RWTH Aachen

Automorphisms of extremal lattices and codes

There are many parallels between the theory of doubly-even self-dual binary codes $C$ of length $n$ and the one of even unimodular lattices $L$ of dimension $n$. They only exist if $n$ is a multiple of $8$ and their minimum (weight) can be bounded from above by $$ d(C) \leq 4\lfloor \frac{n}{24} \rfloor + 4,~~ \mathrm{resp.}~ \min(L) \leq 2\lfloor \frac{n}{24} \rfloor + 2. $$ Lattices (resp. codes) achieving equality are called {\bf extremal}, these are of particular interest if $n$ is a multiple of 24. For these $n$, there are just two extremal codes known, the extended quadratic residue codes of length 24 and 48, both are the unique extremal codes in their length. One intensively studied question is the existence of an extremal code of length 72. Using theoretical and computational methods one may show that the automorphism group of such an extremal code is rather small: its order is either 5 or divides 24. The Leech lattice is the unique extremal lattice of dimension 24, in dimension 48 one knows 3 extremal lattices and there is at least one of dimension 72. It is an interesting question whether there are other extremal lattices of dimension 48. I will report on methods to narrow down the possible automorphisms of such lattices and on number theoretic computations to classify all lattices with an automorphism of order $a$ with $\varphi(a) > 24$.

Le 7 décembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Adriano Marmora IRMA\, Strasbourg

Sur la formule du produit pour les facteurs epsilon p-adiques.

Soit $X$ une courbe propre et lisse sur un corps fini de caractéristique $p$. En 1987, Laumon prouve une formule, conjecturée par Deligne, qui exprime la constante de l'équation fonctionnelle de la fonction $L$ d'un faisceau $l$-adique sur $X$, pour $l$ premier différent de $p$, comme produit de facteurs locaux (facteurs epsilon) aux points fermés de $X$. Cet exposé concerne l'analogue de cette formule en cohomologie rigide, qui a été montrée récemment dans un travail en collaboration avec Tomoyuki Abe.

Le 14 décembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mladen Dimitrov Univ. Lille

Quotients résiduels des variétés d'Albanese de surfaces modulaires de Picard, et points rationnels.

Nous présenterons les grandes lignes d'un travail en cours en collaboration avec Dinakar Ramakrishnan.

Le 21 décembre 2012 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Pas d'exposé ¤

Le 11 janvier 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lucien Szpiro City University of New York

Dynamique algébrique

Nous expliquerons quelques résultats récents reliant la dynamique et des problèmes classiques de géométrie diophantienne.

Le 18 janvier 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jung Kyu Canci Univ. de Bâle

Espaces de modules de fonctions rationnelles équipées d'un point périodique

On dénote $Rat_d$ l'ensemble des endomorphismes de la droite projective de dégré d. Le groupe $PGL_2$ agit par conjugaison sur $Rat_d$. Deux éléments équivalents pour l'action de $PGL_2$ ont la même dynamique. Milnor a étudié le quotient $M_2=Rat_2/PGL_2$ et Silverman a généralisé le résultat à $M_d=Rat_d/PGL_2$. C'est naturel d'étudier les espaces de modules $M_d(N)$ qui paramétrent les classes, à conjugaison près, des endomorphismes de degré $d$ de la droite projective munis d'un point de période formel $N$ . On a très peu d'informations même si $d=2$. Je présenterai un travail en collaboration avec Jeremy Blanc où on considère les espaces $M_2(N)$ avec $1\leq N\leq 6$. Dans l'exposé je présenterai le cas N=6 qui est le cas le plus dur et intéressant.

Le 25 janvier 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Giuseppe Ancona Univ. Paris 13

Décomposition du motif d'un schéma abélien universel

Soit A un schéma abélien sur une base S (lisse et quasi-projective au-dessus d'un corps). Dans les années 90 Beauville, Deninger, Murre Künneman et al. ont démontré que plusieurs décompositions de la cohomologie relative de A (par exemple les décompositions de Lefschetz) se relèvent dans la catégorie des motifs de Chow sur S. J'expliquerai des raffinements possibles, notamment lorsque S est une variété de Shimura de type PEL.

Le 1er février 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Arno Kret Univ. Orsay

Stratification de Newton des varietes de Shimura et formule des traces d'Arthur-Selberg...

Stratification de Newton des varietes de Shimura et formule des traces d'Arthur-Selberg.

Le 8 février 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sumaia Saad-Eddin Univ. Lille 1

Explicit upper bounds for |L(1,chi)| when chi is even

Let $\chi$ be a primitive Dirichlet character of conductor $q$ and let us denote by $L(s,\chi)$ the associated $L$-series. It is well known that there exists a constant $C $ such that $|L(1,\chi)|$ satisfies the following bound: $$ |L(1,\chi)|\leq \tfrac 12 \log q+C \qquad (q>1). $$ Recall that $\chi$ is said to be even or odd according to whether $\chi(-1)=1$ or $\chi(-1)=-1$. It has been proven by Ramaré that $C=0$ is possible when $\chi$ is even and $C=0.7082$ when $\chi$ is odd. In the case $\chi (2)eq 1$, Ramaré, following the work of Louboutin, has already proposed an explicit improvement of the bound above. In this talk, we examine the harder case $\chi(2)=1$. We present a method that leads to a better value of $C$ when $\chi$ is even, $\chi(2)=1$.

Le 15 février 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Boris Adamczewski Univ. Lyon 1

Fonctions algébriques en caractéristique non nulle

Etant donné un corps K, on entend par fonction algébrique un élément algébrique sur le corps des fractions rationnelles K(t), où t peut éventuellement désigner un vecteur d'indéterminées. Ces fonctions admettent des développements en série formelle (ou plus généralement en série de Laurent, de Puiseux, de Hahn). Un aspect remarquable est qu'elles entretiennent un lien étroit avec la théorie des automates finis. Dans cet exposé, on s'intéressera à certaines questions arithmétiques liées à l'étude de telles fonctions, en soulignant notamment l'intérêt de considérer à la fois le cas d'un corps de base fini et le cas d'un corps de base infini.

Le 22 février 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Aurélien Galateau Besançon

Petits points des sous-variétés des variétés abéliennes

Cet exposé sera consacré à un théorème d'Ullmo et Zhang sur la répartition des points de petite hauteur dans les sous-variétés des variétés abéliennes. Il est possible d'en donner une version "effective" sous une conjecture de Serre, qui prédit la densité des premiers de réduction ordinaire d'une variété abélienne. Dans le cas des hypersurfaces, on obtient une borne inconditionnelle. Les preuves de ces deux résultats utilisent des estimations p-adiques sur les points des torsion des variétés abéliennes, combinées avec de l'approximation diophantienne.

Le 1er mars 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pierre Charollois Univ. Paris 6

Cocycles d'Eisenstein pour GL_n et fonctions L p-adiques

Nous définissons une version entière du cocycle de Sczech-Eisenstein pour GL_n(Z) en augmentant le niveau. Nous en déduisons une nouvelle construction des fonctions L p-adiques de Barsky/Cassou-Noguès/Deligne-Ribet. Cette approche cohomologique permet en outre d'étudier le terme principal des ces fonctions L en s=0 : 1) Nous obtenons une preuve directe que l'ordre d'annulation des fonction L en s=0 est au moins égal à celui prédit par la conjecture de Gross. Pour p>2, ce résultat était déjà connu comme conséquence des travaux de Wiles sur la conjecture principale d'Iwasawa. 2) La relation de cocycle et l'algorithme LLL nous permettent de calculer efficacement des valeurs spéciales de ces fonctions L p-adiques. Combinant ceci avec un raffinement de la conjecture Gross-Stark, nous obtenons des exemples numériques de construction de p-unités dans les corps de classes de corps (cubiques) totalement réels. (Travail en commun avec Samit Dasgupta (UCSC); un preprint est disponible à l'adresse http://arxiv.org/abs/1206.3050).

Le 8 mars 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Frédéric Paugam Univ. Paris 6

Déterminant, logarithme et invariants linéaires en géométrie analytique globale

On donnera un cahier des charges relativement précis pour une construction d'invariants linéaires associés aux variétés analytiques locales et globales. On utilisera les contraintes qu'il contient pour définir de nouveaux invariants, inspirés par une construction de Simpson en théorie de Hodge des variétés analytiques complexes.

Le 15 mars 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Vacances d'hiver ¤

Le 22 mars 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

David Lubicz Univ. Rennes 1

Algèbre linéaire sur Z_p[[u]] et application au calcul de réseaux dans..les représentations galoisiennes p-adiques (travail commun avec X. Caruso)

Soit $R$ un anneau de valuation complet et $S=R[[u]]$. Dans cet exposé, nous expliquons comment calculer efficacement les opérations habituelles telles que la somme ou l'intersection de sous-$S$-modules de $S^d$. Comme $S$ n'est pas principal, il n'est pas possible d'obtenir une borne uniforme sur le nombre de générateurs des modules resultant de ces opérations. Nous expliquons comment contourner ces problèmes, suivant une idée d'Iwasawa, en calculant une approximation du résultat de ces opérations à un quasi-isomorphisme près. Nous donnons une application au calcul de réseaux dans les représentations Galoisiennes $p$-adiques.

Le 29 mars 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabian Januszewski Univ.Karlsruhe

Fonctions L p-adiques pour GL(n) x GL(n-1)

Je discuterai la construction des fonctions $L$ $p$-adiques abéliennes pour des convolutions Rankin-Selberg des représentations automorphes cuspidales régulièrement algébriques (au sense de Clozel) de $GL(n)$ et $GL(n-1)$ et comment réduire l'existence des fonctions $L$ $p$-adiques non-abéliennes pour des familles à certaines propriétés de la cohomologie des groupes arithmétiques comme module sur l'algébre de Hecke $p$-ordinaire de Hida.

Le 5 avril 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christophe Ritzenthaler Univ. Aix-Marseille

Sur la distribution des traces des courbes de genre 3 sur les corps finis

A une variété abélienne principalement polarisée de trace $t$ sur $F_q$ et qui est géométriquement la jacobienne d'une courbe non-hyperelliptique, on peut associer une courbe sur $F_q$ de trace $t$ ou (exclusif) de trace $-t$. Si on note \begin{center} $N_{q,g}(t)=\#\{$classes d'isomorphismes des courbes de genre $g$ et de trace $t$ sur $F_q\}$ \end{center} la différence $V_{q,g}(t)=N_{q,g}(t)-N_{q,g}(-t)$ quantifie le phénomène précédent. Je donnerai dans cet exposé les premières évidences qu'en genre 3, $V_{q,g}(t)$ semble être gouvernée par une fonction bien précise. Travail en commun avec Reynald Lercier, Florent Rovetta, Jeroen Sijsling et Ben Smith

Le 12 avril 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Daigle Univ. d'Ottawa

Les endomorphismes birationnels du plan affine

Soit $\mathbb{A}^2$ le plan affine sur un corps algébriquement clos (de caractéristique arbitraire). Soit $\mathrm{Bir}(\mathbb{A}^2)$ l'ensemble des morphismes birationnels $f : \mathbb{A}^2\to \mathbb{A}^2$, muni de l'opération ``$\circ$'' de composition des morphismes. Alors $\mathrm{Bir}(\mathbb{A}^2)$ est un mono"{\i}de dont le groupe des éléments inversibles est $\mathrm{Aut}(\mathbb{A}^2)$. L'étude de ces morphismes et de ce mono"{\i}de a d'ebuté dans les années 1970, dans le séminaire d'Abhyankar à l'Université Purdue. L'exposé donnera un aper\c{c}u des connaissances dans ce domaine ainsi que quelques résultats récents obtenus conjointement avec Pierrette Cassou-Noguès.

Le 19 avril 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lorenzo Ramero Univ. Lille

Une généralisation des anneaux perfectoïdes de Scholze

Je presenterai une généralisation des anneaux et espaces perfectoides introduits recemment par P.Scholze. Il s'agit d'un travail en cours, en collaboration avec O.Gabber.

Le 26 avril 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vinayak Vatsal UBC Vancouver

Modular Symbols associated to Eisenstein Series

Let $E$ and $f$ be an Eisenstein series and a cusp form, respectively, of the same weight $k\geq 2$ and of the same level $N$, both eigenfunctions of the Hecke operators, and both normalized so that $a_1 = 1$. The main result we prove is that when $E$ and $f$ are congruent mod a prime $\mathfrak{p}$ (which we take to be a prime of $\overline{Q}$ lying over a rational prime $p >2$), the algebraic parts of the special values $L(E,\chi ,j)$ and $L(f,\chi ,j)$ satisfy congruences mod the same prime. More explicitly, we prove that, under certain conditions, \[ \frac{\tau (\bar{\chi })L(f,\chi ,j)}{(2 \pi i)^{j-1}\Omega _f^{\text{sgn}(E)}} \equiv \frac{\tau (\bar{\chi })L(E,\chi ,j)}{(2 \pi i)^{j}\Omega _E} \pmod{\mathfrak{p}} \] where the sign of $E$ is $\pm 1$ depending on $E$, and $\Omega _f^{\text{sgn}(E)}$ is the corresponding canonical period for $f$. Also, $\chi $ is a primitive Dirichlet character of conductor $m$, $\tau (\bar{\chi })$ is a Gauss sum, and $j$ is an integer with $0< j< k$ such that $(-1)^{j-1}\cdot \chi(-1) = \text{sgn}(E)$. Finally, $\Omega _E$ is a $\mathfrak{p}$-adic unit which is independent of $\chi $ and $j$. This is a generalization of earlier results of Stevens and Vatsal for weight $k=2$. The main point is the construction of a modular symbol associated to an Eisenstein series.

Le 3 mai 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Carlo Gasbarri IRMA\, Strasbourg

Sur la conjecture de Vojta géométrique pour les surfaces dans des variétés abéliennes.

La conjecture de Vojta prevoit une inegalite' tres puissante entre l'hauteur canonique d'un point algebrique d'une variete' projective et son discriminant. Elle est largement ouverte meme dans le cas des corps des fonctions. Je decrirai l'etat d'avancement de cette conjecture dans le cas ou' la variete' est une surface lisse contenue dans une variete' abelienne (ceci sera un travail en commun avec D. Brotbeck)

Le 10 mai 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Vacances de printemps ¤

Le 17 mai 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriel Dospinescu ENS Lyon

Extensions de representations de de Rham et vecteurs localement algébriques...

Après une brève introduction au programme de Langlands p-adique, je vais expliquer une version infinitésimale d'un théorème de Colmez, qui répond à une question de Paskunas et qui a des applications à la conjecture de Breuil-Mézard. Etant donnée une représentation localement algébrique $\pi$ de $GL_2(Q_p)$ et une complétion unitaire topologiquement irréductible $\Pi$ de $\pi$, nous décrivons les déformations infinitésimales de $\Pi$ qui sont complétions unitaires de leurs vecteurs localement algébriques. Je vais essayer d'expliquer comment la théorie des $(\Phi,\Gamma)$ modules permet d'attaquer ce genre de question.

Le 24 mai 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vincent Sécherre UVSQ

Représentations modulo l de GL(n) sur un corps p-adique

La théorie des représentations lisses complexes de $GL(n)$ et de ses formes intérieures sur un corps $p$-adique est bien comprise. Lorsqu'on remplace le corps des nombres complexes par un corps algébriquement clos de caractéristique $l$ non nulle (supposée différente de $p$ dans cet exposé) plusieurs outils de la théorie complexe font défaut, un problème essentiel étant dû à l'existence de représentations cuspidales non supercuspidales. Dans la théorie modulaire, l'un des principaux outils est la théorie des types, qui analyse les représentations de $GL(n)$ par restriction à certains sous-groupes ouverts compacts. Je présenterai les résultats connus à ce jour issus de travaux en collaboration avec Alberto Minguez et avec Shaun Stevens (unicité du support supercuspidal, classifications des représentations irréductibles, construction des représentations cuspidales par induction compacte, involution de Zelevinski, décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses), ainsi que les problèmes à résoudre.

Le 31 mai 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Michel Emsalem Univ. Lille

Relèvement de sections le long de torseurs

Etant donné une courbe lisse $X\to Spec(k)$ de genre au moins $1$ sur un corps $k$ et un diviseur effectif étale $D \subseteq X$, la question se pose du relèvement de sections $s: Gal_k \to \pi_1(X)$ en sections $s : Gal_k \to \pi_1(U)$, où $U = X \setminus D$. Nous étudions dans ce travail le relèvement au quotient $\pi_1^{cc}(U)$ de $\pi_1 (U)$ introduit par Mochizuki, et considéré par ailleurs par Sa" \i di. Dans le cas où le corps de base est $\mathbb{Q}$, et $D$ est une union de paquets de torsion, nous montrons que toute section $s : Gal_k \to \pi_1(X)$ se relève effectivement en une section $s : Gal_k \to \pi_1^{cc}(U)$. Un des ingrédients de la preuve est une nouvelle interprétation de $\pi_1^{cc}(U)$ comme le groupe fondamental d'un torseur sous un certain tore $F_D \to X$, naturellement associé au diviseur $D$. Travail en commun avec N. Borne et J. Stix.

Le 7 juin 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Floric Tavares-Ribeiro Univ. de Caen

Résultats de pleine fidélité pour les représentations semi-stables

Soit $K$ un corps local d'inégales caractéristiques $0$ et $p$. On fixe une famille cohérente de racines $p^n$-ièmes d'une uniformisante de $K$ et on note $K_\pi$ l'extension qu'elles engendrent. Un théorème, conjecturé par Breuil et d'emontré en général par Kisin, dit que le foncteur restriction de la catégorie des représentations cristallines de $\operatorname{Gal}(\overline K/K)$ vers la catégorie des représentations de $\operatorname{Gal}(\overline K/K_\pi)$ est pleinement fidèle. On donnera une nouvelle d'emonstration de ce théorème et d'ecrira comment il s'étend aux représentations semi-stables. On construira aussi l'équi\-va\-lent de ce foncteur restriction dans la catégorie des $(\varphi, N)$-modules filtrés et montrera en particulier comment la classe de $\operatorname{Gal}(\overline K/K_\pi)$-isomorphie d'une repré\-sen\-ta\-tion semi-stable se lit sur son $(\varphi, N)$-module filtré. Si le temps le permet, on d'ecrira également dans le cas non ramifié une construction du module de Wach d'une représentation semi-stable dont le $(\varphi, N)$-module filtré satisfait la transversalité de Griffiths.

Le 14 juin 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Francesco Lemma Univ. Paris 7

Un (autre) système compatible pour la norme de classes de..cohomologie galoisienne pour GSp(4).

On présentera la construction d'un système de classes de cohomologie galoisienne compatibles pour la norme dans l'extension cyclotomique de $Q_p$ à valeurs dans la cohomologie étale p-adique de la variété de Shimura de $GSp(4)$. Ceci a des applications potentielles en théorie d'Iwasawa (fonctions $L$ p-adiques, systèmes d'Euler). Il s'agit de résultats obtenus dans un travail en cours avec Tadashi Ochiai.

Le 21 juin 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kazim Büyükboduk Istanbul

On CM main conjectures (ordinary and non-ordinary)

Ming-Lun Hsieh recently gave a proof of the CM main conjectures under the $p$-ordinary hypothesis of Katz in a wide variety of cases. His work builds on the prior work of Hida, Hida-Tilouine and Mainardi, all of which use variants of the Eisenstein ideal method. Using Hsieh's result and refining the \emph{rank r Euler systems} machinery, I will relate the (conjectural) Rubin-Stark elements to Katz' $p$-adic $L$-function. When the CM field in question is quadratic imaginary, this result has been proved by Yager. Should time permit, I will explain how to approach the more mysterious non-ordinary setting with our method as well as deduce applications towards the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for CM abelian varieties.

Le 28 juin 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Laurent Berger ENS Lyon

Théorie de Sen et vecteurs localement analytiques

Je rappellerai ce que dit la théorie de Sen dans le cas classique. Elle concerne des extensions galoisiennes de Q_p dont le groupe de Galois est un groupe de Lie p-adique de dimension 1. Ensuite, je proposerai une généralisation de cette théorie aux extensions dont le groupe de Galois est un groupe de Lie p-adique de dimension plus grande, et je donnerai des précisions dans le cas où cette extension est engendrée par les points de torsion d'un groupe de Lubin-Tate. C'est un travail en commun avec Pierre Colmez.

Le 13 septembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Henri Cohen Univ. Bordeaux 1

Calculs sur les fonctions L

Je vais exposer un certain nombre de méthodes pour "calculer" sur les fonctions L, en particulier celles de degré $\geq 3$. Je parlerai des différentes méthodes pour calculer efficacement leurs coefficients de Dirichlet, et j'introduirai les "motifs hypergéométriques", qui fournissent très facilement des fonctions L de degré supérieur. Je parlerai ensuite des méthodes analytiques: transformées de Mellin inverses, équations fonctionnelles approchées, formules explicites de Weil. Je terminerai par deux applications remarquables: la conjecture paramodulaire de Brumer--Kramer qui généralise très précisément aux surfaces abéliennes le théorème de modularité de Wiles, et les calculs extensifs de formes de Maass pour $SL_n(Z)$ pour $n=2$, $3$, et $4$ effectués par Farmer et al.

Le 20 septembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Shinichi Kobayashi Tohoku Univ.

The p-adic height pairing on abelian varieties at non-ordinary primes

In the 80's, P. Schneider constructed the p-adic height pairing on abelian varieties at ordinary primes by using the universal norm group. His construction plays an important role in the proof of the p-adic Gross-Zagier formula at ordinary primes by B. Perrin-Riou. We explain a generalization of Schneider's construction at non-ordinary primes and an application for the p-adic Gross-Zagier formula at non-ordinary primes.

Le 27 septembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Victor Abrashkin Durham Univ.

p-extensions of local fields with Galois groups of nilpotent class

Nilpotent Artin-Schreier theory allows to identify the Galois groups of extensions from the title with groups associated with Lie algebras via the Campbell-Hausdorff group law. Earlier the author applied this construction to describe the ramification subgroups in the characteristic p case. In this talk we discuss the case of local fields of mixed characteristic.

Le 4 octobre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Conférence Thue 150

Sans titre

Le 11 octobre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Osipov Steklov Math. Institute

Some aspects of possible two-dimensional Langlands correspondence

In 1993, M. Kapranov asked a question: what should be a possible generalization of Langlands correspondence for two-dimesional local fields and for two-dimensional arithmetic schemes. Recently, in 2012, A.N. Parshin made a direct image conjecture on the connection between abelian two-dimensional Langlands correspondence and the classical one-dimensional Langlands correspondence. This conjecture is connected also with the analytic behaviour of L-functions of curves defined over global fields. In my talk, following an idea of Kapranov, I will explain the abelian case of the local two-dimensional Langlands correspondence. I will speak about my recent results: how to extend the construction from the above local case to the case of a global ring of Parshin?Beilinson adeles of two-dimensional arithmetic schemes. I will prove non-commutative reciprocity laws on these schemes. These reciprocity laws correspond to unramified and tamely ramified extensions. I will also give the categorical construction of analogs of unramified principal series representations (for general linear groups over two-dimensional local fields) and describe its main properties.

Le 18 octobre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Paul Mercat Marseille

Développements beta-adiques

Dans un corps k, nous nous intéressons aux développements en base beta, c'est-à-dire aux éléments de k qui sont somme des a_i beta^i, i >= 0, pour a_i dans un ensemble fini C de chiffres. Nous allons voir que l'on peut décrire la combinatoire de ces développements grâce à des automates finis, à la condition que beta ne soit pas un nombre algébrique ayant un conjugué de module 1. Et réciproquement, si beta est un nombre algébrique ayant au moins un conjugué de module 1, alors on verra qu'il existe un ensemble de chiffres tel qu'un automate reconnaissant les égalités "somme des a_i beta^i = somme des b_i beta^i" est nécessairement infini. Dans le cas où k=R ou C, nous verrons comment ces automates (quand ils sont finis) permettent de calculer, de façon algorithmique, la valeur exacte de la dimension de Hausdorff de l'ensemble des nombres qui admettent un développement en base beta avec ensemble de chiffres une partie finie de Q(beta), pour 1/beta nombre de Pisot généralisé (c'est-à-dire un entier algébrique réel ou complexe de module strictement supérieur à 1, et qui est de module inférieur ou égal à 1 pour toutes les autres places de Q(beta)).

Le 25 octobre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Rencontre Arivaf

Sans titre

Le 1er novembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Vacances de la Toussaint ¤

Le 8 novembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alain Thiery Univ. Bordeaux 1

Bornes inférieures pour le nombre chromatique de l'espace euclidien

Le nombre chromatique mesurable de $R^n$ est le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour colorer $R^n$ de sorte que deux points à distance 1 soient de couleurs différentes et que chaque classe de couleur soit mesurable. Nous montrons, dans un travail avec C. Bachoc, que ce nombre est asymptotiquement supérieur à $1.262^n$, ce qui améliore légèrement les bornes précédentes.

Le 15 novembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Wieslawa Niziol ENS Lyon

On syntomic cohomology and p-adic regulators

I will present a construction of a well-behaved syntomic cohomology for varieties over local fields of mixed characteristic. I will show how one derives that the images of Soule's étale regulators are contained in the geometric Selmer groups. This is a joint work with Jan Nekovar.

Le 22 novembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lionel Fourquaux Univ. Rennes 1

Extensions de (phi, Gamma)-modules de rang 1 dans le cas Lubin-Tate

Je parlerai d'un travail en commun avec Bingyong Xie, sur les (phi, Gamma)-modules "triangulins" dans le cas Lubin-Tate. On peut définir une notion de (phi, Gamma)-module attaché à un groupe formel de Lubin-Tate, qui généralise les (phi, Gamma)-modules usuels (cyclotomiques). En étudiant les extensions de deux (phi, Gamma)-modules de rang 1, on voit appparaître des différences avec le cas cyclotomiques, et en particulier l'importance d'ajouter une condition d'analyticité si l'on veut arriver à des résultats de surconvergence.

Le 29 novembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lenny Taelman Univ. Leiden

Familles de courbes de genre un

Je discuterai quelques constructions de classes caractéristiques pour des familles de courbes de genre un, et le rapport avec la cohomologie du champ M_1.

Le 6 décembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vincent Pilloni ENS Lyon

Sur la conjecture de Fontaine-Mazur en poids nul

On démontrera que la plupart des représentations de Galois p-adiques, de dimension 2, impaires, des corps totalement réels qui sont peu ramifiées sont en fait des représentations d'image finie et proviennent de formes modulaires de poids 1. Travail avec B. Stroh.

Le 13 décembre 2013 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Ariyan Javanpeykar Mainz

On the Shafarevich conjecture for canonically polarized varieties

Faltings proved the arithmetic Shafarevich conjecture for (principally polarized) abelian varieties, and deduced the arithmetic Shafarevich conjecture for canonically polarized curves. It seems reasonable to suspect that analogous finiteness statements hold for canonically polarized varieties. Inspired by this philosophy, we will present an analogue of the Shafarevich conjecture for "certain" varieties of general type. Our methods rely on the theory of Néron models developed recently by Qing Liu and Jilong Tong.

Le 10 janvier 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marc Munsch Bordeaux

Moments des fonctions thêta

Pour $\displaystyle{\chi}$ un caractère de Dirichlet modulo $q$, on définit sa fonction thêta associée $$\theta(x,\chi):=\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-\frac{\pi n^2x}{q}}.$$ Elle intervient habituellement dans la preuve de l'équation fonctionnelle de $\displaystyle{L(s,\chi)}$. Le calcul de l'asymptotique des moments des fonctions $L$ est un problème classique de théorie analytique des nombres étudié notamment afin de montrer que $\displaystyle{L(1/2,\chi)eq 0}$ pour "beaucoup" de caractères. Il est conjecturé de façon analogue que $\displaystyle{\theta(1,\chi)eq 0}$. De rares contre-exemples ont été découverts par H. Cohen et D. Zagier mais la conjecture reste ouverte dans le cas d'un module premier. On étudie les moments des fonctions thêta dans deux familles de caractères : \begin{enumerate} \item Les caractères modulo $p$ un nombre premier. \item Les caractères réels primitifs de conducteur $\displaystyle{0 < D \leq X}$. \end{enumerate} Cela nous permet d'en déduire des résultats de non-annulation pour la fonction thêta allant dans le sens de la conjecture.

Le 17 janvier 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Giovanni Rosso Paris 13

Dérivée de la fonction L p-adique du carré symétrique d'une forme modulaire par formules de pullback

Soit $f$ une forme modulaire de poids $2k$ et Steinberg en $p$. Sous certaines hypothèses sur le conducteur de $f$, on donne une formule pour la d'erivée en $s=2k-1$ de la fonction $L$ $p$-adique pour le carré symétrique de $f$, d'emontrant ainsi une conjecture de Benois. Crucial pour la d'emonstration est la fonction $L$ $p$-adique de B"ocherer et Schmidt, dont on rappellera la construction.

Le 24 janvier 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jia-Yan Yao Tsinghua Univ.

Automates finis et applications

Dans cet exposé, nous allons donner diverses applications des automates finis dans l'étude de la transcendance en caractéristique finie, des systèmes dynamiques p-adiques, et de la transmission de l'information.

Le 31 janvier 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sara Checcoli Grenoble

Sur certaines intersections atypiques

Soit G un tore ou une variété abélienne et soit V une sous-variété propre de G. Une question centrale en géométrie diophantienne c'est de comprendre quand une condition géométrique sur V est équivalente à la non-densité de certains sous-ensembles 'spéciaux' de V. Les conjectures de Manin-Mumford, Mordell-Lang et Zilber-Pink sont de cette nature. Bombieri, Masser et Zannier ont donné, dans le cas torique, une nouvelle approche à ce type de problèmes. En particulier, ils ont introduit la notion d'intersection V-atypique en torsion (torsion anomalous): c'est une intersection, de dimension plus grande que prévue, entre V et un translaté d'un sous-groupe par un point de torsion. Ils formulent des conjectures de non-densité et de finitude pour ce type d'intersections. Après une introduction sur le sujet, je présenterai des résultats dans ce contexte obtenus avec F. Veneziano et E. Viada quand G est un produit de courbes elliptiques à multiplication complexe.

Le 7 février 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eric Gaudron Clermont-Ferrand

Minima adéliques

Le langage des espaces adéliques rigides ouvre la voie à de nouvelles questions qui ne se posaient pas auparavant dans le cadre de la géométrie des nombres classique. Il donne naissance à une géométrie des nombres originale, dans laquelle coexistent différents types de minima successifs. Dans un travail en collaboration avec Gaël Rémond, nous étudions de manière systématique plusieurs de ces minima. Nous présenterons certains des résultats obtenus en axant l'exposé sur les notions de corps de Siegel et corps de Zhang pour lesquels des avatars du premier théorème de Minkowski restent vrais.

Le 13 février 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sans titre

Le 14 février 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Valentina Di Proietto Strasbourg

Sur la suite exacte d'homotopie pour le groupe fondamental de de Rham logarithmique

\begin{center} \Large\textbf{Sur la suite exacte d'homotopie pour le groupe fondamental de de Rham logarithmique}\ \end{center} \bigskip \begin{center} \Large{Valentina Di Proietto} \end{center} \bigskip Soit $K$ un corps de caractéristique $0$ et soit $X^{\times}$ une log-variété quasi projective à croisements normaux sur le log-point $K^{\times}$. Dans cet exposé nous construisons une version de Rham logarithmique de la suite d'homotopie, à savoir \[ \begin{equation*} \pi^{\mathrm{dR}}_1(X^{\times}/K^{\times})\rightarrow \pi^{\mathrm{dR}}_1(X^{\times}/K)\rightarrow \pi^{\mathrm{dR}}_1(K^{\times}/K)\rightarrow 0. \end{equation*} \] et démontrons qu'elle est exacte. En plus nous étudions l'injectivité de la première flèche pour certains quotients des groupes. Nos démonstrations sont complètement algébriques. Il s'agit d'un travail en commun avec Atsushi Shiho.

Le 21 février 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicolas Ratazzi Univ. Paris 11

Borne sur la torsion dans les variétés abéliennes de type I

Une variété abélienne étant fixée sur un corps de nombres K_0, je m'intéresserai au lien entre le cardinal des points de torsion K-rationnels et le degré de K sur Q pour K variant dans les extensions finies de K_0. Je m'intéresserai spécifiquement au cas des variétés abéliennes de type GSp (par exemple de dimension impaire et d'anneau d'endomorphisme Z) et plus généralement au cas de produit de telles variétés ainsi qu'au cas des variétés de type I de dimension impaire, qui semblent se comporter, pour notre problématique, comme des produits de variétés de type GSp. Il s'agit de travaux en commun avec M. Hindry.

Le 28 février 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Vacances d'hiver ¤

Le 7 mars 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marco Antei Nice

Sur l'extension de torseurs

Dans cet exposé on présentera le problème de l'extension des torseurs en rappelant les premières intuitions de Grothendieck pour arriver jusqu'aux résultats les plus récents : soit donc $X$ un schéma défini sur un anneau de valuation discrète et $Y$ un $G$-torseur au dessus de la fibre générique $X_{\eta}$ de $X$. On se demande si on sait trouver un $G'$-torseur $Y'\to X$ génériquement isomorphe à $Y\to X_{\eta}$ . Un nouveau point de vue sera présenté.

Le 14 mars 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florian Ivorra Rennes

Foncteurs à réciprocité et les K-groupes associés

\begin{center} \Large\textbf{Foncteurs à réciprocité et les $K$-groupes associés} \ \end{center} \bigskip Une notion de foncteurs à réciprocité a été introduite en 1991 par B. Kahn suite aux généralisations de la $K$-théorie de Milnor développées par M. Somekawa pour les groupes algébriques commutatifs. Le but de B. Kahn était de s'inspirer des symboles locaux pour les groupes algébriques commutatifs lisses, construits par M. Rosenlicht et J.-P. Serre, et des lois de réciprocité qu'ils satisfont, pour développer une théorie contenant à la fois les groupes algébriques commutatifs lisses et les faisceaux invariants par homotopie avec transferts de V. Voevodsky. Soit $k$ un corps parfait. Dans cet exposé, nous introduisons les foncteurs à réciprocité, vu comme des foncteurs définis sur les extensions de type fini de $k$ et les courbes régulières sur de telles extensions, et prolongeons les travaux initiaux de B. Kahn pour ces foncteurs en associant à une famille finie de foncteurs à réciprocité un "produit tensoriel", nouveau foncteur à réciprocité dont la valeur en $k$ généralise les groupes de $K$-théorie introduits par Somekawa et les variantes de Raskind-Spiess et Akhtar. Les groupes algébriques commutatifs, les faisceaux Nisnevich avec transferts invariants par homotopie, les modules de cycles ou les différentielles de Kähler fournissent des exemples particuliers de foncteurs à réciprocité et nous calculons les "produits tensoriels" associés à un certain nombre de ces exemples et faisons le lien avec les constructions antérieures. Tout comme les groupes algébriques, les foncteurs à réciprocité sont munis de symboles satisfaisant une loi de réciprocité pour les courbes.

Le 21 mars 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jacques Tilouine Paris 13

Grosse image de representations galoisiennes et idéaux de congruence

Dans un travail avec H. Hida, nous montrons le lien entre le plus grand groupe de congruence contenu dans l'image d'une représentation galoisienne associée à une famille de Hida et certains idéaux de congruence.

Le 28 mars 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Laura Capuano Pisa

An example of Unlikely Intersections in the Multiplicative Group

In this seminar we present an alternative proof of a theorem of Bombieri, Masser and Zannier of 1999 about intersecting a curve in the multiplicative group of dimension n with all the algebraic subgroups of of dimension n-2. To do that, we use a method introduced for the first time in 2008 by Pila and Zannier to give a new proof of Manin-Mumford conjecture. This method has been used afterwards to prove other cases of Unlikely Intersections problems in many different contexts. The novelty of the proof is the use of a theorem, due to Pila, about counting rational points of bounded height over Grassmannians. This can be applied also to prove other cases of Unlikely Intersections in different contexts.

Le 4 avril 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Rafael von Känel IHES

Modularity and integral points on moduli schemes

In this talk we discuss some new Diophantine applications of modularity results. In the first part, we discuss a refinement of the Arakelov-Faltings-Parshin method for moduli schemes of elliptic curves. We also provide some motivation. In particular, we work out explicitly the method for certain moduli schemes to improve the actual best height bounds for Mordell equations. In the second part, we discuss an e ffective Shafarevich conjecture for abelian varieties of (product) GL2-type.

Le 11 avril 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lei Zhang Berlin

Galois theory for schemes

In this talk we will first briefly recall Grothendieck's etale fundamental group which was constructed in SGA1, then we will introduce Nori's generalization of the etale fundamental group for proper varieties via the language of essentially finite vector bundles. Next, we will introduce Nori's second idea on how to remove the properness assumption. But we will not completely follow Nori's second idea, instead, we will slightly generalize it and discuss some kind of Galois theory coming out of it.

Le 18 avril 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Guillermo Mantilla EPFL

Weak Arithmetic equivalence

Inspired by the invariant of a number field given by its Dedekind zeta function we define the notion of weak arithmetic equivalence, and we show that under certain ramification hypothesis this equivalence determines the local root numbers of the number field. This is analogous to a result Rohrlich on the local root numbers of a rational elliptic curve. Additionally we prove that for tame non-totally real number fields the integral trace form is invariant under weak arithmetic equivalence.

Le 25 avril 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

¤ Vacances de printemps ¤

Le 2 mai 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

relâche

Le 9 mai 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

relâche

Le 23 mai 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Filippo Nuccio Saint-Étienne

Application de Coleman en familles de Coleman

Au début des années '90 Perrin-Riou generalise une idée de Coleman et construit une application qui interpole les exponentielles de Bloch-Kato d'une représentation cristalline le long de la Z_p-extension cyclotomique d'un corps p-adique. L'intérêt d'une telle interpolation provient de la théorie d'Iwasawa: tout comme les exponentielles de Bloch-Kato relient le module cristallin de la représentation à sa cohomologie galoisienne et permettent de lire dans cette dernière certaines valeurs spéciales de fonctions L, l'exponentielle de Perrin-Riou aide à construire une fonction L p-adique à partir d'un système d'Euler de classes de cohomologie. Dans ce travail commun avec T. Ochiai on étend l'exponentielle de Coleman - Perrin-Riou aux familles de Coleman de formes modulaires p-adiques de pente finie.

Le 30 mai 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Hendrik Verhoek Bielefeld

Curves and displays for p-divisible groups

A quick overview will be given of some well-known Dieudonné theories for $p$-divisible groups.Then we reinterpret these theories in terms of Cartier's theory of curves and Zink's theory of displays.

Le 6 juin 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fedor Pakovich Ben Gurion Univ.

Minimum Degree of the Difference of Two Polynomials over Q and "Dessins d'enfants"

In 1965, Birch, Chowla, Hall, and Schinzel posed a problem about the possible minimum degree of the difference $R=A^3-B^2,$ where $A$ and $B$ are two coprime polynomials with complex coefficients. The above problem was generalized by Zannier in 1995 as follows: let $P$ and $Q$ be two coprime polynomials of degree $n$ having the following factorization patterns: $$ P(x)=\prod_{i=1}^p(x-a_i)^{\alpha_i},\ \ \ \ Q(x)=\prod_{j=1}^q(x-b_j)^{\beta_j}. $$ In this expressions the multiplicities $\alpha_i$ and $\beta_j$ are given, while the roots $a_i$ and $b_j$ are not fixed, though they must all be distinct. The problem is to find the minimum possible degree of the difference $R=P-Q.$ Zannier proved that $$ \deg R\geq (n+1)-(p+q), $$ and this bound is always attained. The triples $(P,Q,R)$ for which this bound is attained are called Davenport--Zannier triples. Davenport--Zannier triples defined over $\mathbb{Q}$ are the most interesting ones since by specializing $x$ to a rational value one may obtain an important information concerning differences of integers with given factorization patterns. In the talk based on a recent joint paper with A. Zvonkin we relate the problem of description of Davenport--Zannier triples defined over $\Q$ with the Grothendieck theory of "Dessins d'enfants" and present a method which permits to produce "most" of such triples.

Le 13 juin 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Colloque jeunes chercheurs en théorie des nombres

Un analogue linéaire du théeorème de Vosper, avec un détour par les codes de formes quadratiques.

Travail commun avec Oriol Serra et Gilles Zemor. En théorie additive des nombres, le théorème de Vosper est un résultat classique qui d'ecrit la structure des sous-ensembles de $\mathbb{Z}/pmathbb{Z}$, $p$ premier, de plus petite somme. Nous discuterons un analogue linéaire de cet énoncé, ou les sous-ensembles de $mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ sont remplacés par les sous-espaces vectoriels d'une extension de corps L/F de degré premier, et le cardinal est remplacé par la dimension. Nous présenterons une preuve dans le cas ou $L/F$ est une extension de corps fini, dans laquelle une étape essentielle consiste à montrer la non existence d'un 'grand' ensemble de formes quadratiques de 'poids' $3$.

Le 13 juin 2014 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Ted Chinburg Univ. of Pennsylvania

Iwasawa theory past and present (Salle 1)

Classical Iwasawa theory has to do with the rate of growth of ideal class groups in towers of number fields. In this talk I'll survey some of the history of the subject. This includes various Main Conjectures which link the above growth rates to analytically defined invariants such as p-adic L-series. By the end of the talk I'll describe how previous Main Conjectures are about first Chern classes. The theory of higher Chern classes suggests a new direction for the subject.

Le 26 septembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Christine Bachoc IMB

Un analogue linéaire du théorème de Vosper, avec un détour par les codes de formes quadratiques

Travail commun avec Oriol Serra et Gilles Zemor. En théorie additive des nombres, le théorème de Vosper est un résultat classique qui d'ecrit la structure des sous-ensembles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, p premier, de plus petite somme. Nous discuterons un analogue linéaire de cet énoncé, ou les sous-ensembles de $mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont remplacés par les sous-espaces vectoriels d'une extension de corps $L/F$ de degré premier, et le cardinal est remplacé par la dimension. Nous présenterons une preuve dans le cas ou $L/F$ est une extension de corps fini, dans laquelle une étape essentielle consiste à montrer la non existence d'un 'grand' ensemble de formes quadratiques de 'poids' 3.

Le 3 octobre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Baptiste Morin IMB

Cohomologie Weil-étale

L'un des buts de la cohomologie Weil-étale est de fournir une description conjecturale des valeurs spéciales des fonctions zêta des schémas arithmétiques. On présentera certains résultats qui permettent de donner une telle description dans le cas des schémas réguliers et propres sur $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. On s'intéressera d'abord au valeurs spéciales en $s=0$, puis en $s=n$ pour tout entier $n$. On donnera ensuite quelques exemples. Enfin, on essaiera de préciser le lien existant entre la cohomologie Weil-étale et la cohomologie conjecturale de Deninger. C'est un travail en commun avec Matthias Flach.

Le 10 octobre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Philippe Cassou-Noguès IMB

Invariants cohomologiques de formes quadratiques et périodes

En 1984 J.-P. Serre a donné une expression de l'invariant de Hasse-Witt de la forme trace d'une extension finie et séparable de corps. Cette formule, généralisée par plusieurs auteurs, s'interprète comme une formule de comparaison entre invariants de Hasse-Witt d'une forme quadratique et de certains de ses "twists". Dans une première partie nous donnerons une formule de comparaison universelle dont se d'eduisent la plupart des formules de comparaison connues. Il s'agit d'un travail en collaboration avec T. Chinburg, B. Morin et M.J. Taylor. La seconde partie est un travail en collaboration avec B. Morin. Nous y montrerons comment l'utilisation des motifs de Nori fait apparaître l'algèbre des périodes de Kontsevich et Zagier dans certaines de ces formules de comparaison. Nous donnerons quelques applications de ce résultat.

Le 17 octobre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lukas Pottmeyer Darmstadt

Heights and totally p-adic numbers

Abstract: We will study the behaviour of canonical height functions associated to rational functions on totally p-adic fields. For each prime p, including p$=\infty$, we will classify all rational functions $f$ such that there is a positive constant $c$ with the property that the associated canonical height $\widehat{h}_f$ on the maximal totally p-adic field admits only finitely many values less than $c$. This might be seen as a dynamical version of results of Schinzel and Bombieri and Zannier.

Le 24 octobre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dimitar Jetchev EPFL\, Lausanne

Euler systems from special cycles on unitary Shimura varieties and arithmetic applications

We construct a new Euler system from a collection of special 1-cycles on certain Shimura 3-folds associated to U(2,1) x U(1,1) and appearing in the context of the Gan--Gross--Prasad conjectures. We study and compare the action of the Hecke algebra and the Galois group on these cycles via distribution relations and congruence relations obtain adelically using Bruhat--Tits theory for the corresponding buildings. If time permits, we explain some potential arithmetic applications in the context of Selmer groups and the Bloch--Kato conjectures for Galois representations associated to automorphic forms on unitary groups.

Le 31 octobre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

**** Vacances de la Toussaint ****

Le 7 novembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Conférence Arivaf

Le 14 novembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Xavier Caruso Rennes

Espaces de déformations galoisiennes et variétés de Kisin.

Les espaces de d'eformations galoisiennes jouent un rôle central dans la résolution de nombreuses questions de géométrie arithmétique (en lien, notamment, avec les théorèmes de modularité qui entrent dans la lignée directe des travaux de Wiles). Cependant, hormis dans certains cas particuliers, il est généralement très difficile de d'eterminer explicitement ces espaces de d'eformations. Dans cet exposé, j'expliquerai une méthode, largement inspirée des travaux de Kisin, pour calculer les espaces de d'eformations qui paramètrent certaines classes de représentations p-adiques du groupe de Galois absolu de $\mathbb Q_{p^f}$ qui sont \og modérément potentiellement Barsotti--Tate \fg. Celle-ci fait intervenir la géométrie d'une variété annexe, appelée variété de Kisin, qui semble encoder l'essentiel de l'information et que nous d'etermirons complètement. Il s'agit d'un travail avec Agnès David et Ariane Mézard.

Le 21 novembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Javier Fresán ETH\, Zurich

Sur la formule du produit pour les connexions et les faisceaux l-adiques

Des formules classiques relient les valeurs beta et gamma ou les sommes de Gauss et Jacobi. Il s'agit des premiers exemples d'une formule du produit, due à Saito et Terasoma, pour le d'eterminant des périodes de connexions à singularités régulières ou l'action du Frobenius sur la cohomologie des faisceaux l-adiques à ramification modérée. Je discuterai quelques applications de ce résultat, principalement à une conjecture de Gross et Deligne exprimant les périodes des structures de Hodge à multiplication complexe en termes de valeurs spéciales de la fonction gamma. Si le temps le permet, j'expliquerai aussi quelques petits progrès pour les connexions à singularités irrégulières, où seulement des analogues partiels de la formule du produit sont connus.

Le 28 novembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eduardo Tengan ICMC\, Sao Paulo

Exotic division algebras over Q_p(t)

in the first part of the talk, of elementary nature, we review some problems that are of interest to division algebra specialists, among which the constructions of the so-called indecomposable and non-crossed products division algebras (the two exotic specimens alluded in the title). Next, we outline their constructions over $Q_p(t)$ (and finite extensions thereof), focusing on indecomposable ones; this is joint work with K. McKinnie and E. Brussel.

Le 5 décembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Benjamin Matschke MPIM\, Bonn

Solving S-unit and Mordell equations via Shimura-Taniyama conjecture

We present two types of algorithms that practically solve S-unit and Mordell equations. The first type builds on Cremona's algorithm, and the second one combines explicit height bounds with enumeration algorithms. In particular we refine de Weger's sieve for S-unit equations and solve a large class of such. Additionally our new results on Mordell's equation implies an improved version of a theorem of Coates on the difference of coprime squares and cubes. Our results and algorithms crucially rely on a method of Faltings (Arakelov, Parsin, Szpiro) combined with the Shimura-Taniyama conjecture, and they do not use the theory of logarithmic forms.

Le 11 décembre 2014 à 11:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Ted Chinburg Univ. of Penn.

Negative curves on surfaces..

The negative curve conjecture states that there is lower bound depending on a given complex projective surface $S$ for the self intersection of an effective curve $C$ on $S$. In this talk I will survey some recent work on this conjecture. By the end of the talk I will describe some work with M. Stover which shows that there is a universal constant t with the following property. The number of $C$ on $S$ having $C^2 <0$ and arithmetic genus less than $b_1(S)/4$ is bounded by $t^{r(S)-1}$, when $b_1(S)$ is the first Betti number of $S$ and $r(S)$ is the rank of the Neron Severi group of $S$.

Le 12 décembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sachio Ohkawa Rennes

On the Azumaya algebra structure of the sheaf of log differential operators of higher level in positive characteristic...

In this talk, we explain the Azumaya algebra structure of the sheaf of log differential operators of higher level in prime characteristic. We also discuss about a splitting module of it under a certain liftability assumption modulo $p^{2}$. As a consequence, we obtain a Simpson type equivalence of categories in positive characteristic. Our result can be regarded as a generalization of the result of Ogus-Vologodsky and Gros-Le Stum-Quiros to the case of log schemes and that of Schepler to the case of higher level.

Le 19 décembre 2014 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabio Tonini Berlin

Stacks of ramified Galois cover

We introduce the notion of Galois cover for a finite group $G$ and discuss the problems of constructing them and of the geometry of the stack $G$-Cov they form. When $G$ is abelian, we describe certain families of $G$-covers in terms of combinatorial data associated with $G$. In the general case, we present a correspondence between $G$-covers and particular monoidal functors and study the problem of Galois covers of normal varieties whose total space is normal.

Le 9 janvier 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emmanuel Hallouin Toulouse

Bornes de Weil généralisées pour le nombre de points d'une courbe projective lisse définie sur un corps fini...

Je commencerai par rappeler l'esprit de la preuve initiale de Weil pour la majoration du nombre de points d'une courbe projective lisse d'efinie sur un corps fini. En particulier, j'insisterai sur le fait qu'elle d'ecoule de contraintes euclidiennes dans un espace euclidien bien choisi. Ensuite je montrerai comment cette borne de Weil peut être vue comme la borne d'ordre 1 d'une classe de bornes de Weil généralis'ees d'ordre n pour n entier strictement positif. Avec ce point de vue, la borne de Weil généralisée d'ordre 2 n'est rien d'autre que la borne d'Ihara. Quant aux bornes d'ordres supérieurs, elles étaient, a priori, inconnues sous cette forme. C'est un travail en collaboration avec Marc Perret.

Le 16 janvier 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Denis Benois

Sur la théorie d'Iwasawa des répresentation p-adiques

Le but de cet exposé est de formuler la Conjecture Principale de la théorie d'Iwasawa pour une large classe de représentations p-adiques.

Le 23 janvier 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Jean Gillibert Toulouse

Groupes de Picard et groupes de classes

Etant donnés une variété projective lisse V définie sur Q et un point de V défini sur un corps de nombres K, il existe une façon naïve de spécialiser le groupe de Picard de V dans le groupe des classes de K. En particulier on peut contrôler la façon dont la torsion se spécialise, ce qui fournit un angle d'attaque pour construire des corps de nombres dont le groupe de classes a un grand p-rang. Nous passons en revue plusieurs incarnations de ce phénomène, puis nous évoquons un travail en cours avec Yuri Bilu.

Le 30 janvier 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Daniel Fiorilli University of Ottawa

Chebyshev's bias for elliptic curves over function fields.

Since Chebyshev's observation that there seems to be more primes of the form 4n+3 than of the form 4n+1, many other types of 'arithmetical biases' have been found. As was observed by Mazur and explained by Sarnak, such a bias appears in the count of points on reductions of a fixed elliptic curve E, and is created by the analytic rank. In this talk we will discuss the analogous question for elliptic curves over function fields. We will first discuss the occurrence of extreme biases, which originate from very different source than in the number field case. Secondly, we will discuss what happens to a 'typical curve', and discuss results of linear independence of the zeros of the associated L-functions. This is joint work with Byungchul Cha and Florent Jouve.

Le 5 février 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kazim Buyukboduk

Universal Kolyvagin systems

In this talk I shall explain how the Kolyvagin systems associated to Beilinson-Kato elements for elliptic modular forms interpolate in the full deformation space (in particular, beyond the nearly-ordinary locus) and give rise to what I call a "universal Kolyvagin system". Along the way, I will indicate how we utilize these objects in order to define a quasicoherent sheaf on the Coleman-Mazur eigencurve that behaves like a p-adic L-function (in a certain sense of the word, in 3-variables). The universal Kolyvagin systems may be utilized so as to attempt a main conjecture over the eigencurve, which I will also talk about should time permit.

Le 6 février 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stephen Lichtenbaum Brown University

Euler Characteristics and Special Values of Zeta-Functions

Le 13 février 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Philippe Lebacque Université de Franche-Comté

Propriétés asymptotiques des corps globaux

Il y a quelques années, Alexander Schmidt a donné un critère pour qu'un pro-$p$-groupe soit mild au sens de John Labute et introduit la propriété $K(\pi,1)$ afin d'obtenir des pro-$p$-groupes $G_S^T(K)(p)$ de dimension cohomologique égale à $2.$ Dans notre exposé, nous montrerons comment ces résultats interviennent dans la théorie asymptotique des corps globaux initiée par Ihara, Tsfasman et Vladuts, puis nous les adapterons à d'autres contextes arithmétiques. Les résultats que nous présenterons sont pour certains obtenus avec Schmidt et pour d'autres avec Blondeau et Maire.

Le 20 février 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Bruno Winckler

Problème de Lehmer et intersection arithmétique

J'exposerai un travail en cours, concernant la recherche de bornes inférieures uniformes sur la hauteur canonique des points algébriques d'ordre infini, dans le cas des courbes elliptiques à multiplications complexes, avec la conjecture de Lehmer en ligne de mire. J'espère expliciter et raffiner un résultat connu, dû à Laurent, en évitant le recours à la hauteur naïve via la théorie de l'intersection d'Arakelov: un résultat de Faltings et Hriljac permet en effet de relier la hauteur canonique sur une courbe elliptique à un certain calcul d'intersection sur son modèle minimal régulier. Ce calcul nécessite des estimations explicites de sommes indexées par des nombres premiers bien choisis, qu'on peut obtenir grâce à une version explicite du théorème de Chebotarev. Je montrerai dans les grandes lignes comment obtenir une telle version.

Le 27 février 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

**** Vacances d'Hiver ****

Le 6 mars 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jyoti Prakash Saha Paris 11

Variation of local automorphic data in p-adic families

I will discuss the variation of local automorphic data associated to the classical points of Hida's ordinary family of modular forms and explain its generalization to p-adic families. This has applications in the construction of algebraic p-adic L-functions.

Le 13 mars 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marco Maculan Jussieu

Théorie Géométrique des Invariants et Théorème de Roth

Le théorème de Roth affirme que, étant donné un nombre algébrique, il n'existe qu'un nombre fini de nombres rationnels qui l'approchent bien (en un sens convenable). La preuve originelle de Roth de ce résultat repose sur les travaux de Thue (1909) et, tandis que les étapes intermédiaires aient été l'objet d'améliorations considérables, la stratégie générale est resté telle quelle. Dans cet exposé on montrera comment il est possible d'employer la théorie géométrique des invariants (GIT) pour démontrer le théorème de Roth. Ce dernier se déduira en appliquant une formule générale pour la hauteur des points semi-stables à un couple de sous-espaces dans un produit de grassmaniennes.

Le 20 mars 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Takeshi Saito Univ. of Tokyo

The characteristic cycle and the singular support of an etale sheaf

We define the characteristic cycle of an etale sheaf on a smooth variety of arbitrary dimension in positive characteristic assuming the existence of singular support satisfying certain local acyclicity conditions. It satisfies a Milnor formula for vanishing cycles and an index formula for the Euler-Poincare characteristic.

Le 27 mars 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Damian Brotbek IRMA

Formes différentielles symétriques explicites sur les variétés intersection complète

Dans cet exposé nous étudierons l'espace des formes différentielles symétriques holomorphes sur une variété intersection complète dans un espace projectif. Par des méthodes cohomologiques, nous donnerons une description explicite de cet espace en fonction des équations de la variété intersection complète que l'on considère. La principale application de ce travail est la construction de variétés à fibré cotangent ample, nous permettant de donner de nouveaux résultats en direction d'une conjecture d'Olivier Debarre.

Le 3 avril 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

François Legrand Tel Aviv Univ. et The Open Univ. of Israel

Extensions galoisiennes paramétriques

Etant donnés un groupe fini $G$ et un corps de nombres $k$, l'exposé portera sur les extensions paramétriques, i.e. sur les extensions régulières galoisiennes $E/k(T)$ de groupe $G$ réalisant toutes les extensions galoisiennes de $k$ de groupe $G$ par spécialisation. Bien que l'on puisse penser qu'il existe peu d'extensions paramétriques, démontrer qu'une extension régulière galoisienne $E/k(T)$ de groupe $G$ n'est pas paramétrique est en général difficile et peu d'exemples sont connus. Dans un premier temps, on expliquera le lien entre extensions paramétriques et certaines notions classiques de la théorie inverse de Galois : problème inverse de Galois et sa forme régulière, problème de Beckmann-Black... Dans un second temps, on présentera une méthode générale permettant de montrer que davantage d'extensions régulières galoisiennes $E/k(T)$ de groupe $G$ ne sont pas paramétriques. La stratégie reposera sur une étude approfondie du comportement local des spécialisations de $E/k(T)$.

Le 10 avril 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Guillaume Maurin IMJ

Intersections singulières de sous-groupes et de sous-variétés..

Motivés par des questions topologiques, nous présentons plusieurs problèmes sur les intersections singulières de sous-groupes algébriques et de sous-variétés dans les tores multiplicatifs. Ces questions sont étroitement liées aux conjectures de Zilber-Pink. L'heuristique est que, dans certains cas de ces conjectures, la singularité des intersections peut compenser une décrémentation de la codimension des sous-groupes considérés. Il s'agit d'un travail en commun avec J. Marché.

Le 17 avril 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Griff Elder Univ. Exeter

From scaffolds for local Galois module structure to Hopf orders in group rings..

The structure of the ring of integers over its associated order in a Galois extension of local fields is an old, difficult (even intractable?) question. But given a Galois scaffold, this question in totally ramified $p$-extensions of local fields is no more difficult a problem than when the extension has degree $p$. To understand the definition of a Galois scaffold we, interestingly enough, need to leave the setting of Galois extensions, even separable extensions. For it turns out that scaffolds arise more naturally (most naturally?) in the setting of purely inseparable extensions with the divided power Hopf algebra taking the role classically played by the group algebra. I will describe the status of scaffolds, based upon joint work with Nigel Byott and Lindsay Childs. I will then use scaffolds to produce Hopf orders in group algebras. Recall that Hopf orders have provided another approach to simplify Galois module theory, namely by "taming wild ramification". I will close with a family of Hopf orders in the elementary abelian group algebra $KC_p^n$ that conjecturally comprises the complete classification.

Le 23 avril 2015 à 10:45

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Piermarco Milione Univ. de Barcelona

Domaines fondamentaux pour l'uniformisation p-adique des courbes de Shimura

Dans cet exposé nous rappellerons d'abord la théorie de Cerednik et de Drinfel'd sur l'uniformisation $p$-adique des courbes de Shimura. Cela permet d'exprimer l'analytification non-archimédienne des courbes de Shimura comme un quotient du demi-plan $p$-adic ${H}_{p}$ pour l'action de certains sous-groupes discrets de ${PGL}_{2}({Q}_{p})$. Une fois fixées les idées fondamentales de cette théorie, nous montrerons une méthode qui permet de ''dessiner'' des domaines fondamentaux pour l'uniformisation $p$-adique des courbes de Shimura de discriminant $3p$ (ou $p $ congruent $1$ modulo $4$) et de certains recouvrements à la Mumford de ces courbes. Cette méthode nous permettra, entre autre, de connaître le graphe dual de différentes réductions modulo $p$ des courbes considérées. Pour montrer ceci, nous étudierons l'arithmétique dans un ordre maximal de l'algèbre de quaternions sur ${Q}$, qui est déployée à l'infini et de discriminant $3$. Il s'agit d'un travail en cours, en commun avec Laia Amorós.

Le 1er mai 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

**** Vacances de Printemps ****

Sans titre

Le 8 mai 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

**** 8 Mai ****

Sans titre

Le 15 mai 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

****Pas d'exposé****

Sans titre

Le 22 mai 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sergey Gorchinskiy Steklov Mathematical Institute\, Moscow

Symbole de Contou-Carrère supérieur

L'exposé se base sur un travail commun avec D. Osipov. Je definirai une extension en dimension supérieure du symbole de Contou-Carrère. Ce dernier vérifie une propriété universelle et est donné par une formule explicite. Je parlerai également d'un resultat connexe sur l'espace tangent aux K-groupes de Milnor.

Le 26 mai 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Daigle Univ. Ottawa

Polynômes génériquement rationnels et généralement rationnels.

On dit qu'un morphisme F: $ \mathbb{A}^2 --> \mathbb{A}^1$ (du plan affine vers la droite affine) est "génériquement rationnel" si la fibre de F au-dessus du point générique de $\mathbb{A}^1$ est une courbe rationnelle, et qu'il est "généralement rationnel" si, pour presque tous les points fermés $P$ de $\mathbb{A}^1$, la fibre de F au-dessus de $P$ est une courbe rationnelle. On sait depuis longtemps que ces deux concepts sont équivalents en caractéristique zéro mais pas en caractéristique positive. Je donnerai quelques résultats sur les morphismes génériquement ou généralement rationnels en caractéristique positive, et ferai le parallèle avec des résultats analogues concernant d'autres classes de courbes intéressantes, notamment les droites exotiques.

Le 5 juin 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Jilong Tong IMB

Théorème de comparaison cristalline: le cas absolument non ramifié.

Soit $R$ un anneau de valuation discrète de mixte caractéristique, de corps résiduel parfait. Soit $X$ un schéma propre lisse sur $R$. Le théorème de comparaison cristalline prédit une relation profonde entre la cohomologie étale $p$-adique de la fibre générique de $X$ et la cohomologie cristalline de la fibre spéciale de $X$. Basé sur la méthode presqu'étale de Faltings, ce théorème est premièrement démontré par Faltings, puis re-démontré par Andreatta-Iovita lorsque $R$ est absolument non ramifié. Dans cet exposé, en combinant des idées récentes de Scholze, on présente la preuve d'Andreatta-Iovita dans le langage d'espaces perfectoids de Scholze. Ceci est basé sur un projet en cours avec F. Tan.

Le 12 juin 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Michele Bolognesi Univ. Rennes

Espaces de modules de courbes trigonales

Dans cet exposé je vais expliquer comment, grâce a des idées de R.Miranda, on peut paramétrer de manière efficace la donnée d'un revêtement triple de la droite projective - ce qu'on appelle une courbe trigonale. En utilisant cette description - dans un travail en commun avec A.Vistoli - nous avons construit un espace de modules (en effet un champ algébrique) qui décrit toutes les courbes trigonales liesses. En suite je vais montrer rapidement comment on calcule le groupe de Picard à coefficients entiers de ce champ de modules.

Le 18 septembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Igor Shparlinski University of New South Wales

Fermat Quotients in 3D: Divisibility, Distribution and Dynamics

We give a survey of various arithmetic properties of Fermat Quotients $q_p(a)= (a^{p-1} -1)/p$ such as p-divisibility, distribution in residue classes modulo $p$, and properties of the dynamical system $x \mapsto q_p(x) \pmod p$. These results are related to the classical questions about Wieferich primes, yet their study requires a combination of several modern techniques coming from additive combinatorics, sieve methods, the distribution of smooth numbers and bounds of Heilbronn exponential sums.

Le 25 septembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Olivier Benoist Université de Strasbourg

Sur le 17ème problème de Hilbert en trois variables

Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en montrant que tout polynôme réel positif en n variables est somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a amélioré ce résultat en montrant que $2^n$ carrés suffisent. En deux variables la situation est parfaitement comprise : on sait que 3 carrés suffisent en degré $\leq 4$ (Hilbert), mais que 4 carrés peuvent être nécessaires en degré $\geq 6$ (Cassels-Ellison-Pfister). Dans cet exposé, nous expliquerons un analogue en trois variables du théorème de Hilbert : un polynôme réel positif en trois variables de degré $\leq 6$ est somme de 7 carrés de fractions rationnelles.

Le 2 octobre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tony Yue YU IMJ

Comptage de courbes via la géométrie non archimédienne à la Berkovich

Je vais commencer par des motivations qui viennent de la physique théorique, et surtout de la symétrie miroir. Puis, je vais introduire la géométrie non archimédienne à la Berkovich, et présenter quelques nouveaux résultats. Comme applications, je vais parler du comptage de courbes dans des surfaces log Calabi-Yau. Ceci donne lieu aux nouveaux invariants géométriques, qui vérifie la formule conjecturale de wall-crossing. Un calcul explicite sera détaillé pour une surface de del Pezzo.

Le 9 octobre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Matthew Morrow Hausdorff Center for Mathematics

La théorie de Hodge p-adique entière et les complexes de de Rham--Witt

Je discuterai la construction d'une nouvelle théorie de cohomologie entière, qui interpole à la fois les cohomologies cristalline, étale, et de Rham, et qui est obtenue par recollement des complexes de de Rham--Witt et de la cohomologie pro-étale des faisceaux de periodes. Avec B. Bhatt and P. Scholze.

Le 16 octobre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kentaro Mitsui Kobe University

Closed points on torsors under abelian varieties

We show the existence of a separable closed point of small degree on any torsor under an abelian variety over a complete discrete valuation field under mild assumptions on the residue field of the valuation ring and the reduction of the abelian variety. To show the existence, we introduce and study minimal models of torsors under quasi-projective smooth group schemes.

Le 23 octobre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gerard Freixas i Montplet CNRS\, IMJ

Théorie de l'intersection arithmétique et fibrés à connexion plate

La théorie de l'intersection arithmétique, ou géométrie d'Arakelov, est un enrichissement de la théorie de l'intersection à la Fulton sur des variétés arithmétiques. Par exemple, dans ce formalisme les fibrés sont munis de métriques sur le lieu des points complexes de la variété, et il y a un formalisme de classes caractéristiques pour ceux-ci. On peut s'en servir pour définir l'accouplement de Néron-Tate de zéro cycles de degré 0 sur une courbe sur un corps de nombres. Souvent la donnée d'une métrique ne se présente pas naturellement, et il peut être utile d'envisager un formalisme similaire où l'on ait plutôt connexion. Un exemple en est celui des points rationnels de l'extension vectorielle universelle de la jacobienne d'une courbe, qui par définition correspondent à des fibrés en droites munis de connexions plates. J'introduirai un nouveau formalisme dans cette direction et montrerai qu'il y a un théorème de Riemann-Roch. De même que l'accouplement de Néron-Tate admet un variante p-adique, notre construction en devrait avoir aussi une à valeurs dans l'anneau des périodes de Fontaine B_dR. Celle-ci est une des motivations de ce travail, malgré qu'à l'heure actuelle on n'ait toujours pas exploré cette direction. Les résultats que l'on passera en revue font partie d'une collaboration avec R. Wentworth.

Le 6 novembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Pierre Lezowski Université Blaise Pascal

Algèbres de matrices euclidiennes

Soit $R$ un anneau commutatif et $n$ un entier naturel strictement positif. On montre que l'algèbre de matrices $M_n(R)$ est euclidienne si et seulement si $R$ est un anneau principal. Une preuve constructive de ce résultat donne des informations sur le type d'ordre euclidien de $M_n(R)$, comme défini par Clark. Par ailleurs, nous verrons quelles hypothèses sur $R$ permettent de calculer effectivement un algorithme d'Euclide dans $M_n(R)$. Nous verrons aussi comment obtenir des suites de divisions courtes. Enfin, nous nous intéresserons à certaines hypothèses plus faibles sur $R$ (anneau à diviseurs élémentaires ou anneau de Bézout) et nous verrons quelles propriétés euclidiennes sont vérifiées dans ces cas (euclidianité en $k$ ou $\omega$ étapes).

Le 13 novembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Przemyslaw Chojecki University of Oxford

Overconvergent modular forms and perfectoid Shimura curves

We show a new approach to overconvergent modular forms and overconvergent Eichler-Shimura map which uses crucially the recent work of Scholze on perfectoid Shimura varieties. This gives a non-archimedean analogue of "cz+d" approach to classical modular forms. This is a joint work with David Hansen (Columbia) and Christian Johansson (IAS).

Le 19 novembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

René Schoof Roma \"Tor Vergata\"

Finite group schemes and semistable abelian varieties

The Jacobian $J_0(23)$ of the modular curve $X_0(23)$ is a semi-stable abelian variety over $\mathbb{Q}$ with good reduction outside 23. It is simple. We prove that every simple semi-stable abelian variety over $\mathbb{Q}$ with good reduction outside 23 is isogenous over $\mathbb{Q}$ to $J_0(23)$.

Le 27 novembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Giovanni Rosso University of Cambridge

Variété de Hecke pour formes automorphes non cuspidales

Récemment, Andreatta, Iovita et Pilloni ont construit la variété de Hecke pour formes de Siegel cuspidales et Brasca a généralisé leur construction à toutes formes automophes pour certaines variétés de Shimura PEL avec lieu ordinaire non vide. Leurs variétés ont la bonne dimension, c'est-à-dire la dimension de l'espace des poids, mais elles paramètrent seulement les formes cuspidales. On expliquera comment généraliser leur construction au cas non cuspidal. On introduira la notion de <> et on construira des variétés de Hecke qui paramètrent les formes avec un dégré de cuspidalité donné. La dimension des variétés de Hecke dépend du dégrée de cuspidalité : pour formes cuspidales est le maximum et pour formes complètement non cuspidales est 1. Il s'agit d'un travail en commun avec Riccardo Brasca.

Le 4 décembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Andrea Pulita Institut Fourier

Indice des équations différentielles p-adiques sur les courbes de Berkovich

Nous allons parler des derniers résultats que nous avons obtenu en collaboration avec J.Poineau. Il s'agit en particulier de l'extension aux courbes quasi-lisses de Berkovich des théorèmes de finitude dimensionnelle de la cohomologie de de Rham d'une équation différentielle p-adique conjecturés par Dwork-Robba, et démontrés finalement par Christol-Mebkhout dans le cadre de la cohomologie rigide. Nous généralisons aussi ce théorème en prenant en compte toutes les équations différentielles de manière inconditionnelle, en particulier sans les conditions de solubilité, surconvergence, ou d'existence d'une structure de Frobenius. Des ingrédients fondamentaux sont le les travaux récents de Kedlaya et F.Baldassarri. La contribution de Kedlaya consiste en un raffinement cruciale de certains notions classiques, ainsi que l'introduction de la super-harmonicité, alors que la contribution de Baldassarri consiste en l'introduction d'une nouveau point de vue qui a ouvert tout un horizon d'investigation.

Le 11 décembre 2015 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Martin J. Taylor Merton College Oxford

Théorème de Riemann Roch adélique et le groupe $SK_1$.

On peut définir pour une surface arithmétique $Y$ et un groupe fini $G$ le deuxième groupe de Chow adélique des $O_Y[G]$-modules localement libres. Ce groupe est muni d'une flèche naturelle dans le groupe des classes des $ Z [G]$-modules localement libres. On peut construire une deuxième classe de Chern adélique d'un $O_Y [G]$-module localement libre $M$, satisfaisant "certaines conditions". On démontre dans ce cadre un théorème de Riemann Roch qui nous permet de calculer la caractéristique d'Euler de $M$. La construction de la deuxième classe de Chern adélique nous conduit naturellement à l'étude du groupe $SK_1$ de certains anneaux associés à $O_Y [G]$. Dans la dernière partie de cet exposé je décrirai une fonction exponentielle à valeurs dans les groupes $SK_1$ de ces annneaux.

Le 3 janvier 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Chunhui Liu Paris 6

Comptage de multiplicités dans une hypersurface

Dans cet exposé, je donnerai une majoration d'une fonction de comptage de multiplicités des points rationnels d'une hypersurface dans un espace projectif sur un corps fini et j'expliquerai la raison de mon choix de fonction de comptage. Ce travail est motivé par un problème de comptage des points rationnels d'une variété arithmétique par l'approche de la géométrie d'Arakelov. Si le temps permet, j'expliquerai le lien entre ces problèmes de comptage.

Le 8 janvier 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

François Charles Paris Sud

Isogénies exceptionnelles de courbes elliptiques

Si E et E' sont deux courbes elliptiques sur un corps de nombres, nous démontrerons qu'il existe une infinité de réduction de E et E' en une place finie qui sont géométriquement isogènes. La preuve s'appuie sur la géométrie d'Arakelov des correspondances de Hecke.

Le 15 janvier 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daxin Xu IHES

Transport parallèle et correspondance de Simpson p-adique

Deninger et Werner ont développé un analogue pour les courbes p-adiques de la correspondance classique de Narasimhan et Seshadri entre les fibrés vectoriels stables de degré zéro et les représentations unitaires du groupe fondamental topologique pour une courbe complexe propre et lisse. Par transport parallèle, ils ont associé fonctoriellement à chaque fibré vectoriel sur une courbe p-adique dont la réduction est fortement semi-stable de degré 0 une représentation p-adique du groupe fondamental étale de la courbe. Ils se sont posés quelques questions: si leur foncteur est pleinement fidèle; si la cohomologie des systèmes locaux fournis par leur foncteur admet une filtration de Hodge-Tate; et si leur construction est compatible avec la correspondance de Simpson p-adique développée par Faltings. Dans cet exposé, nous répondons à ces questions.

Le 22 janvier 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Heer Zhao

The duality theory of log abelian varieties over a complete DVR

We formulate the duality theory for log abelian varieties over a standard log trait. As an application, we give a new proof of Grothendieck's component conjecture in the semistable reduction case, in Grothendieck's spirit of attacking a problem.

Le 29 janvier 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Ana Belen de Felipe IMJ

Topologie des espaces de valuations et géométrie des singularités

Etant donnée une variété algébrique $X$ définie sur un corps $k$, l'espace des valuations du corps des fonctions rationnelles de $X$ qui étendent la valuation triviale de $k$ est une limite projective de variétés algébriques. Cet espace a joué un rôle important dans le programme de Zariski pour la résolution des singularités. Dans cet exposé nous allons considérer le sous-espace formé des valuations dont le centre est un point fermé $x\in X$ et nous allons nous concentrer sur la topologie de cet espace. En particulier nous sommes intéressés par le lien entre son type d'homeomorphisme et la géométrie locale de $X$ en $x$. Les notions utiles seront introduites au début de l'exposé.

Le 5 février 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Florent Jouve Université Paris-Sud

Indépendance linéaire des zéros de fonctions L géométriques et biais de Chebyshev

Etant donné un entier $q$, une conjecture hautement spéculative (souvent appelée LI, pour Linear Independence) affirme que, lorsque $\chi$ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs modulo $q$, le multi-ensemble formé des parties imaginaires positives des zéros critiques de $L(s,\chi)$ est libre sur $\mathbb{Q}$. Dans cet exposé nous étudions un analogue de cette conjecture sur les corps de fonctions. Précisément, si $K=\mathbb{F}_q(C)$ est le corps de fonctions d'une courbe fixée $C/\mathbb{F}_q$, on s'intéresse à certaines familles algébriques de courbes elliptiques $E/K$ définies par Katz, et à la fonction $L$ de Hasse-Weil $L(E,s)$ associée à chacune de ces courbes. Nous montrons, en un sens quantitatif fort, que l'analogue de LI est vrai génériquement pour $L(E,s)$ dans les familles choisies. On parlera également du rôle joué par LI dans l'étude de variantes géométriques du biais de Chebyshev. (Dans le cas classique, c'est le phénomène de prépondérance dans la plupart des intervalles $[1,X]$, des premiers congrus à 3 modulo 4 par rapport aux premiers congrus à 1 modulo 4.) Il s'agit d'un travail commun avec Byungchul Cha et Daniel Fiorilli.

Le 12 février 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gabriel Zalamansky Leiden

Ramification des revêtements inséparables

Si $f : Y \to X$ est un revêtement ramifié de variétés lisses, la théorie de la ramification classique permet de quantifier le défaut de $f$ à être étale. Dans cet exposé on introduira la notion de revêtement ramifié inséparable et on proposera un formalisme de ramification pour ces derniers. On appliquera ce formalisme pour obtenir une formule de type Riemann-Hurwitz pour les quotients d'actions génériquement libres de schémas en groupes de type multiplicatif.

Le 19 février 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Davide Lombardo Paris 11

Représentations galoisiennes associées aux variétés abéliennes : quelques aspects effectifs

Soit $A$ une variété abélienne définie sur un corps de nombres $K$. Associées à $A$ on a des représentations galoisiennes $\ell$-adiques dont on note $G_\ell$ les images. Sous certaines hypothèses sur la dimension et sur les endomorphismes de $A$ on sait décrire les groupes $G_\ell$ à indice fini près : ils sont des ouverts dans les groupes des points entiers $\ell$-adiques du groupe de Mumford-Tate de $A$ (travaux de Serre, Pink, Ribet, Chi...). De plus, dans certains cas on sait même prouver que l'on a l'égalité $G_\ell=\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ pour tout $\ell$ suffisamment grand. Dans cet exposé je m'intéresserai au problème de rendre effective cette description, en donnant une borne explicite $B(A/K)$ (dépendante de $A$ et $K$) telle que l'on ait $G_\ell=\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ pour tout $\ell>B(A/K)$. Je me concentrerai surtout sur le cas des surfaces abéliennes et, si le temps le permet, je chercherai aussi à décrire les problèmes qui surviennent en dimension supérieure.

Le 26 février 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

VACANCES D'HIVER

Sans titre

Le 4 mars 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Benoît Stroh Paris 13

Cohomologie du bord de variétés de Shimura

Dans un travail en commun avec Lan, nous tentons d'élucider le comportement cohomologique du bord de la compactification minimale des variétés de Shimura. Nos résultats valent pour toute une catégorie de faisceaux, comme les complexes d'intersection de strates de Newton ou d'Ekedahl-Oort. Nous verrons diverses applications, qui étendent au cas de variétés non compactes des résultats de Mantovan, Scholze-Shin ou Boyer.

Le 11 mars 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Fabio Gavarini Roma 2

Supergroupes vs. (super)couples de Harish-Chandra: une nouvelle équivalence..

Dans le cadre de la supergéométrie, le rôle des "symétries" est joué par les supergroupes (algébriques, de Lie, etc.), dont le pendant infinitésimal est donné par les superalgébres de Lie; par ailleurs, tout supergroupe a aussi son propre "contenu classique", sous forme d'un sousgroupe classique maximal. Donc à tout supergroupe on associe le couple formé par son superalgébre de Lie tangente et son sousgroupe maximal - un exemple de ce qu'on appele "(super)couple de Harish-Chandra" - et cette association definit un foncteur, soit F. Apres avoir precisé tout cela - avec un bref esquisse des liens entre géométrie "classique" et "super" - je vais présenter une nouvelle preuve du fait que le foncteur F est en fait une équivalence, dont je donnerai explicitement un foncteur quasi-inverse. La présentation sera fait dans le domaine de la (super)géométrie algébrique, mais tout cela s'adapte aussi parfaitement au cadre differentiel ou holomorphe.

Le 18 mars 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dennis Gaitsgory IHES/Harvard

Formule de Tamagawa pour les corps de fonctions

Le 25 mars 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniele Turchetti Bonn

Ramification des revêtements de courbes de Berkovich et problèmes de relèvement

La théorie de la ramification de morphismes de courbes de Berkovich a été récemment objet de différents études. Dans cet exposé j'expliquerai comme on peut relier cette théorie au problème de relèvement suivant : quels sont les revêtements $G$-Galoisiens en caractéristique positive qui sont image par reduction d'un revêtement $G$-Galoisien sur un anneau à valuation discrète, complet et de caractéristique mixte ? En guise d'exemple, je traiterai des critères de relèvement d'actions locales de groupes élémentaires abéliens sur une courbe lisse.

Le 1er avril 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Xavier Roulleau Poitiers

Dénombrement des droites contenues dans les hypersurfaces cubiques définies sur les corps finis

Une hypersurface cubique $X$ (réduite irréductible) de dimension $>1$ est toujours unirationnelle, c'est à dire qu'il existe une application rationnelle dominante $f:P\to X$ d'un espace projectif à valeurs dans $X$. Les droites sur ces hypersurfaces sont un outil essentiel pour comprendre leur géométrie. Par exemple en dimension $3$, l'étude de la variété des droites contenues dans $X$ permet de montrer que $X$ est toujours irrationnelle, c'est-à-dire qu'une application rationnelle f comme ci-dessus a toujours un degré différent de 1. Par ailleurs, l'existence des points rationnels sur les hypersurfaces a une longue histoire. Dans le cas d'un corps de base de caractéristique positive, on a une réponse assez satisfaisante avec le théorème de Chevalley-Warning. Il est dès lors naturel d'étudier l'existence de droites sur les hypersurfaces cubiques. Dans cet exposé nous donnons une borne inférieure sur le nombre de droites définies sur un corps fini et contenues dans une hypersurface cubique. Nous étudions de plus la fonction zeta de la variété des droites contenues dans cette cubique. En application, nous obtenons une preuve simplifiée de l'irrationalité de certaines cubiques de dimension $3$. (Travail en collaboration avec O. Debarre, A. Laface pour une part, et travail en cours avec D. Markouchevitch)

Le 8 avril 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Marco Antei Nice

Sur le schéma en groupes fondamental d'une variété rationnellement connexe par chaîne

Le schéma en groupes fondamental, dont l'existence a été conjecturée par Grothendieck, a été construit pour des schémas définis sur un corps par Nori. Il généralise de façon très naturelle le groupe fondamental étale. Il est difficile, en général, de calculer le schéma en groupes fondamental d'un schéma X quelconque. On sait cependant calculer cet objet lorsque X est une variété rationnelle ou une variété abélienne. Dans cet exposé on montrera que le schéma en groupes fondamental d'une variété rationnellement connexe par chaînes est toujours fini (travail en collaboration avec I. Biswas).

Le 15 avril 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jakob Scholbach Muenster

Modules sur le spectre de de Rham

On établit une équivalence entre la catégorie des D-modules (sur une variété lisse sur un corps de caractéristique zéro) et la catégorie des modules sur le spectre motivique de de Rham. Ce résultat permet des applications intéressantes sur les deux cotés: un formalisme de six foncteurs qui étend le formalisme usuel des D-modules holonomes réguliers aux D-modules quelconques, ainsi que l'existence de la t-structure motivique sur les modules de de Rham. Il s'agit d'un projet en commun avec Dmitri Pavlov.

Le 22 avril 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

*** VACANCES DE PRINTEMPS ***

Sans titre

Le 29 avril 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Francesco Baldassarri Padova

L'isomorphisme de Artin-Hasse des disques ouverts perfectoides et une nouvelle theorie de Fourier pour les fonctions continues sur $\mathbf{Q}_p$ à valeurs dans $\mathbf{Z}_p$

Le 13 mai 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Thong Nguyen Quang Do Besançon

Sur la conjecture de Greenberg généralisée pour une classe infinie de corps de nombres

Pour un corps de nombres $k$ et un nombre premier impair $p$, notons $\widetilde{k}$ le compositum de toutes les $\mathbf{Z}_p$-extensions de $k$, $\widetilde{\Lambda}$ l'algèbre d'Iwasawa associée, $X(\widetilde{k})$ le groupe de Galois sur $\widetilde{k}$ de la pro-$p$-extension abélienne non ramifiée maximale de $\widetilde{k}$. La conjecture du titre (GGC en abrégé) prédit la $\widetilde{\Lambda}$-pseudo-nullité de $X(\widetilde{k})$. Si $k$ est totalement réel, on peut considérer que c'est une généralisation "raisonnable" de la conjecture de Vandiver. On connaît très peu de résultats théoriques en direction de GGC. Le plus récent, dû à S. Fujii (2015), montre la validité de GGC pour un corps CM soumis à un certain nombre d'hypothèses appelées "conditions d'Itoh", mais qui sont trop contraignantes pour qu'on sache s'il existe une infinité de tels corps. On montre ici que pour un corps imaginaire $k$, GGC est impliquée par certaines conditions de pseudo-nullité imposées à une seule $\mathbf{Z}_p^2$-extension de $k$, et ces conditions sont vérifiées par la famille infinie des corps dits $(p,-1)$-réguliers.

Le 27 mai 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

*** Conférence franco-chinoise de GAA ***

Sans titre

Le 3 juin 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Chunhui Liu

Comptage de multiplicités dans une hypersurface

Le 10 juin 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Robert Belliard Besançon

Variantes et présentations d'unités cyclotomiques

Dans cet exposé je donnerai un état de l'art des motivations et des connaissances théoriques sur les unités cyclotomiques. Pour illustrer les différences entre ces versions d'unités je présenterai aussi des exemples calculés sous PARI par Bill Allombert ainsi que les avancées de nos expérimentations numériques.

Le 16 septembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florent Jouve IMB

Quelques applications récentes du crible pour les morphisme de Frobenius

On donnera les grandes idées de trois applications récentes de la méthode de crible en question. Les deux premières, respectivement dues à L. Devin et J. Bellaïche, sont liées à la taille du plus petit premier $p$ tel qu'un certain Frobenius en $p$ soit dans une classe de conjugaison prescrite du groupe de Galois d'une extension galoisienne donnée. La troisième est une partie d'un travail commun avec B. Cha et D. Fiorilli sur une forme d'indépendance linéaire des zéros de certaines fonctions $L$ géométriques.

Le 30 septembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniele Casazza IMB

Factorisation de fonctions L p-adiques et formule de Gross-Zagier

Les conjectures de Stark, ainsi que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, se traduisent de façon plus générale dans le contexte des motifs. Par analogie avec la théorie d'Iwasawa, il est intéressant de disposer de variantes p-adiques de ces conjectures. La conjecture (p-adique) de Stark elliptique, formulée par Darmon, Lauder et Rotger, propose un lien entre certaines fonctions L p-adiques associées à une courbe elliptique E/Q et des points sur la courbe, ainsì que des unités de Stark. C'est une variante p-adique de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, qui nécessite certaines hypothèses. Dans le cas où les points de Heegner et les unités elliptiques sont disponibles, on démontre cette conjecture pour une courbe E à réduction semi-stable (bonne ou multiplicative). Ce résultat est la conséquence d'une factorisation de fonctions L p-adiques et d'une formule p-adique de Gross-Zagier déjà existante.

Le 7 octobre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Peter Jossen ETH Zürich

Exponential motives and exponential periods (joint work with Javier Fresán)..

What motives are to varieties, exponential motives are to varieties endowed with a potential, that is, to pairs (X,f) consisting of an algebraic variety X and a regular function f on X. Our primary motivation for studying exponential motives is that they provide a framework for a Galois theory for special values of the gamma function, of Bessel functions and for other interesting numbers which are not expected to be periods in the usual sense of algebraic geometry. In my talk, I aim to explain how to construct, following ideas of Kontsevich and Nori, a Q-linear neutral tannakian category of exponential motives over a subfield of the complex numbers, and how to calculate periods and Galois groups of a few particular exponential motives.

Le 14 octobre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Shun Ohkubo Nagoya University

On the rationality of the logarithmic growth filtration of solutions of p-adic differential equations

In his study of p-adic differential equations, B.Dwork proved that the power series solutions of certain p-adic differential equations such as (p-adic) Gaussian hypergeometric one satisfy a mild growth condition. Recently, B.Chiarellotto and N.Tsuzuki reconsidered Dwork's work and conjectured a relationship between the order of growth and Frobenius slopes of the space of solutions. In this talk, we discuss some part of Chiarellotto-Tsuzuki conjecture.

Le 21 octobre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sara Checcoli Grenoble

La conjecture de Mordell explicite pour certaines familles de courbes

La conjecture de Mordell, démontrée par G. Faltings, dit qu'une courbe de genre au moins 2 sur un corps de nombres k a seulement un nombre fini de points k-rationnels. Malheureusement, la preuve de cette conjecture n'est pas effective, c'est-à-dire elle ne donne pas des bornes sur la 'taille' de points rationnels, ni une méthode pour trouver une telle borne. Dans cet exposé je parlerai d'un travail en collaboration avec F. Veneziano et E. Viada dans lequel on démontre, en particulier, une borne explicite pour la hauteur de Néron-Tate des points rationnels d'une courbe de genre au moins 2 plongée dans E^N où E est une courbe elliptique sans CM et ayant groupe de Mordell-Weil de rang 1. Ce résultat peut être utilisé pour trouver tous les points rationnels sur beaucoup de courbes explicites. Je présenterai aussi certaines de ces applications.

Le 4 novembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Alexander Ivanov Technische Universität München

Regulators in anabelian geometry

The anabelian Isom-conjecture of Grothendieck concerns the fact that the isomorphism class of certain types of varieties is uniquely determined by their étale fundamental groups. While in the case of affine curves over a finite field the Isom-conjecture was solved by Tamagawa, up to now almost nothing is known for arithmetic curves. We discuss a new approach to a group-theoretic charachterization of the decomposition subgroups of points inside the étale fundamental group (assuming some still unknown properties of it), which uses the regulators of certain intermediate number fields. This leads us to the more realistic hope to prove a weaker version of the Isom-conjecture, which allows to recover the curve from its Weil-étale fundamental group.

Le 14 novembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Giulio Orecchia IMB-Leiden

Semi-factorial nodal curves and Néron models of jacobians

A family of curves over a discrete valuation ring is called semi-factorial if every line bundle on the generic fibre extends to a line bundle on the total space. In the nodal case, we give a sufficient and necessary condition for semi-factoriality, in terms of combinatorics of the dual graph of the special fibre. In particular, we show that performing one blow-up centered at the non-regular closed points yields a semi-factorial model of the generic fibre. As an application, we extend Raynaud's construction of the Néron (lft)-model of the jacobian of the generic fibre of a family of nodal curves to the case where the generic fibre is singular.

Le 18 novembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Surya Ramana Harish-Chendra Research Institute

A problem of A. Sarkozy on coloured versions of Lagrange and Vinogradov's theorems.

In this talk we describe some progress on the following problem of A. Sarkozy. For any integer $K\geq 1$, let $t(K)$ be the smallest integer such that when the set of squares is coloured in one of $K$ colours, every sufficiently large integer can be written as a sum of at most $s(K)$ squares. Also, let $t(K)$ be the corresponding integer in the analogous context for the set of primes. The problem is to find optimal upper bounds for $s(K)$ and $t(K)$ in terms of $K$.

Le 18 novembre 2016 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Aaron Levin Michigan State University

Greatest common divisors and Vojta's conjecture..

In 2003, Bugeaud, Corvaja, and Zannier gave an (essentially sharp) upper bound for the greatest common divisor $gcd(a^n-1,b^n-1)$, where $a$ and $b$ are fixed integers and $n$ varies over the positive integers. The proof required the deep Schmidt subspace theorem from Diophantine approximation. In subsequent work, Corvaja and Zannier generalized the result to the quantity $gcd(f(u,v),g(u,v))$, where $f$ and $g$ are polynomials satisfying appropriate natural conditions and $u$ and $v$ vary over a group of $S$-units in a number field. We will discuss a generalization of this result to polynomials in an arbitrary number of variables. Following an observation of Silverman, we will also explain how these results are closely connected to certain cases of Vojta's conjecture on blowups of projective space.

Le 25 novembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jon Pridham Edinburgh Hodge Institute

q-de Rham cohomology via lambda-rings

Aomoto's $q$-deformation of de Rham cohomology for polynomial rings involves the Gaussian $q$-analogues $[n]_q = 1+q+...+q^{n-1}$ of the integers. Scholze showed how to extend this definition to smooth rings, and conjectured independence from the choice of co-ordinates. I will explain how this theory arises naturally for lambda-rings, and in mixed characteristic depends only on a lift of Frobenius. I will also discuss the possibility of a $q$-analogue of the de Rham--Witt complex for smooth schemes, not relying on any additional structure, but involving arbitrary pth roots of $q$.

Le 25 novembre 2016 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Shou-Wu Zhang Princeton

CM points and derivatives of L-functions

I will talk about recent work on an averaged version of Colmez' conjecture with applications to the Andre-Oort conjecture, and discuss some related work on derivatives of L-functions by Zhiwei Yun and Wei Zhang using Drinfeld's moduli of Shtukas, and by Xinyi Yuan using Shimura curves.

Le 2 décembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Andre Chatzistamatiou Duisburg-Essen

Torsion orders of complete intersections

By a classical result of Roitman, a complete intersection $X$ of sufficiently small degree admits a rational decomposition of the diagonal. This means that some multiple of the diagonal by a positive integer $N$, when viewed as a cycle in the Chow group, has support in $X\times D \cup F\times X$, for some divisor $D$ and a finite set of closed points $F$. The minimal such $N$ is called the torsion order. We study lower bounds for the torsion order following the specialization method of Voisin, Colliot-Thélène and Pirutka. We give a lower bound for the generic complete intersection with and without point. Moreover, we use methods of Kollar and Totaro to show lower bounds for the very general complete intersection.

Le 9 décembre 2016 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Robert Wilms Mainz

New formulas for Faltings' delta-invariant

Faltings' delta-invariant of compact and connected Riemann surfaces plays a crucial role in Arakelov theory of arithmetic surfaces. In particular, it appears in the arithmetic Noether-formula. We will give new formulas for delta in terms of integrals of theta functions. This has several applications: We obtain an explicit lower bound for delta only depending on the genus and an upper bound for the Arakelov-Green function in terms of delta. Furthermore, we get a canonical extension of delta to the moduli space of indecomposable PPAVs.

Le 13 janvier 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Juan Viu Sos Grenoble

Une approche en géométrie réelle pour périodes de Kontsevich-Zagier

Introduites par M. Kontsevich et D. Zagier en 2001, les \emph{périodes effectives} sont des nombres complexes dont la partie réelle et imaginaire sont des valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions $\mathbb{Q}$-rationnelles sur domaines $\mathbb{Q}$-semi-algébriques réels. La \emph{conjecture de Kontsevich-Zagier} affirme que toute relation polynomiale entre périodes peut-être obtenue par des relations linéaires entre leurs représentations intégrales, exprimées par des opérations classiques du calcul intégrale. Dans cet exposée, nous présentons une \emph{réduction semi-canonique} pour les périodes, en utilisant desingularisations et partitions des domaines, qui nous permet de développer une \emph{approche géométrique} pour les périodes et leurs problèmes associés.

Le 20 janvier 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Robin de Jong Leiden

Néron-Tate heights of cycles on Jacobians

We discuss a method to calculate explicitly the Néron-Tate heights of certain tautological integral cycles on jacobians of curves defined over number fields. We obtain closed expressions for the Néron-Tate height of the difference surface, the Abel-Jacobi images of the curve itself and of its square, and of the symmetric theta divisors. As an application we obtain a proof, in the case of jacobians, of a formula proposed by P. Autissier relating the Faltings height of a principally polarized abelian variety with the Néron-Tate height of a symmetric theta divisor. We also obtain new results of effective Bogomolov-type (ie, effective positive lower bounds) for the essential minimum of many tautological cycles on jacobians.

Le 27 janvier 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Clément Dupont Montpellier

Formes linéaires en les valeurs zêta, et motifs de Tate mixtes

L'étude des propriétés diophantiennes des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers passe souvent par la considération d'intégrales qui s'évaluent en des formes linéaires en les valeurs zêta. C'est notamment le cas dans la preuve de Beukers du théorème d'Apéry sur zeta(3), et dans la preuve par Ball et Rivoal de l'irrationalité d'une infinité de valeurs zêta impaires. Dans cet exposé nous suivrons un programme mis en place par Brown dont le but est d'expliquer (et potentiellement de produire) ces formes linéaires par des techniques de géométrie algébrique. Nous nous concentrerons sur une famille de motifs de Tate mixtes sous-jacente à la famille d'intégrales de Ball-Rivoal. Le calcul explicite des matrices de périodes donne lieu à des formules intégrales pour les coefficients des formes linéaires.

Le 2 février 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Hugues Randriam ENST

Sans titre

Le 3 février 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yang Cao Paris XI

Approximation forte et sous-groupe de Brauer invariant

L'approximation forte avec l'obstruction de Brauer-Manin est définie par Colliot-Thélène et Xu. C'est une méthode pour étudier le principe local-global pour les points entiers. Dans cet exposé, pour une variété lisse géométriquement intègre munie d'une action d'un groupe linéaire connexe G, j'introduirai la notion de sous-groupe de Brauer G-invariant et je considérerai l'obstruction associée à ce sous-groupe. Ensuite, je parlerai de son lien avec la méthode de la descente et de son application à l'approximation forte d'une variété contenant une orbite ouverte.

Le 10 février 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Piltant LMV - Versailles

Résolution des Singularités en dimension trois

Le problème de Résolution des Singularités peut s'énoncer de la manière suivante. Soit $X$ un schéma noethérien séparé, réduit et quasi-excellent, ${\rm Reg}X$ l'ouvert dense de ses points réguliers. Existe-t'il un morphisme propre et birationnel $\pi: \tilde{X}\rightarrow X$ tel que: (1) $\tilde{X}$ est régulier en tout point; (2) $\pi$ induit un isomorphisme $\pi^{-1}({\rm Reg}X) \simeq {\rm Reg}X$ ? Il est conjecturé dans EGAIV (1965) que la partie (1) de cette question a une réponse affirmative. Lorsque les corps résiduels de $X$ sont de caractéristique positive, la version (1)(2) de cette conjecture a été résolue en dimension deux par J. Lipman (1978). Dans un travail commun avec V. Cossart (LMV - UMR 8100), nous l'avons résolue en dimension trois. Ceci s'applique en particulier aux schémas (séparés réduits de dimension trois) qui sont de type fini sur un anneau local complet ou sur un anneau d'entiers de corps de nombres. Cet exposé a pour objectif de montrer: 1) quelques unes des nombreuses difficultés liées à la conjecture de Résolution qui reste ouverte en dimension supérieure: faîtes des cônes tangents, défaut de contact maximal; et 2) quelques outils de caractéristique mixte: polyèdre caractéristique de Hironaka et invariants différentiels.

Le 17 février 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kucharczyk Robert ETH

Modèles topologiques de quelques groupes de Galois absolus..

Le groupe de Galois du corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels est un objet central de la mathématique moderne. Tandis que son quotient abélien maximal peut être décrit dans une manière simple par l'opération sur les racines de l'unité, le groupe dérivé, qui est le groupe de Galois absolu de l'extension cyclotomique maximale de $\mathbb{Q}$, nous pose encore quelques devinettes. Dans cet exposé je vais présenter une construction qui réalise ce groupe comme le groupe fondamental profini soit d'un schéma sur $\mathbb{C}$, soit d'un vrai espace topologique. Le groupe fondamental classique (défini par les lacets) de ce dernier espace devient un sous-groupe remarquable du groupe de Galois absolu. C'est un travail commun avec Peter Scholze (Bonn).

Le 10 mars 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Éric Balandraud Paris 6

Théorèmes d'addition dans $F_p$

Les théorèmes d'addition d'ensembles: Les théorèmes de Cauchy-Davenport, de Dias-da Silva-Hamidoune (conjecture d'ErdHos-Heilbronn) et un résultat récent donnent des bornes inférieures des cardinaux de certains ensembles de sommes dont les éléments sont dans un sous-ensemble donné de $F_p$. Ils permettent d'établir les valeurs de certains invariants des groupes comme la constante de Davenport ou d'Olson ou les nombres de Noether. Pour présenter les preuves de ces résultats, nous détaillerons la méthode polynomiale reposant sur le Combinatorial Nullstellensatz d'Alon. Il s'agit d'une généralisation à plusieurs variables du fait qu'un polynôme de degré d ne peut avoir $d+1$ racines. Cette méthode développée à la fin des années '90, a donné de nombreux résultats combinatoires, d'où son nom. Une nouvelle interprétation de cette méthode permet de comprendre le rôle des progressions arithmétiques qui réalisent les bornes de ces théorèmes d'addition.

Le 17 mars 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Barrera Salazar Barcelone

Overconvergent Eichler-Shimura isomorphisms for Shimura curves..

We will discuss the p-adic variation of the Eichler-Shimura isomorphism in the context of Shimura curves over totally real number fields. In particular, we describe the finite slope part of the space of overconvergent modular symbols in terms of the finite slope part of the space of overconvergent modular forms. This is joint work with Shan Gao.

Le 24 mars 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Disegni

La formule de Gross-Zagier p-adique et applications

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) relie le groupe des points rationnels d'une courbe elliptique E/Q à la fonction L de E, définie à partir de donnés locaux. Un outil fondamental dans l'étude de BSD est la formule de Gross-Zagier, qui exprime la hauteur d'un point rationnel d'origine modulaire (point de Heegner) à l'aide de la dérivée centrale de la fonction L. Je vais parler de l'analogue p-adique de cette formule, due originairement à Perrin-Riou, et de quelques généralisations et applications.

Le 31 mars 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Thomas Geisser Rikkyo University

On etale motivic cohomology over global fields

We discuss properties of etale motivic cohomolgy of smooth and projective varieties over global fields. We then explain the relationship between conjectures over global fields (e.g. the Tate conjecture, or the finiteness of the Tate-Shafarervich group) and the Tate conjecture over finite fields.

Le 7 avril 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Shane Kelly Berlin

Descente par éclatements en motifs, et formes différentielles.

Je parlerai de résultats et conjectures autour des suites exactes longues associées aux carrés d'éclatements dans la théorie des motifs à la Voevodsky, et pour la cohomologie de Hodge, tout en caractéristique positive. Ce dernier est travail en commun avec Annette Huber.

Le 28 avril 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Adel Betina Lille

Structure locale des Variétés $p$-adiques de Hecke-Hilbert aux points classiques de poids 1

On détermine la structure locale des variétés $p$-adiques de Hecke-Hilbert associées à un corps totalement réel $F$ en certains points correspondant aux séries thêta de poids $1$ régulières en $p$ et on donne quelques applications. Lorsque $F=\Q$, on donne aussi un critère précis qui permet de déterminer l'indice de ramification de la courbe de Hecke en les points correspondant aux séries thêta régulières en $p$ et qui ont une multiplication réelle par un corps quadratique réel dans lequel $p$ se décompose.

Le 5 mai 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthieu Romagny Rennes

La complexité des groupoïdes plats..

Soit G un groupe algébrique plat agissant sur un schéma X. Lorsqu'il existe un quotient géométrique Y=X/G, on souhaiterait pouvoir déterminer quels sont les "objets" (fibrés, torseurs, modules...) sur X, munis d'une action de G, qui descendent en des objets sur Y. Le cas le plus important d'existence de quotient est celui d'une action dont les stabilisateurs sont finis (théorème de Keel et Mori, 1997). Dans ce cadre, nous introduisons un invariant appelé "complexité" qui permet de dégager une classe d'exemples, incluant des actions sauvages en caractéristique p, pour laquelle on obtient une réponse positive à la question ci-dessus. C'est un travail en commun avec Gabriel Zalamansky.

Le 19 mai 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mohammad Bardestani Muenster

Oscillatory integrals and the Borel chromatic number of graphs..

Let $K$ be the field of real or $p$-adic numbers, and $F(x) = (f_1(x), . . ., f_m(x))$ be such that $1, f_1 , . . . , f_m$ are linearly independent polynomials with coefficients in $K$. In the present talk, we will prove that for the field $K$, the Borel chromatic number of of the Cayley graph of $K^m$ with respect to these polynomials is infinite. The proof employs a recent spectral bound for the Borel chromatic number of Cayley graphs, due to Bachoc, DeCorte, Oliveira and Vallentin, combined with an analysis of certain oscillatory integrals over local fields.

Le 9 juin 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Corentin Perret-Gentil

Distribution Gaussienne de sommes de fonctions trace sur les corps finis

Sous certaines conditions naturelles, des sommes courtes de fonctions trace ℓ-adiques sur les corps finis suivent asymptotiquement une distribution normale quand l'origine varie, généralisant notamment des résultats d'Erdős-Davenport, Mak-Zaharescu et Lamzouri. Cela s'applique en particulier à des sommes exponentielles comme les sommes de Kloosterman ou les sommes de Birch. La démonstration se base sur une application de la généralisation par Deligne de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis aux poids de faisceaux ℓ-adiques.

Le 16 juin 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alexandre Peyrot

Grandes valeurs de fonctions L de Hecke-Maass avec angle prédéterminé

La méthode de résonance développée par Soundararajan permet de détecter des grandes valeurs de fonctions L. Grace aux méthodes de résonance, Hough a démontré l'existence de grandes valeurs pour la fonction zeta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet, avec argument prédéterminé. Nous présentons des résultats permettants de généraliser le travail de Hough dans le contexte de fonctions L de Hecke-Maass.

Le 22 septembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lars Kühne

Intersections of class fields and applications

I will discuss intersections of class fields associated with distinct base fields and establish a lemma restricting their Galois groups. The proof of this lemma uses only standard class field theory. It should be also said that some special cases (related to ring class fields) are already in the literature (Cohn, Rosen-Silverman) and have suggested this general result. Then, I discuss applications of this new lemma to improve a result of Rosen and Silverman on the linear independence of Heegner points associated with distinct CM-fields. One can also use the lemma to prove some weak André-Oort type results on subvarieties in products of modular curves.

Le 29 septembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

REPORTÉ

Le 6 octobre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Samir Siksek Université de Warwick

Modularity of elliptic curves over totally real fields

We combine the latest advances in modularity lifting with a 3-5-7 modularity switching argument to deduce modularity of 'most' elliptic curves over totally real fields. In particular, we show that all elliptic curves over real quadratic fields are modular. This talk is based on joint work with Bao Le Hung (Chicago) and Nuno Freitas (UBC).

Le 13 octobre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Stefano Morra Montpellier

Des congruences entre formes automorphes au programme de Langlands mod $p$

Les congruences entre les coefficients de Fourier des formes cuspidales paraboliques propres ont été remarqué depuis les travaux de Ramanujan au début du XX-ième siecle. Pour retrouver une justification simple à ce comportement il a fallu attendre la vision de J-P. Serre, qui proposait l'existence d'une représentation Galoisienne associée de manière naturelle aux formes modulaires propres. En particulier le poids des formes modulaires produisant une congruence (modulo un nombre premier $p$ fixé) devait satisfaire des condition très restrictives : c'est la partie poids des conjectures de Serre sur la modularité des représentations Galoisiennes de dimension 2 sur $\mathbf{Q}$. Ce sujet a depuis connu un développement rapide et éblouissant. Vastes généralisations des conjectures de Serre ont été proposés dans les derniers années, parmi lesquelles la conjecture de Breuil-Mézard géométrique et la conjecture de Breuil cristalline: le poids est désormais une représentation algébrique reliant la fibre spéciale des espaces de déformation potentiellement semistables avec une partie des espaces des formes automorphes algébriques pour $U(n)$ avec niveau infini en $p$. Dans cet exposé on donnera une présentation de ces phénomènes et conjectures, en introduisant des techniques nouvelles en théorie de Hodge $p$-adique et théorie de représentation modulaires, permettant la preuve de plusieurs cas de ces conjectures pour $U(3)$. Il s'agit de travaux en commun avec Bao-Viet Le Hung, Daniel Le et Brandon Levin.

Le 20 octobre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Philippe Lebacque Laboratoire de Mathématiques de Besançon

Sur les fonctions M associées aux formes modulaires

L'étude de la distribution des valeurs prises par les fonctions L est un sujet classique en théorie des nombres. Intéressé par des questions issues de la théorie asymptotique des corps globaux, Y. Ihara proposa une nouvelle approche pour l'étude de la distribution des valeurs prises par le logarithme et la dérivée logarithmique de leurs fonctions L. Notre exposé traite d'une extension des résultats d'hara au cas des fonctions L de formes modulaires. Nous considérons le cas des fonctions L associées aux tordues d'une forme modulaire fixée f par des caractères de Dirichlet, où l'on obtient des résultats très complets sous GRH, et le cas où les formes modulaires varient parmi les formes primitives de poids k et de niveau N, lorsque N tend vers l'infini. Ceci est un travail en commun avec notre regretté ami Alexey Zykin, disparu cette année.

Le 27 octobre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gyan Prakash Harish-Chandra Institute\, Allahabad

Primes in sumsets and sumsets of primes

In 2014, Ramana and Ramaré showed that if the set of prime numbers is coloured in $K \geq 1$ colours then all large enough integers are a sum of at most $CK\log\log4K$ prime numbers, all of the same colour, for an absolute constant $C$. This bound is optimal up to the value of $C$. Recently, K. Mallesham adapted the method of Ramana and Ramaré to obtain an upper bound for the number of pairs $(a,b) \in A \times B$ such that $ a +b$ is a prime number, when $A$ and $B$ are subsets of the integers $[1, N]$ and $N$ is sufficiently large. The bound obtained by Mallesham improves a bound obtained by Balog, Rivat and Sárközy and is also optimal when $|A||B|$ is sufficiently large. Underlying the aforementioned results is an upper bound for the number of pairs $(a,b) \in A \times B$ such that $a+b$ is invertible in ${\bf Z}/W{\bf Z}$, where $W$ is a suitable square free number and $A$ and $B$ certain subsets of the integers. We discuss this result and some of its relatives and explain how they may be used to obtain analogs of the result of Ramana and Ramaré for the set of squares and the set of squares of prime numbers.

Le 10 novembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Nicolas Billerey Clermont-Ferrand

Représentations galoisiennes et formes à multiplication complexe

Partant des congruences de la fonction $\tau$ de Ramanujan modulo 23, on étudie dans cet exposé la question de savoir si une représentation galoisienne diédrale donnée $\rho$ provient d'une forme à multiplication complexe de poids égal au poids de Serre de $\rho$. On s'attache alors à la détermination du niveau minimal d'une telle forme. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Filippo Nuccio.

Le 17 novembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Debargha Banerjee Indian Institute of Science Education and Research

Modular endomorphism algebras at super cuspidal primes

Let $f$ be a primitive non-CM cusp form of weight two or more. The endomorphism algebra X_f (attached to f) is a 2-torsion element in the Brauer group of some number field. We give a formula for the ramification of X_f locally for all places lying above super cuspidal primes. For p=2, we also treat the interesting case where the image of the Weil-Deligne representation attached to f is an exceptional group. This is a joint work with my student Tathagata Mandal.

Le 24 novembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Aurel Page IMB

Peut-on énumérer algorithmiquement toutes les fonctions L ?

J'expliquerai ce qu'est une fonction L et je donnerai un aperçu de leur rôle en théorie des nombres. Puis je décrirai une construction qui permet conjecturalement d'obtenir toutes les fonctions L, à partir de variétés arithmétiques. Je présenterai un algorithme permettant de calculer de telles fonctions L dans certains cas (cas "cohomologique" pour des variétés compactes). Il s'agit d'un travail en commun avec Michael Lipnowski.

Le 1er décembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabien Pazuki

Soutenance HDR

Le 8 décembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Natalia Garcia Fritz Pontificia Universidad Católica de Chile

Arithmetic applications of omega-integral curves

In 2000, Vojta solved the n-squares problem under the Bombieri-Lang conjecture, by explicitly finding all the curves of genus 0 or 1 on the surfaces related to this problem. The fundamental notion used by him is omega-integrality of curves. In this talk, I will show a generalization of Vojta's method to find all curves of low genus in some surfaces, with arithmetic applications. I will also explain how to use omega-integrality to obtain a bound of the height of a non-constant morphism from a curve to the projective plane in terms of the number of intersections (without multiplicities) of its image with a divisor of a particular kind. This proves some new special cases of Vojta's conjecture for function fields.

Le 15 décembre 2017 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Christophe Ritzenthaler

Réduction hyperelliptique d'une courbe de genre 3 non hyperelliptique

Une courbe de genre 3 non hyperelliptique sur un corps de nombres peut se réduire modulo certains premiers en une courbe hyperelliptique de genre 3. Nous donnons une caractérisation de ces premiers en fonction de la valuation des invariants de Dixmier-Ohno des quartiques planes. Travail en cours avec Reynald Lercier et Elisa Lorenzo.

Le 12 janvier 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Richard Griffon Leiden

Estimation asymptotique de valeurs spéciales de fonctions L de courbes elliptiques dans une famille d'Artin-Schreier..

Les fonctions L des courbes elliptiques sur les corps globaux encodent (conjecturalement) beaucoup d'informations arithmétiques sur celles-ci. En général cependant, pour une courbe elliptique E sur $\mathbb{F}_q$(t) de grand conducteur, on ne dispose que de peu d'informations analytiques sur L(E, s). Plus spécifiquement, nous considérons leur valeur spéciale L*(E, 1) (i.e. le premier coefficient non nul dans le développement de Taylor de L(E, s) en s=1) et nous nous intéressons au problème de comparer la taille de L*(E, 1) à celle du conducteur de E. Des heuristiques suggèrent que L*(E, 1) devrait génériquement être «aussi grosse que possible», mais ce comportement n'a été démontré que pour un nombre limité de familles de courbes elliptiques, et la question reste très largement ouverte. Dans cet exposé, après avoir introduit cette question et les motivations sous-jacentes plus en détail, je parlerai d'un travail récent à propos d'une famille «d'Artin-Schreier» de courbes elliptiques E définies sur $\mathbb{F}_q$(t). Plus précisément, j'expliquerai comment calculer leur fonction L explicitement, et comment on peut en déduire une borne asymptotique très précise sur L*(E, 1) en termes de leur conducteur. À l'aide de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (qui est un théorème dans ce cas), on pourra alors traduire cette borne en une estimation asymptotique de certains invariants arithmétiques des courbes E considérées.

Le 19 janvier 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Mauro Porta IRMA

Théorème de Hochschild-Kostant-Rosenberg pour variétés rigides

Dans cet exposé je vais commencer par rappeler le théorème HKR, qui nous donne une comparaison entre la cohomologie de de Rham et l'homologie de Hochschild d'une variété algébrique X. Le but de l'exposé sera ensuite de montrer comment généraliser ce résultat au cadre de la géométrie analytique non-archimédienne, et d'expliquer pourquoi on devrait s'intéresser à ce problème.

Le 26 janvier 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Zhiyu Tian Institut Fourier

Principe de Hasse sur les corps de fonctions..

Dans cet exposé, je vais expliquer une méthode géométrique pour l'étude du principe de Hasse sur les corps de fonctions à la de Jong-Starr, ou l'étude des courbes rationnelles dans une variété joue un rôle très important.

Le 2 février 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Hugues Randriam ENST

Théorie de Harder-Narasimhan pour les codes linéaires..

Les codes linéaires sont des objets combinatoires qu'on peut voir comme un analogue discret des réseaux euclidiens. Il y a aussi des liens intéressants entre codes et courbes algébriques. Il est possible d'étendre ce faisceau de relations dans au moins deux directions : théorie de Riemann-Roch, et théorie de Harder-Narasimhan. On se propose de détailler cette dernière. Cela peut se faire selon au moins trois approches très naturelles, qui se trouvent toutes mener précisément à la même notion de pentes et de semistabilité. Enfin on étudie le comportement des pentes sous certaines opérations sur les codes. Un résultat remarquable est que le produit tensoriel de deux codes semistables est semistable. (Pour comparaison, l'énoncé analogue est vrai pour les fibrés vectoriels sur les courbes en caractéristique 0 mais faux en caractéristique p, et reste ouvert pour les réseaux euclidiens.)

Le 8 février 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Arnaud Plessis Caen

Sans titre

Le 16 février 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthias Flach California Institute of Technology

Lambda-operations via non-commutative motives..

We discuss a possible construction of Lambda-operations on the algebraic K-theory space of a symmetric monoidal, stable Q-linear infinity-category using representability of the algebraic K-theory functor in a suitable category of noncommutative motives. As an introduction to these ideas we first give a new construction of the Lambda-operations on K_0.

Le 2 mars 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sary Drappeau Aix-Marseille

Sommes de Kloosterman et zéros de Siegel

Les zéros de Siegel sont des zéros sporadiques réels proches de $1$, hypothétiquement inexistants, de fonctions $L$ de Dirichlet. La question de l'inexistence de ces zéros semble échapper aux méthodes actuelles; d'un autre côté, si ces zéros existaient, alors un certain nombre de problèmes ouverts sur les nombres premiers deviendraient abordables. L'exposé portera sur un travail avec J. Maynard où l'on étudie les conséquences hypothétiques de l'existence de ces zéros, sur les sommes de Kloosterman aux modules premiers : $\sum_{p\leq x} \operatorname{Kl}(1, p)$.

Le 9 mars 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yonatan Harpaz Paris 13

Zéro-cycles sur les espaces homogènes et problème de Galois inverse

Dans un travail en commun avec Olivier Wittenberg nous démontrons que l'obstruction de Brauer-Manin contrôle le comportement des zéro-cycles pour les espaces homogènes de groupes linéaires sur les corps de nombres. Quand le groupe est semi-simple et simplement connexe et les stabilisateurs sont finis et hyper-résolubles notre méthode est également applicable aux points rationnels. Cela peut être utilisé, par exemple, pour obtenir une réponse raffinée au problème de Galois inverse pour les groupes hyper-résolubles sur tout corps de nombres.

Le 16 mars 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pierre Charollois IMJ\, Paris 6

Sur le rêve de jeunesse de Eisenstein

Dans la lignée de techniques initiées par Eisenstein, R. Sczech a introduit en 1993 un cocycle pour $\operatorname{SL}_n(\mathbf{Z})$ qui rend compte d'une famille de relations entre certaines fonctions trigonométriques. Nous présentons deux contributions qui prolongent ses travaux. D'abord, nous en introduisons une variante elliptique, plus riche, qui dépend d'une variable complexe et met en jeu des formes modulaires. Ensuite, nous expliquons comment en déduire un analogue pour $\operatorname{SL}_3(\mathbf{Z})$ du logarithme de la fonction eta de Dedekind et des unités modulaires. Cet analogue s'insère dans le programme esquissé par Eisenstein en 1844, qui est précurseur du «rêve de jeunesse de Kronecker». L'exposé se veut élémentaire et accessible à tous.

Le 23 mars 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniele Turchetti Caen

Exposé reporté au 15 juin

Le 30 mars 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean Gillibert Institut de Mathématiques de Toulouse

Les groupes de Selmer sont intersection de deux facteurs directs de la cohomologie adélique

En 2015, Bhargava, Kane, Lenstra, Poonen et Rains ont proposé une modélisation probabiliste pour l'arithmétique des courbes elliptiques sur les corps globaux. Ce modèle permet, conjecturalement, de prédire le comportement du rang ainsi que celui du groupe de Tate-Shafarevich. Il repose sur certaines propriétés (purement algébriques) des groupes de Selmer, dont l'une d'elles est conjecturale : étant donnés un corps global $k$ et un entier $n>1$, pour $100\%$ des courbes elliptiques $E$ définies sur $k$, le $n$-Selmer de $E$ est intersection de deux facteurs directs du groupe de cohomologie adélique $H^1(\mathbb{A}_k,E[n])$. Dans cet exposé, nous donnerons une preuve de cette conjecture. Il s'agit d'un travail en commun avec Florence Gillibert, Pierre Gillibert et Gabriele Ranieri.

Le 6 avril 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Cyril Demarche IMJ Paris 6

Le théorème de dualité d'Artin-Mazur en cohomologie fppf

Le théorème de dualité globale pour la cohomologie fppf des schémas en groupes finis et plats sur un ouvert d'une courbe sur un corps fini (ou du spectre de l'anneau des entiers d'un corps de nombres) est dû à Artin et Mazur. Il est notamment fondamental pour la compréhension de la cohomologie fppf des schémas en groupes finis sur les corps globaux de caractéristique positive. Ce résultat est démontré par Milne dans son livre sur les théorèmes de dualité arithmétiques, mais cette preuve est incomplète sur plusieurs points. Nous proposons, dans un travail en commun avec David Harari, une preuve détaillée de ce théorème, assortie de quelques compléments.

Le 13 avril 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Peter Bruin Leiden

Paires duales d'algèbres et schémas en groupes commutatifs finis

On considère des schémas en groupes commutatifs finis localement libres sur un anneau. J'expliquerai comment on peut utiliser la dualité de Cartier pour écrire un tel schéma en groupes sous une forme adaptée aux calculs explicits. Les principaux exemples seront les schémas de torsion des courbes elliptiques et les représentations galoisiennes modulaires.

Le 27 avril 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Fiorilli

Biais de Tchebychev dans les groupes de Galois

Ce travail est en collaboration avec Florent Jouve. Dans une lettre datant de 1853, Tchebychev nota qu'en comparant les nombres premiers dans les classes d'équivalence 1 et 3 modulo 4, il y a un sérieux excès de ceux de la première forme. De nombreuses généralisations de ce phénomène ont été étudiées au fil des années. Dans cet exposé nous discuterons du biais de Tchebychev dans la distribution des nombres premiers selon des conditions de type Tchebotarev. Par exemple, on comparera la quantité de nombres premiers p congrus à 1 modulo 3 pour lesquels 2 est un cube modulo p à celle pour laquelle cette condition n'est pas satisfaite. Un de nos buts sera d'étudier les biais extrêmes, c'est-à-dire que nous donnerons des conditions sur les groupes de Galois impliqués qui garantissent de sérieuses asymétries. Nous verrons que ces questions sont fortement liées à la théorie de la représentation de ce groupe. Par exemple, dans le cas d'extensions S_n nous exploiterons la richesse de la théorie de la représentation du groupe symétrique ainsi que les récentes bornes sur ses caractères dues à Roichman, Féray, Sniady, Larsen et Shalev. Nous appliquerons aussi des résultats de type Galois inverse effectif

Le 4 mai 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Tadashi Ochiai Osaka / Paris 7

La conjecture principale d'Iwasawa pour les familles de formes modulaires p-adiques

La théorie de la déformation p-adique des espaces de formes paraboliques a été développée par Hida (le cas ordinaire) et Coleman (le cas non ordinaire). Après que nous rappelons nos résultats précédents sur la théorie d'Iwasawa pour la famille de Hida, nous discutons la généralisation non ordinaire pour la famille de Coleman. Spécialement, nous discutons le résultat en commun avec Filippo Nuccio sur l'application de Coleman. Nous allons aborder quelques applications sur la conjecture principale d'Iwasawa pour le cas non ordinaire via système d'Euler.

Le 18 mai 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Arthur-César Le Bras DMA - ENS

Cohomologie de de Rham relative surconvergente sur la courbe de Fargues-Fontaine

J'expliquerai comment définir sur la catégorie des variétés rigides lisses quasi-compactes sur $\mathbb{C}_p$ une théorie cohomologique à valeurs dans les fibrés vectoriels sur la courbe de Fargues-Fontaine, qui étende (en un certain sens) la cohomologie de Hyodo-Kato pour les variétés propres et lisses ayant un modèle formel semi-stable sur l'anneau des entiers d'une extension finie de $\mathbb{Q}_p$.

Le 18 mai 2018 à 15:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fei Xu Beijing

Arithmetic purity of strong approximation for linear algebraic groups

It is well-known that a smooth variety satisfying strong approximation is simply connected. In particular, the strong approximation property is not birationally invariant. Inspired by simply connected property and the example of affine space, Colliot-Thélène and Wittenberg asked if strong approximation property is invariant among smooth varieties up to a closed sub-variety of codimension at least 2. In this talk, we will show that this is true for a semi-simple simply connected quasi-split linear algebraic group. We also explain that such phenomena for strong approximation with Brauer-Manin obstruction. This is a joint work with Yang Cao and Yongqi Liang.

Le 25 mai 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alberto Vezzani Paris 13

Foncteurs de réalisations pour les motifs analytiques rigides

Nous présentons des théories cohomologiques pour les variétés analytiques rigides et perfectoïdes, et les foncteurs de réalisation relatifs pour les motifs associés. Comme corollaire, nous étendons une formule de Berkovich sur la partie de poids zéro de la cohomologie l-adique, et nous entendons la définition de la cohomologie rigide aux variétés analytiques en caractéristique positive.

Le 1er juin 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Joaquin Rodrigues University College London

Vers un système d'Euler pour GSP6

Suite au travail de plusieurs mathématiciens, les systèmes d'Euler se sont avérés très importants dans l'étude de l'arithmétique des formes automorphes. Par exemple, la construction de Kato d'un système d'Euler associé à une forme modulaire lui a permis de donner une construction alternative de la fonction $L$ $p$-adique de cette forme et de montrer une divisibilité dans la conjecture principale d'Iwasawa. Lei-Loeffler et Zerbes ont montré que les techniques de Kato peuvent être adaptées pour construire des systèmes d'Euler dans d'autres cadres (produit tensoriel de deux formes modulaires, formes de Hilbert, formes de Siegel pour le groupe $\operatorname{GSp}_4$). On expliquera un travail en commun avec Antonio Cauchi qui a pour but la construction d'un système d'Euler pour les formes automorphes du groupe $\operatorname{GSp}_6$.

Le 8 juin 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eknath Ghate TIFR\, Mumbai

Reductions of Galois Representations of Exceptional Weights

We describe the reductions of certain two-dimensional Galois representations of small slopes, using the compatibility with respect to reduction between the p-adic and mod p Local Langlands Correspondences. We concentrate on the most interesting and difficult case of weights which are exceptional for a particular half-integral slope. These are weights which are congruent to two more than twice the slope mod (p-1). We make a Zig-Zag Conjecture describing the reduction for such weights in general, and describe some recent evidence towards it.

Le 15 juin 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniele Turchetti Caen

Descente Galoisienne d'espaces semi-affinoides et réduction semi-stable de courbes

Dans cet exposé, je présenterai un résultat de classification de formes modérément ramifiées de certains espaces analytiques sur un corps à valuation discrète, obtenu en collaboration avec Lorenzo Fantini. Je détaillerai nos résultats dans les cas des disques et des couronnes, en mettant en évidence le lien avec les changements de base minimales pour qu'une courbe définie sur un corps à valuation discrète admette réduction semi-stable. Pour terminer, je discuterai un plan d'action pour attaquer les difficultés qui surgissent dans le cas sauvagement ramifié, inspiré par les techniques d'étude du relèvement à la caractéristique zéro des revêtements de disques $p$-adiques.

Le 29 juin 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Yuri Bilu Bordeaux

L'invariant j d'une courbe elliptique à multiplication complexe n'est pas une unité

Un module singulier est l'invariant j d'une courbe elliptique à multiplication complexe. On sait depuis le 19ème siècle que tout module singulier est un entier algébrique. En 2011 Masser a posé la question suivante: est-il vrai qu'il n'existe qu'un nombre fini de modules singuliers qui sont des unités (éléments inversibles dans l'anneau de tous les entiers algébriques); appelez les "unités singulières". Habegger (2015) a répondu positivement: il n'existe qu'un nombre fini d'unités singulières. Cependant, son argument était non-effectif (dépendant du zéro de Siegel, via le théorème d'équipartition de Duke), et n'a fourni aucune majoration explicite pour la taille de ces unités singulières. Je parlerai du travail récent, commun avec Philipp Habegger et Lars Kühne, où nous démontrons que les unités singulières n'existent pas du tout. Premièrement, nous montrons que la valeur absolue du discriminant d'une unité singulière est bornée par 10^15. Ensuite, nous utilisons des arguments assistés par ordinateur pour exclure des unités singulières avec les discriminants inférieurs à cette borne.

Le 21 septembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Xavier Caruso IMB

Factorisation par les pentes de polynômes de Ore

Il est bien connu que les polynômes classiques jouent un rôle important en algèbre linéaire (e.g. polynômes d'endomorphismes, polynôme caractéristique) et, notamment, que leurs propriétés de factorisation permettent de diagonaliser ou de trigonaliser (par blocs) les applications linéaires. En algèbre semi-linéaire et en théorie des équations différentielles linéaires, une telle philosophie demeure à condition de remplacer les polynômes usuels par une variante non commutative de ceux-ci que l'on appelle les polynômes de Ore. Dans cet exposé, je présenterai un théorème de factorisation -- par les pentes -- des polynômes de Ore sur les corps ultramétriques complets et donnerai un algorithme itératif très simple permettant de calculer cette factorisation. Je discuterai également des applications de ce théorème à l'étude des représentations galoisiennes p-adiques, des équations différentielles p-adiques et des équations de Mahler.

Le 28 septembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Olivier Fouquet Université Paris-Sud

La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa pour les formes modulaires..

Depuis la formule des classes de Dirichlet et les conjectures de Birch-Swinnerton-Dyer et Tate, on sait (ou l'on conjecture) que les valeurs aux entiers des fonctions L des objets géométriques s'expriment en termes d'invariants arithmétiques et cohomologiques. La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa est une généralisation de cette philosophie qui entend non seulement prédire les valeurs des fonctions L mais aussi leur variation p-adique lorsque les objets géométriques sous-jacents varient dans une famille p-adique (par exemple la famille des tordus par des caractères de Dirichlet, une famille p-adique de formes modulaires?). Après avoir expliqué l'énoncé et la signification de ces conjectures, je présenterai un travail en commun avec Xin Wan dans lequel nous les montrons pour les formes modulaires dont la représentation galoisienne résiduelle est irréductible.

Le 5 octobre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Léo Ducas CWI Amsterdam

The General Sieve Kernel and New Records in Lattice Reduction

Sieving algorithms are asymptotically the fastest heuristic algorithms for solving the shortest vector problem, and therefore for solving other problems such as LWE or SIS, due to the Block-Korkine-Zolotarev lattice reduction algorithm (BKZ). Until recently, sieving was considered as a function to be used as a blackbox SVP oracle inside BKZ. The works of Ducas (Eurocrypt 2018), and of Laarhoven and Mariano (PQCrypto 2018), however, proposed improvements to lattice reduction that go beyond this blackbox use of Sieve-style algorithms. To formalise and generalise these new strategies, we propose the General Sieve Kernel (G6K, pronounced /ȝe.si.ka/), an abstract machine supporting a wide variety of lattice reduction strategies based on sieving algorithms. It is designed to minimise the sieving computation effort per reduction quality, and achieves this via mechanisms such as recycling and on-the-fly lifting. We provide a highly optimised, multi-threaded, tweakable, and open-source implementation of this stateful machine. Finally, we apply G6K to various lattice challenges (SVP, LWE). Our work demonstrates that sieving significantly outperforms enumeration in dimensions achievable in practice. Joint work with Martin R. Albrecht, Gottfried Herold, Elena Kirshanova, Eamonn Postlethwaite and Marc Stevens.

Le 12 octobre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Amalia Pizarro Universidad de Valparaíso

Growing of the Artin conductor

By using geometry of numbers, Minkowski showed that there exists a constant $C$ such that if $D_K$ is the discriminant of a number field $K$, then $\vert D_K \vert >C^{\left[K:Q\right]}$. In 1978, from the existence of infinite class field towers, Martinet constructed sequences of number fi elds of growing degree and bounded root discriminant. It is natural to ask if it is possible to extends the previous results to the Artin conductor. In 1977 Odlyzko, found the first nontrivial lower bounds for the conductor and in 2011 by using analytic methods, we improved these bounds. In this talk, we will show the existence of irreducible Artin characters of growing degree with bounded root conductors.

Le 19 octobre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Youness Lamzouri IECL Nancy

La répartition du maximum de sommes de Birch et de Kloosterman

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats récents concernant la répartition du maximum des sommes partielles de certaines sommes d'exponentielles cubiques dites "sommes de Birch". Les preuves utilisent des outils probabilistes, de l'analyse harmonique, ainsi que des ingrédients de la géométrie algébrique. Je discuterai aussi d'un travail en cours, en commun avec D. Bonolis, où nous obtenons des résultats similaires pour la répartition du maximum des sommes partielles de sommes de Kloosterman modulo un nombre premier.

Le 26 octobre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Matthew de Courcy-Ireland EPFL - Lausanne

Gaussian energy in high dimensions

Given a potential function, which represents a repulsive interaction, the energy of a configuration of points is defined by summing a corresponding penalty for each pair of points. The goal is to minimize this energy over all configurations in Euclidean space with a fixed number of points per unit volume. Siegel's mean value theorem gives the average value of the energy over all lattices of determinant 1. Lower bounds on the energy can be proved by the linear programming method. In joint work with Henry Cohn, we show that the lower bound and the average are within a factor $1+o(1)$ as the spatial dimension grows, provided the potential is a Gaussian and not too steep. In particular, lattices are close to optimal in high dimensions. The limiting case of a very steep potential is related to sphere packing, where it is far from understood how close to optimal lattices may be. Time allowing, we will also discuss the work of Cohn-Kumar-Miller-Radchenko-Viazovska giving an exact solution to the linear program in dimension 8 and 24.

Le 9 novembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Kevin Destagnol Vienne

Valeurs premières de polynômes et obstruction de Brauer-Manin

L'hypothèse de Schinzel et sa version quantitative, la conjecture de Bateman-Horn, prédisent que, sous certaines conditions nécessaires, un système de polynômes en une variable prend simultanément des valeurs premières infiniment souvent. On présentera dans la première partie de cet exposé une preuve de la généralisation de ces conjectures au cas d'un polynôme possédant (modérément) beaucoup de variables. La démonstration repose sur la méthode du cercle due à Birch mais peut être conduite avec 50% de variables en moins que dans le cadre classique. Dans une seconde partie, on montrera le lien entre ce résultat et l'obstruction de Brauer-Manin pour certaines variétés algébriques. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Efthymios Sofos.

Le 23 novembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Antoine Ducros IMJ

Formes différentielles réelles en géométrie analytique p-adique..

Je présenterai un travail commun avec Antoine Chambert-Loir dans lequel nous développons un formalisme des (p,q)-formes sur les espaces de Berkovich. Nous y définissons l'intégrale d'une (n,n)-forme (où n est la dimension de l'espace ambiant) ainsi que l'intégrale de bord d'une (n-1, n)-forme et y prouvons des formules de Stokes et Green. Ceci permet de définir une théorie des courants, d'établir une formule de Poincaré-Lelong, de définir les courants de courbure de fibrés métrisés raisonnables, de les multiplier dans certains cas par des techniques à la Bedford-Taylor, de définir des mesures de Monge-Ampère... Après un survol de la théorie et une description de nos constructions de base, j'évoquerai nos progrès récents.

Le 30 novembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Cedric Lecouvey Université de Tours

Quelques extensions algébriques de la théorie additive des nombres...

De nombreux résultats de théorie additive des nombres admettent des analogues en théorie des groupes (abéliens ou non). L'objectif de l'exposé sera de montrer que de tels analogues existent également lorsque des structures linéaires (corps, corps gauches, algèbres) sont considérées. Ces analogues impliquent souvent les théorèmes originaux qui les ont inspirés et possèdent des applications intéressantes à d'autres domaines mathématiques (théories des codes, théories des représentations notamment).

Le 7 décembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sophie Marques University of Cape Town

A propos de la Cohen-Macaulaynité de l'anneau des invariants (travail en collaboration avec Ben-Blum Smith)

Comprendre “quand est-ce que l'anneau des invariants d'un anneau Cohen-Macaulay est lui-même un anneau Cohen-Macaulay” est une question qui a intéressé les mathématiciens depuis plusieurs décennies. En particulier, la question: “Quand est-ce que l'anneau des invariants d'un anneau de polynômes par un groupe de permutations est Cohen-Macaulay?” a été intensivement étudiée: Ellingsrud et Skjelbred, 1980, Larry Smith, 1996, Campbell et al et Gregor Kemper 1999…. Dans notre papier, nous prouvons que les anneaux des invariants d'un anneau de polynômes est Cohen-Macaulay peu importe le corps de coefficients si et seulement si le groupe de permutations est engendré par les transpositions, doubles transpositions et cycles d'ordre 3. Durant ce séminaire, nous expliquerons comment ce résultat généralise la plupart des résultats connus. Nous décrirons les idées principales de la preuve qui utilise des techniques combinatoires, mais aussi provenant de la topologie et de l'algèbre. Plus précisément, nous verrons comment la preuve du “seulement si”(issue du travail de thèse de Ben-Blum Smith) utilise la théorie de Stanley-Reisner et un beau résultat de Christian Lange dans la théorie des orbifolds, tandis que la preuve dans l'autre direction utilise un résultat local-global de Raynaud qui permet une simplification du problème grâce au groupes d'inertie et un argument combinatoire qui permet d'identifier les groupes d'inertie qui obstruent la Cohen-Macaulaynité. Nous verrons aussi que la preuve de cette direction contient un résultat qui est vrai sous des hypothèses beaucoup plus souples qui pourrait peut-être être utilisé dans un contexte différent. Celui-ci étant que la Cohen-Macaulaynité de l'anneau des invariants ne dépend que des actions de groupes d'inertie pour chaque idéal premier sur un voisinage bien choisi de cet idéal.

Le 14 décembre 2018 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andrea Surroca

Conjectural bounds for the Mordell-Weil and the Tate-Shafarevic groups of an Abelian variety

The Mordell-Weil theorem states that the group of rational points A(K) on an Abelian variety A/K defined over a number field is finitely generated. While there exist results on the torsion part, the free part remains less tractable. Even in the particular case of an elliptic curve, there is no way, in general, to compute the rank or a set of generators of this group. The proof of the Mordell-Weil theorem involves the Tate-Shafarevich group of A/K, which measures the obstruction to the Hasse principle. Even if it is not easy to construct a non trivial element of this group, it is still unknown, in the general case, if it is finite. For some applications, it would be sufficient to bound the « size » of the invariants related to the variety. In this article, we explore how could be bounded 1- the canonical height of a well chosen system of generators of the Mordell-weil group A(K), as well as 2- the order of the Tate-Shafarevic group of A(K). The bounds given here are not conjectured, but implied, by strong but nowadays classical conjectures. We follow the approach of Manin, who proposed a conditional algorithm for finding a basis for the non-torsion rational points of an elliptic curve over the rationals numbers. The method is based on the hypothesis that the L-series of the elliptic curve satisfies a functional equation and on the celebrated conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. We extend Manin's method to an Abelian variety of arbitrary dimension, defined over an arbitrary number field, extending to this general case, - with point 1, a conjecture of S. Lang , - with point 2, a result by D. Goldfeld and L. Szpiro, which we improve in the one dimensional case over the field of rational numbers.

Le 11 janvier 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Giulia Battiston Heidelberg

A Galois descent for inseparable field extensions..

Let L/K be a Galois separable field extension, then classical Galois descent theory describes algebraic objects over K, such as for example K-varieties, as being equivalent to algebraic objects over L endowed with a $Gal(L/K)$-action which is $\sigma$-linear. If L/K is not separable, though, such a theory does not apply for the simple reason that the field of $Gal(L/K)$-invariants is strictly bigger than K. We will present how this inconvenient can be bypassed using the automorphism group of truncated polynomials over L and hence obtaining a Galois descent theory for inseparable extensions.

Le 17 janvier 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stephen Lichtenbaum Brown University

Sans titre

Le 18 janvier 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dustin Clausen Bonn

K-theory, TC-theory, and Artin reciprocity..

I will give an introduction to K-theory and TC-theory, then explain how some very basic properties of these theories can be used to give a quick proof of the Artin reciprocity law for function fields. Afterwards I'll say something about the extra topological ingredient required to handle the number field case.

Le 25 janvier 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Yohan Brunebarbe IMB

Dans quelle mesure une variété abélienne est-elle déterminée par sa p-torsion ?..

Étant donnés un corps k et un nombre premier p "assez grand", dans quelle mesure une variété abélienne définie sur k est-elle déterminée à isogénie près par sa p-torsion vue comme module galoisien ? Dans mon exposé, je m'intéresserai plus particulièrement au cas où k est un corps de fonctions de caractéristique zéro, en m'appuyant sur des résultats d'hyperbolicité pour les espaces de modules de variétés abéliennes que j'expliquerai.

Le 1er février 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anne de Roton Université de Lorraine

Ensembles de réels de petite somme

On s'intéresse aux ensembles $A$ et $B$ de réels pour lesquels l'ensemble somme $A+B$ est de petite taille. On sait que la mesure de $A+B$ est de mesure au moins la somme des mesures de $A$ et de $B$ et que l'on a égalité lorsque $A$ et $B$ sont des intervalles. En considérant les diamètres de $A$ et $B$, I. Ruzsa a cependant amélioré cette minoration. Nous expliquerons son travail et nous décrirons les ensembles $A$ et $B$ pour lesquels la taille de $A+B$ est proche de ce minorant. La considération de ce même problème dans le cercle permet d'améliorer les minorations pour les ensembles de réels et nous nous intéresserons donc aussi aux ensembles du cercle $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. Une partie de ce travail a été réalisé en collaboration avec Pablo Candela.

Le 8 février 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Arnaud Plessis Université de Caen

Points de petite hauteur dans certains groupes algébriques

Dans cet exposé, on s'intéressera aux points de petite hauteur dans certains groupes algébriques commutatifs. Dans un premier temps, on considérera des extensions infinies L de nombres algébriques telle que $\mathbb{G}_m(L)\(\mathbb{G}_m)_{tors}$ ne possède pas de points de petite hauteur. Ensuite, on s'intéressera à une conjecture récente de Rémond. Cette conjecture prédit que sur une variété abélienne ou sur une puissance du groupe multiplicatif, les points de petite hauteur, à coordonnées dans $\mathbb{Q}(\Gamma)$, avec $\Gamma$ un groupe de rang fini, se trouvent dans le saturé de $\Gamma$. Enfin, on motivera le fait que dans cette conjecture, on puisse y inclure les variétés semi-abéliennes isotriviales. Cela nous permettra de relier entre eux plusieurs résultats déjà présents dans la littérature.

Le 15 février 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Werner Bley

On the square root of the inverse different

Let $L/K$ be an odd degree Galois extension of number fields and set $G := \mathrm{Gal}(L/K)$. Let $A_{L/K}$ denote the square root of the inverse different. By a result of Erez $A_{L/K}$ is projective as a $ZG$-module if and only if $L/K$ is at most weakly ramified, i.e., for each ramified prime the second ramification subgroup (in lower numbering) is trivial. For such a weakly ramified odd degree Galois extension we define and study a canonical invariant in the relative algebraic $K$-group $K_0(ZG, QG)$ which projects to the class of $A_{L/K}$ in $K_0(ZG)$. Our results shed new light on a conjecture of Vinatier which predicts that $A_{L/K}$ is always a free $ZG$-module. This is joint work with David Burns and Carl Hahn.

Le 1er mars 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

** vacances **

Le 8 mars 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Rodolphe Richard Cambridge

Vers une conjecture d'André-Oort "arithmétique"

Nous présentons une généralisation de la conjecture d'André-Oort qui n'est pas trivialement fausse. En effet, nous la démontrons dans deux cas non triviaux (l'un, supposant GRH, avec B. Edixhoven). Tout cela en lien, et motivé par, de récents développements en équidistribution.

Le 15 mars 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Victoria Cantoral Farfán ICTP

Sur une conjecture algébrique de Sato-Tate

La conjecture de Sato-Tate, énoncée pour les courbes elliptiques sans multiplication complexe, prédit l'équidistribution de la trace de Frobenius par rapport à la mesure de Sato-Tate, donnée par le poussé en avant de la mesure de Haar sur SU(2). Nous aimerions travailler sur une question analogue pour les variétés abéliennes de dimension g > 1, appelée conjecture généralisée de Sato-Tate. En 1966, Serre présente pour la première fois des liens remarquables entre les conjectures de Mumford-Tate et de Sato-Tate et introduit la conjecture algébrique de Sato-Tate. L'objectif principal de ce séminaire est de présenter de nouveaux résultats allant dans le sens de la conjecture algébrique de Sato-Tate, en s'appuyant sur les travaux de Serre, Kedlaya et Banaszak.

Le 22 mars 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Katharina Hübner

The adic tame site

For a scheme of characteristic $p > 0$ (or mixed characteristic) étale cohomology with $p$-torsion coefficients does not behave very well: Smooth base change, cohomological purity, Poincaré duality, just to name a few, only hold for coefficients prime to the characteristic. The reason for this failure is the existence of wild ramification. This talk presents a modification of the étale topology that does not admit for wild ramification, called the tame site. For coefficients away from the characteristic the étale and tame cohomology groups are isomorphic and for $p$-torsion coefficients they are better behaved than the étale cohomology groups.

Le 29 mars 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jürg Kramer Humboldt Universität Berlin

On formal Fourier-Jacobi expansions

It is a classical fact that Siegel modular forms possess so-called Fourier-Jacobi expansions. The question then arises, given such an expansion, when does it originate from a Siegel modular form. In the complex setting, J. Bruinier and M. Raum gave a necessary and sufficient criterion when Fourier-Jacobi expansions give rise to Siegel modular forms. In our talk we would like to revisit this problem however using the arithmetic compactifications of the moduli space of principally polarized abelian varieties established by G. Faltings and C.-L. Chai. In particular, this will allow us to generalize the result of J. Bruinier and M. Raum to the arithmetic setting.

Le 5 avril 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florian Luca University of the Witwatersrand/University of Ostrava

$Y$-coordinates of Pell equations in binary recurrences

Let $d>1$ be an integer which is not a square and $(X_n,Y_n)$ be the $n$th solution of the Pell equation $X^2-dY^2=\pm 1$. Given an interesting set of positive integers $U$, we ask how many positive integer solutions $n$ can the equation $Y_n\in U$ have. We show that under mild assumptions on $U$ (for example, when $1\in U$ and $U$ contains infinitely many even integers), then the equation $Y_n\in U$ has two solutions $n$ for infinitely many $d$. We show that this is best possible whenever $U$ is the set of values of a binary recurrent sequence $\{u_m\}_{m\ge 1}$ with real roots and $d$ is large enough (with respect to $U$). We also show that for the particular case when $u_m=2^m-1$, the equation $Y_n=2^m-1$ has at most two positive integer solutions $(n,m)$ for all $d$. The proofs use linear forms in logarithms. This is joint work with Bernadette Faye.

Le 12 avril 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

César Martinez Metzmeier Universität Regensburg

Torsion dans des sous-variétés de variétés abéliennes

Soient A une variété abélienne et V une sous-variété de A. On se propose l'étude des sous-variétés de torsion de V. La finitude du nombre de sous-variétés de torsion maximales était conjecturé par Lang et prouvé par Raynaud. Dans une des évolutions postérieures de cette question, se trouve celle de savoir comment se comporte le nombre de sous-variétés de torsion maximales. Dans cet exposé, on présentera les progrès faites dans cette ligne avec Aurélien Galateau. On déterminera complètement la dependence en V et les avances pour la dependence en A du nombre de sous-variétés de torsion dans V.

Le 19 avril 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Diego Izquierdo MPIM

Espaces homogènes, K-théorie algébrique et dimension cohomologique des corps

En 1986, Kato et Kuzumaki ont formulé des conjectures cherchant à donner une caractérisation diophantienne de la dimension cohomologique des corps via la K-théorie algébrique et les points rationnels sur les hypersurfaces projectives de petit degré. Ces conjectures sont fausses en toute généralité. Dans cet exposé, on démontrera une variante des conjectures de Kato et Kuzumaki dans laquelle les hypersurfaces projectives de petit degré sont remplacées par des espaces homogènes. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Giancarlo Lucchini Arteche.

Le 3 mai 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Joao Pedro Dos Santos IMJ

Torseurs finis au-dessus des schémas sur un trait

L'étude des revêtements non ramifiés est une activité classique ayant lieu dans plusieurs contextes: topologique, analytique, algébrique ou arithmétique. Dans cet exposé je parlerai d'une théorie proposée par moi même et P. H. Hai qui étudie les $G$-torseurs finis (les revêtements) au-dessus d'un schéma propre sur un anneau de valuation discrète $A$. Je commencerai par rappeler la théorie du groupe fondamental étale. Ensuite, je passerai à la théorie du schéma en groupes fondamental de Nori---qui classifie les torseurs finis sur des variétés algébriques---dans sa version Tannakienne (héritière du Théorème de Narasimhan-Seshadri), sa version “filtrante” et sa version “trivialisable”. J'introduirai la question analogue pour des schémas définis sur $A$ et je parlerai de la solution (filtrante) proposée par Gasbarri et Antei-Emsalem-Gasbarri. Comment l'alternative “trivialisable” permet d'identifier une catégorie Tannakienne de modules cohérents sera traité après et je montrerai que le groupe attaché à cette dernière classifie en effet les torseurs finis. Pour terminer je commenterai à propos d'autres propriétés qu'une telle approche permet de dégager: relation avec la fibre spéciale, finitude de certains groupes structurels et caractérisation “fibre-à-fibre”.

Le 10 mai 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Debargha Banerjee Pune

Eisenstein cycles and Manin Drinfeld property

For a congruence subgroup of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$, a famous theorem of Manin-Drinfeld asserts that the cuspidal group is finite. We can give a criteria for finiteness of cuspidal subgroups for arbitrary subgroups of finite index by using rationality of Eisenstein cycles. In a joint work with Loic Merel.

Le 17 mai 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Roberto Gualdi IMB

Vers un théorème de Bernstein-Kouchnirenko arithmétique

Le théorème de Bernstein-Kouchnirenko permet de prédire le nombre de solutions, comptées avec multiplicité, d'un système d'équations polynomiales dans un tore. Dans cet exposé, je présenterai un cadre propice à une version arithmétique de ce résultat. Plus précisément, on verra comment la traduction combinatoire de la géomérie d'Arakelov des variétés toriques peut servir à donner des bornes supérieures pour la hauteur des solutions du système en question ; on montrera aussi, à travers des exemples, qu'une approche "en moyenne" du problème pourra se révéler plus fructueuse qu'un point de vue déterministe. Une partie de ce conte est un travail en cours avec M. Sombra et A. Yger.

Le 24 mai 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Satadal Ganguly ISI -Calcutta

Polya-Vinogradov inequality for representations of GL(n,F_p)

The classical Polya-Vinogradov inequality gives a bound (roughly of size square root of $p$) on the sum of values of a Dirichlet character modulo $p$ along a segment which is independent of the length of the segment. The proof uses Fourier Analysis on finite abelian groups. Instead of Dirichlet characters which are nothing but characters of the mutiplicative group $\mathrm{GL}(1, \mathbb{F}_p)$ of invertible elements in $\mathbb{F}_p$, the finite field of p elements, we can work with representations of the group $\mathrm{GL}(n, \mathbb{F}_p)$ for $n >1$ and try to generalise the result. I shall describe my joint work with C.S. Rajan on this question and our result for the case $n=2$. As an application, we will describe a matrix analogue of the problem of estimating the least primitive root modulo a prime.

Le 31 mai 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

***

relâche

Le 7 juin 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Daigle Université d'Ottawa

Dérivations localement nilpotentes et rationalité des variétés

Soit $X$ une variété algébrique affine sur un corps k de caractéristique zéro et soit $B = k[X]$ l'algèbre des fonctions régulières sur $X$. Si $B$ admet “beaucoup” de dérivations localement nilpotentes $D : B —> B$, alors s'ensuit-il que $X$ est une variété rationnelle ? Je parlerai de l'histoire de cette question et de quelques résultats récents.

Le 21 juin 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Grand Amphi de math - bât A33

"Iwasawa 2019"

Le 20 septembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andrea Fanelli IMB

Pathologies en caractéristique positive: torsion exotique pour 3-variétés de Fano

Dans cet exposé, je vais introduire la notion de quotient unipotent fini maximal pour un schéma en groupe sur un corps de caractéristique $p>0$. Pour le schéma de Picard, ce quotient est la “torsion exotique''. Je vais présenter des exemples de 3-variétés de Fano intègres avec torsion exotique : en utilisant la théorie des surfaces de Enriques exceptionnelles. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Stefan Schröer.

Le 27 septembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gaëtan Chenevier Orsay

Dimension des espaces de formes de Siegel pour $Sp_{2g}(\mathbf{Z})$

J'expliquerai une méthode pour calculer "sans trop se fatiguer" la dimension exacte des espaces de formes modulaires de Siegel paraboliques en niveau $Sp_{2g}(\mathbf{Z})$ et poids $k_1>=k_2>=...>=k_g>g$ arbitraires, qui fonctionne pour l'instant jusqu'à $g=8$ (record battu). Travail en commun avec Olivier Taïbi.

Le 4 octobre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jehanne Dousse Institut Camille Jordan

Les identités de Capparelli et de Primc

Une partition d'un entier n est une suite décroissante d'entiers dont la somme est n. Une identité de partitions est un théorème de la forme "pour tout entier n, le nombre de partitions de n satisfaisant certaines conditions est égal au nombre de partitions de n satisfaisant d'autres conditions". Dans les années 80, Lepowsky et Wilson ont établi un lien entre les identités de partitions de Rogers-Ramanujan et la théorie des représentations. D'autres théoriciens des représentations ont ensuite étendu leur méthode, donnant lieu à des nouvelles identités jusqu'alors inconnues des combinatoriciens et théoriciens des nombres, telles que l'identité de Capparelli et celle de Primc. Bien que ces deux identités ne semblent pas liées du point de vue de la théorie des représentations, nous montrerons que l'identité de Capparelli peut être déduite combinatoirement de celle de Primc.

Le 11 octobre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Pierre-Yves Bienvenu Institut Camille Jordan

Densité d'ensemble de sommes dans les entiers

Pour un ensemble A d'entiers, on note 2A l'ensemble des sommes de la forme a+b avec a et b dans A. On note d(A) la densité asymptotique de A. Le théorème de Kneser affirme que si la densité de 2A est inférieure au double de celle de A, alors A et surtout 2A satisfont des contraintes structurelles fortes, qui imposent notamment à la densité de 2A d'être rationnelle. La question se pose de savoir si en dehors de cette contrainte, le couple (d(A), d(2A)) est libre de prendre n'importe quelles valeurs. Nous montrons que oui. Plus généralement, nous étudions les densités des ensembles sommes itérés et déterminons partiellement les valeurs possibles des k-uplets (d(A), d(2A), d(3A), …, d(kA)). Travail réalisé avec François Hennecart.

Le 18 octobre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Razvan Barbulescu (IMB)\, travail en commun avec Sudarshan Shinde (Imj-prg)

Une classification complète des familles de courbes elliptiques adaptées à l'algorithme ECM

Le programme B de Mazur s'énonce comme suit : étant donné un sous-groupe de congruence de $\Gamma\subset \mathrm{GL}_2(\hat{\mathbb Z})$, calculer la liste (si l'ensemble est fini) ou la paramétrisation (si l'ensemble est infini) des courbes elliptiques ayant l'image de la représentation galoisienne contenue dans un groupe conjuguée à $\Gamma$. La méthode de factorisation de Lenstra (1985) requiert la recherche de familles de courbes elliptiques non CM qui ont des représentations dans $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ non-surjectives. Pour cela nous allons faire une brève revue des algorithmes de factorisation et nous allons déduire qu'il s'agit d'une application directe du programme B de Mazur. Une série de travaux récents par Rouse, Zureick-Brown, Sutherland, Zywina et Morrow ont fait des avancées sur le programme. Nous allons rappeler la méthode de Shimura (1971) pour calculer $X_\Gamma$ quand $-\mathrm{I}\in\Gamma$ et $\det\Gamma=\hat{\mathbb Z}^*$. Nous notons la surprenante efficacité de la méthode de Chabauty et de la méthode étale pour prouver qu'on possède la liste complète d'une équation diopha de genre $g\geq 2$ dans le cas particulier des courbes modulaires. Nous finirons par quelques problèmes ouverts relevant de l'algorithmique et de la théorie analytique des nombres.

Le 25 octobre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Relâche

Sans titre

Le 8 novembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Pas de séminaire : soutenance HDR G. Castagnos

Sans titre

Le 15 novembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Pas de séminaire : journée en l'honneur de Jacques Martinet

Sans titre

Inscription (gratuite) en suivant ce lien.

Le 22 novembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Pierre Le Boudec Bâle

Le principe de Hasse pour les équations diophantiennes aléatoires

Le dixième problème de Hilbert pour le corps des nombres rationnels pose la question de l'existence d'un algorithme décidant si une équation diophantienne homogène possède une solution en nombres rationnels non tous nuls. Ce problème est toujours ouvert. Fixons le degré $d$ et le nombre d'inconnues $m$ des équations considérées. Poonen et Voloch ont conjecturé que si $m>d$ et si les équations diophantiennes sont choisies aléatoirement alors, avec probabilité $1$, l'algorithme vérifiant l'existence de solutions non triviales partout localement devrait donner la réponse exacte à la question de l'existence d'une solution rationnelle non triviale. Je décrirai un travail récent en commun avec Tim Browning et Will Sawin dans lequel nous utilisons des méthodes de géométrie des nombres pour établir cette conjecture pour presque toutes les valeurs de $d$ et $m$.

Le 29 novembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alexandre Maksoud Université du Luxembourg

Théorie d'Iwasawa des représentations d'Artin et des formes modulaires de poids 1

La théorie d'Iwasawa s'intéresse à la construction d'un analogue p-adique analytique de la fonction L complexe d'un motif M, et à son interprétation en terme de l'arithmétique de M. Bien que de nature p-adique, elle a des applications à des problèmes globaux tels que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Nous discutons ici du cas des motifs attachés à des représentations d'Artin sur Q, et plus particulièrement à la représentation de Deligne-Serre d'une forme modulaire primitive de poids 1.

Le 6 décembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ivan Fesenko Nottingham

Residue characteristic 2 and effective estimates in IUT, and applications

I will talk about a recent work of 5 coauthors: Sh. Mochizuki, W. Porowski, A. Minamide, Yu. Hoshi and I. This work slightly extends the IUT theory of Shinichi Mochizuki (for an updated short description of the study of IUT see https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/rapg.pdf). It incorporates the residue characteristic at $p=2$. Using computations of Sijsling (2019) of $4$ special cases of $j$-invariants, it then produces effective estimates of constants. This leads to the proof of effective form of one of $abc$ inequalities. In applications of this form of $abc$ inequality to diophantine equations one can use two additional tools: bounds from below on their solutions and some computer verifications. This opens a vast area of further developments. In the particular case of FLT, using bounds from below obtained by Inkeri (1987) and computations by Coppersmith (1990) and Hart-Harvey-Ong (2016), this recent work proves the first case of FLT for all prime exponents and the second case of FLT for all prime exponents except those between $2^{31}$ and $9.6\times 10^{13}$.

Le 13 décembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dimitrios Chatzakos IMB

Quantum ergodicity and the Prime geodesic theorem on 3-manifolds

Quantum Ergodicity results have their origin in mathematical physics. The Quantum Unique Ergodicity of Rudnick and Sarnak is now resolved for the case of arithmetic Riemann surfaces by Lindenstrauss and Soundararajan. Prime geodesic theorems describe the asymptotic behaviour of primitive closed geodesics on hyperbolic manifolds and can be viewed as geometric analogues of the Prime number theorem. In this talk I will describe some of our recent work on these two problems for arithmetic 3-manifolds. Using triple product formulas and the Kuznetsov trace formula, the study of these two problems can be reduced to subconvexity estimates for related L-functions.

Le 20 décembre 2019 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Relâche

Le 10 janvier 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Jean-Marc Couveignes IMB

Décrire et compter les corps de nombres

Il existe plusieurs façons de décrire un corps de nombres : polynôme minimal d'un élément primitif, table de multiplication d'une $\mathbf{Q}$-base, traces d'une famille d'éléments, etc. Une description synthétique des corps de nombres permet de construire et donc de compter les corps de nombres de degré donné et de discriminant borné. Des tables construites par Cohen, Diaz et Olivier et une conjecture de Linnik suggèrent que le nombre de classes d'isomorphisme de corps de nombres de degré $n$ et de discriminant inférieur ou égal à $H$ est équivalent à $c(n)H$ quand $n>1$ est fixé et $H$ tend vers l'infini. Cette estimation est prouvée pour n=3 par Davenport et Heilbronn et pour $n=4,5$ par Bhargava. Pour $n$ quelconque Schmidt a prouvé une majoration de la forme $c(n)H^{(n+2)/4}$ à l'aide du théorème de Minkowski. Sa preuve est très effective et a permis de construire des tables. Ellenberg et Venkatesh ont montré que l'exposant de H est asymptotiquement moins que sous-exponentiel en $\log (n)$. Je rappellerai ce contexte et montrerai que l'exposant est moins que $O(\log(n)^3)$.

Le 17 janvier 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stephen Lichtenbaum Brown University

Reporté

Le 24 janvier 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Oscar Rivero Salgado Barcelone

Exceptional zeros, p-adic L-functions and Euler systems..

Beginning in the 80s with the celebrated work of Mazur, Tate and Teitelbaum, the study of exceptional zeros for p-adic L-functions has become a very fruitful area in number theory. One example is the recent proof of Gross' conjecture, which crucially relies on the theory of p-adic deformations of modular forms. In this talk, we give a historical survey of several applications of the theory of exceptional zeros, which incudes certain cases of the p-adic Birch and Swinnerton-Dyer conjecture and the Gross--Stark conjectures. We connect this with a recent result obtained in a joint work with V.Rotger, and which can be seen as a Gross--Stark formula for the adjoint of a weight one modular form. Finally, we take a glance to the theory of exceptional zeros from the point of view of Euler systems, exploring some tantalizing connections between the analytic and the algebraic world.

Le 31 janvier 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ziyang Gao IMJ-PRG

Borner le nombre de points rationnels sur une courbe

Mazur a conjecturé, après la démonstration de la conjecture de Mordell-Weil par Faltings, que le nombre de points rationnels sur une courbe de genre g définie sur un corps de nombres de degré d est borné par g, d et le rang de Mordell-Weil. Dans cet exposé je vais expliquer comment démontrer cette conjecture. J'insisterai sur les applications de la théorie de transcendance sur les corps de fonctions et de la théorie d'intersections atypiques dans la preuve. Il s'agit d'un travail en commun avec Vesselin Dimitrov et Philipp Habegger.

Le 7 février 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kęstutis Česnavičius Orsay

The Manin constant and the modular degree

By the modularity theorem, an elliptic curve $E$ over $\mathbf Q$ of conductor $N$ admits a surjection $\varphi$ from the modular curve $X_0(N)$. The Manin constant $c$ of such a modular parametrization of $E$ is the integer that scales the differential associated to the normalized newform on $\Gamma_0(N)$ determined by the isogeny class of $E$ to the $\varphi$-pullback of a Néron differential of $E$. For optimal $\varphi$ Manin conjectured his constant to be $1$, and we show that in general it divides $\operatorname{deg}(\varphi)$ under mild assumptions at the primes $2$ and $3$. This gives new restrictions on the primes that could divide the Manin constant. The talk is based on joint work with Michael Neururer and Abhishek Saha.

Le 14 février 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Benjamin Wesolowski IMB

Discrete logarithms in quasi-polynomial time in finite fields of small characteristic

We prove that the discrete logarithm problem can be solved in quasi-polynomial expected time in the multiplicative group of finite fields of fixed characteristic. In 1987, Pomerance proved that this problem can be solved in expected subexponential time $L(1/2)$. The following 30 years saw a number of heuristic improvements, but no provable results. The quasi-polynomial complexity has been conjectured to be reachable since 2013, when a first heuristic algorithm was proposed by Barbulescu, Gaudry, Joux, and Thomé. We prove this conjecture, and more generally that this problem can be solved in the field of cardinality $p^n$ in expected time $(pn)^{2 log_2(n)+O(1)}$.

Le 21 février 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Matthias Flach California Institute of Technology

Zeta functions of arithmetic surfaces and the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer..

We discuss a special value conjecture for the Zeta function of an arithmetic surface at $s=1$, and how it is equivalent to the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for the Jacobian of the generic fibre. Along the way we slightly generalize a formula due to Geisser relating the Brauer group and the Tate-Shafarevich group, and we develop some results on the eh-topology for varieties over finite fields.

Le 11 mars 2020 à 11:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 385

Cathy Swaenepoel (Montréal)\n Attention à l'horaire et au lieu inhabituels : mercredi 11 mars à 11h en salle 385

Nombres premiers avec des chiffres préassignés

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une proportion $c>0$ de chiffres préassignés en base 2 (c est une constante absolue non précisée). Nous présenterons une généralisation de ce résultat à toute base $g \geq 2$ et nous donnerons des valeurs explicites pour la proportion $c$ en fonction de $g$. Notre preuve, qui développe, précise et prolonge la stratégie de Bourgain, est fondée sur la méthode du cercle et combine des techniques d'analyse harmonique avec des résultats sur les zéros des fonctions $L$ de Dirichlet, notamment une région sans zéro très fine due à Iwaniec.

Le 13 mars 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

K. Buyukboduk Dublin

ANNULÉ

Le 20 mars 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

F. Pazuki Copenhague/Bordeaux

Sans titre

Le 27 mars 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabrizio Barroero Roma Tre

REPORTÉ

Le 3 avril 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

A. Queguiner-Mathieu Paris 13

Sans titre

Le 10 avril 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

F. Campagna Copenhague

Sans titre

Le 15 mai 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

K. Kedlaya UCSD

Sans titre

Le 5 juin 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stefan Schröer Düsseldorf

Sans titre

Le 12 juin 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anna Cadoret IMJ

Sans titre

Le 25 septembre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Francesco Campagna Copenhague

Singular moduli and $S$-units

A remarkable property of singular invariants of CM elliptic curves (singular moduli) is that they are algebraic integers. Hence it makes sense to ask, for a fixed set of rational primes S, how many singular moduli are S-units. When the set S is empty, Yu. Bilu, P. Habegger and L. Kühne have answered this question by proving that singular units do not exist. What happens now if we allow S to be a non-empty set of primes? We will discuss this problem and give partial answers.

Le 2 octobre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférence (en visio)

Francesca Balestrieri American University of Paris

Strong approximation for homogeneous spaces of linear algebraic groups

Building on work by Yang Cao, we show that any homogeneous space of the form $G/H$ with $G$ a connected linear algebraic group over a number field $k$ satisfies strong approximation off the infinite places with étale-Brauer obstruction, under some natural compactness assumptions when $k$ is totally real. We also prove more refined strong approximation results for homogeneous spaces of the form $G/H$ with $G$ semisimple simply connected and $H$ finite, using the theory of torsors and descent. (This latter result is somewhat related to the Inverse Galois Problem.)

Le 9 octobre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférence (en visio)

Efthymios Sofos Glasgow

Schinzel Hypothesis with probability 1 and rational points

Joint work with Alexei Skorobogatov, preprint: https://arxiv.org/abs/2005.02998. Schinzel's Hypothesis states that every integer polynomial satisfying certain congruence conditions represents infinitely many primes. It is one of the main problems in analytic number theory but is completely open, except for polynomials of degree 1. We describe our recent proof of the Hypothesis for 100% of polynomials (ordered by size of coefficients). We use this to prove that, with positive probability, Brauer--Manin controls the Hasse principle for Châtelet surfaces.

Le 16 octobre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Elena Berardini LIX - École polytechnique

Codes géométriques sur des familles de surfaces algébriques

Le but de cet exposé est de borner la distance minimale de codes géométriques algébriques construits sur des surfaces définies sur les corps finis. Dans un premier temps, nous étudions les codes sur deux grandes familles de surfaces algébriques : celles dont le diviseur anti-canonique est strictement nef ou anti-nef et celles qui ne contiennent pas de courbes irréductibles de petit genre. Puis, nous améliorerons ces bornes dans des familles particulières, notamment pour les surfaces minimales fibrées et les surfaces abéliennes, en utilisant la géométrie propre à ces surfaces. Il s'agit d'un travail conjoint avec Y. Aubry, F. Herbaut et M. Perret, preprint: https://arxiv.org/abs/1912.07450, à paraître dans Contemporary Maths, AMS.

Le 23 octobre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2 (en visio)

Raphael Steiner ETH\, Zurich

Fourth moments of eigenforms, the sup-norm problem, and theta functions

It is a classical problem in harmonic analysis to bound L^p-norms of eigenfunctions of the Laplacian on (compact) Riemannian manifolds in terms of the eigenvalue. A general sharp result in that direction was given by Hörmander and Sogge. However, in an arithmetic setting, one ought to do better. Indeed, it is a classical result of Iwaniec and Sarnak that exactly that is true for Hecke-Maass forms on arithmetic hyperbolic surfaces. They achieved their result by considering an amplified second moment of Hecke eigenforms. Their technique has since been adapted to numerous other settings. In my talk, I shall explain how to use Shimizu's theta function to express a fourth moment of Hecke eigenforms in geometric terms suitable for further analysis. In joint work with Ilya Khayutin and Paul Nelson, we give sharp bounds for said fourth moments in the weight and level aspect. As a consequence, we improve upon the best known bounds for the sup-norm in these aspects. In particular, we prove a stronger than Weyl-type subconvexity result.

Le 13 novembre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Marta Pieropan Utrecht

Campana points, a new number theoretic challenge

This talk introduces Campana points, an arithmetic notion, first studied by Campana and Abramovich, that interpolates between the notions of rational and integral points. Campana points are expected to satisfy suitable analogs of Lang's conjecture, Vojta's conjecture and Manin's conjecture, and their study introduces new number theoretic challenges of a computational nature.

Le 20 novembre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Xenia Spilioti Aahrus

Non-commutative harmonic analysis, spectral theory of automorphic forms and applications

In this talk we will present some recent results on the dynamical zeta functions of Ruelle and Selberg and the Fried's conjecture. Moreover, we will present topics related to spectral identities for Fourier coefficients of automorphic forms, and methods developed by Reznikov to derive Rankin-Selberg identities.

Le 27 novembre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Ariyan Javanpeykar Mayence

Hilbert's irreducibility theorem for abelian varieties

We will discuss joint work with Corvaja, Demeio, Lombardo, and Zannier in which we extend Hilbert's irreducibility theorem (for rational varieties) to the setting of abelian varieties. Roughly speaking, given an abelian variety $A$ over a number field $k$ and a ramified covering $X$ of $A$, we show that $X$ has "less" $k$-rational points than $A$.

Le 4 décembre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Gabriel Dill Oxford

Torsion points on isogenous abelian varieties

The Manin-Mumford conjecture, proven by Raynaud, predicted that a subvariety of an abelian variety over a field of characteristic zero contains a Zariski dense set of torsion points if and only if it is a union of torsion cosets, i.e. of translates of abelian subvarieties by torsion points. We study subvarieties of abelian schemes that contain a Zariski dense set of torsion points that lie on pairwise isogenous fibers. If the abelian scheme has maximal variation, conjectures of Zannier and Pink characterize such subvarieties. If everything is defined over the algebraic numbers, we prove one half of the conclusion of these conjectures: the geometric generic fiber of an irreducible such subvariety over its projection to the base is a union of torsion cosets. Our proof is based on a strategy due to Lang, Serre, Tate, and Hindry of using Galois automorphisms that act as homotheties on the torsion points. If the abelian scheme is a fibered power of the Legendre family of elliptic curves, this method yields explicit and uniform results. It also yields uniform Manin-Mumford results within a given isogeny class.

Le 11 décembre 2020 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Jiandi Zou Versailles

Représentations supercuspidales de $GL(n,F)$ distinguées par un sous-groupe unitaire

Soit $G = GL(n,F)$ avec $F$ un corps local non-archimédien de caractéristique résiduelle $p$ different de 2. On prouve que les représentations lisses supercuspidales de $G$ soient distinguées par une sous-groupe unitaire $H$, c'est-à-dire les représentations aient une forme linéaire non-triviale $H$-invariante, si et seulement si qu'elles soient invariantes par l'action galoisienne, et dans ce cas la dimension de l'espace de distinction soit 1. Ce résultat est connu et prouvé par Jacquet et Feigon-Lapid-Offen, si F est $p$-adique et les représentations sont complexes. Notre méthode, basée au théorie de type développé par Bushnell-Kutzko, est totalement différente, qui marche aussi pour les représentations $l$-modulaires avec $l$ different de $p$.

Le 8 janvier 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Ronan Terpereau Dijon

Structures réelles sur des variétés presque homogènes

Dans cet exposé nous allons nous intéresser aux structures réelles de certaines variétés algébriques complexes munies d'une action d'un groupe algébrique réductif : les variétés presque homogènes. Nous verrons comment déterminer si de telles structures existent et, le cas échéant, comment les décrire et les dénombrer. En particulier, nous tâcherons d'illustrer notre approche sur deux familles classiques de variétés presque homogènes : les variétés horosphériques (qui incluent les variétés toriques et les variétés de drapeaux) et les SL(2)-variétés presque homogènes de dimension 3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Lucy Moser-Jauslin (IMB, Dijon).

Le 22 janvier 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En Visio

Sid Mathur Düsseldorf

Searching for the impossible Azumaya Algebra

In two 1968 seminars, Grothendieck used the framework of etale cohomology to extend the definition of the Brauer group to all schemes. Over a field, the objects admit a well-known algebro-geometric description: they are represented by $\mathbb{P}^n$-bundles (equivalently: Azumaya Algebras). Despite the utility and success of Grothendieck's definition, an important foundational aspect remains open: is every cohomological Brauer class over a scheme represented by a $\mathbb{P}^n$-bundle? It is not even known if smooth proper threefolds over the complex numbers have enough Azumaya algebras! In this talk, I will outline a strategy to construct a Brauer class that cannot be represented by an Azumaya algebra. Although the candidate is algebraic, the method will leave the category of schemes and use formal-analytic line bundles to create Brauer classes. I will then explain a strange criterion for the existence of a corresponding Azumaya Algebra. At the end, I will reveal the unexpected conclusion of the experiment.

Le 29 janvier 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Robert Tichy Graz\, CIRM

Diophantine equations and linear recurrences

Le 5 février 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Gautier Ponsinet MPIM Bonn

Normes universelles de représentations galoisiennes $p$-adiques et la courbe de Fargues-Fontaine

En 1996, Coates et Greenberg ont calculé le module des normes universelles d'une variété abélienne dans une extension de corps perfectoïde. Une description précise de ce module est essentielle en théorie d'Iwasawa, notamment pour étudier les groupes de Selmer dans des extensions de corps algébriques infinies. Coates et Greenberg ont alors demandé si leur résultat pouvait s'étendre à d'autres motifs. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche de cette question se servant de la classification des fibrés vectoriels sur la courbe de Fargues-Fontaine et permettant d'y répondre positivement dans de nouveaux cas.

Le 12 février 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Annamaria Iezzi Université de la Polynésie française

Un résultat sur les fonctions rationnelles sur un corps fini à l'aide de la borne d'Hasse–Weil

La borne d'Hasse–Weil donne une estimation du nombre de points rationnels d'une courbe définie sur un corps fini et trouve plusieurs applications dans l'arithmétique sur les corps finis. En effet, dans l'étude des équations polynomiales sur les corps finis, elle représente un outil pour prouver des énoncés de type "asymptotique", c'est-à-dire quand la cardinalité du corps fini est suffisamment grande. Des exemples de tels résultats asymptotiques apparaissent, par exemple, dans la littérature des polynômes de permutation sur les corps finis. Dans cet exposé nous verrons, alors, comment utiliser cette borne pour démontrer un résultat curieux sur les fonctions rationnelles définies sur un corps fini. Ceci est un travail en commun avec Xiang-dong Hou.

Le 26 février 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Fabrizio Barroero Rome

On the Zilber-Pink conjecture for complex abelian varieties and distinguished categories.

I will report on recent joint work with Gabriel Dill in which we proved that the Zilber-Pink conjecture for a complex abelian variety A can be deduced from the same statement for its trace, i.e., the largest abelian subvariety of A that can be defined over the algebraic numbers. This gives some unconditional results, e.g., the conjecture for curves in complex abelian varieties (over the algebraic numbers this is due to Habegger and Pila) and the conjecture for arbitrary subvarieties of powers of elliptic curves that have transcendental j-invariant. While working on this project we realised that many definitions, statements and proofs were formal in nature and we came up with a categorical setting that contains most known examples and in which (weakly) special subvarieties can be defined and a Zilber-Pink statement can be formulated. We obtain some conditional as well as some unconditional result.

Le 5 mars 2021 à 16:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Türkü Özlüm Çelik Simon Fraser University\, Vancouver

KP equation in Symbolic, Numerical and Combinatorial Algebraic Geometry

The Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation is a partial differential equation that describes nonlinear wave moves. It is known that algebro-geometric approaches to the KP equation provide solutions coming from a complex algebraic curve, in terms of the Riemann theta function associated with the curve. Reviewing this relation, I will introduce an algebraic object and discuss its geometric features: the so-called Dubrovin threefold of a complex algebraic curve, which parametrizes the solutions. Mentioning the relation of this threefold with the classical algebraic geometry problem, namely the Schottky problem, I will report a procedure that is via the threefold and based on numerical algebraic geometric tools, which can be used to deal with the Schottky problem from the lens of computations. I will finally focus on the geometric behaviour of the threefold when the underlying curve degenerates. This is joint work with Daniele Agostini and Bernd Sturmfels.

Le 12 mars 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Alexandre Bailleul ENS Lyon

Zéros réels de fonctions $L$ d'Artin et biais de Tchebychev dans les corps de nombres

Le biais de Tchebychev est un phénomène observé pour la première fois par Tchebychev dans les années 1850. Celui-ci prédit qu'il y a "plus souvent" plus de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$ que de nombres premiers congrus à $1$ modulo $4$, autrement dit que $\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$ "la plupart du temps". Ce phénomène a été expliqué par Rubinstein et Sarnak en 1994, puis généralisé aux corps de nombres par Ng en 2000. Dans l'exposé, j'expliquerai comment on peut montrer que certains zéros réels de fonctions $L$ d'Artin peuvent avoir une influence considérable sur ce phénomène de biais.

Le 19 mars 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Abhishek Saha Queen Mary University\, London

Some analytic aspects of automorphic forms and L-functions

The eigenfunctions (of the Laplacian) on various geometric spaces constitute a class of mathematical objects of fundamental importance. From the point of view of quantum mechanics, the eigenfunctions correspond to particles moving with a certain energy, which leads naturally to questions motivated by subfields of physics. For example, one also has the so-called sup-norm problem, which asks how high the peaks of an eigenfunctions can be. There is also the famous "Quantum Unique Ergodicity" problem for which Lindenstrauss won a Fields medal. In this talk, I will give a gentle introduction to some of these problems in a setting where number theory plays a key role. In the special case when the manifold is a surface of constant negative structure, and is constructed from "quaternion algebras", a famous result of Iwaniec and Sarnak improves upon the trivial bound for the sup-norm using number-theoretic techniques. I will explain this result, and then talk about recent progress on an analogous question where the underlying surface is itself allowed to vary (the level aspect). I will also explain the interesting connections between these questions and deep problems in number theory such as the subconvexity problem.

Le 26 mars 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Giacomo Cherubini Prague

Prime geodesic theorem over $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}[i]$

I will give an overview of the status of the prime geodesic theorem over $\mathbb{Z}$ and $\mathbb{Z}[i]$. In the last few years this topic has been an active area of research in analytic number theory and I will describe the most recent results. The proofs rely mainly on the spectral theory of automorphic forms, but have connections to L-functions, class numbers and Kloosterman sums.

Le 2 avril 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Roberto Svaldi EPFL Lausanne

Minimal model program and foliations

A foliation on an algebraic variety is a partition of the variety into 'parallel' disjoint immersed complex submanifolds. Foliations naturally appears in a wide range of problems in algebraic geometry. I will explain recent progress in the birational classification of algebraic foliations in low dimension inspired by the theory of the Minimal Model Program. I will try to use key examples that exemplify the richness of the foliated world both in analogy and in opposition to the classical case of algebraic varieties. The talk will feature joint work with Calum Spicer.

Le 9 avril 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Corentin Darreye IMB

Oscillations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire

Le but de cet exposé est de présenter certains résultats récents concernant la majoration, la minoration et le signe des coefficients de Fourier d'une forme modulaire de poids demi-entier. Ce sujet s'inscrit dans une thématique assez générale qui consiste à mettre en évidence des oscillations et des compensations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire. En effet, ce genre de problème est intimement lié à des questions purement arithmétiques et notamment à de nombreux résultats d'équirépartition en théorie des nombres. Ainsi, après avoir fait les rappels nécessaires et afin de motiver au maximum la finalité de mon exposé, j'en profiterai pour présenter certaines de ces applications et j'insisterai particulièrement sur celles découlant du cas particulier des formes modulaires de poids demi-entier.

Le 16 avril 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Asbjørn Nordentoft Bonn

Wide moments of automorphic L-functions

Calculating the moments of L-function is a central theme in analytic number theory with applications to subconvexity and non-vanishing (which in turn has deep arithmetic implications for equidistribution problems and points counts). In this talk we will give a gentle introduction to a certain type of "wide moments", which in many cases can be calculated using geometric methods. In particular we will consider the case of Rankin--Selberg L-functions of $GL_2$ automorphic forms twisted by class group characters of an imaginary quadratic field, in which case the "wide moments" are connected to equidistribution of Heegner points using Waldspurger's formula. We will also present applications to non-vanishing.

Le 30 avril 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Nicole Raulf Lille

Sur le comportement d'un produit de fonctions L

Le comportement asymptotique de moments de fonctions L est d'un intérêt particulier en théorie des nombres. Il existe plusieurs conjectures qui prédisent le comportement asymptotique pour des familles de fonctions L qui ont le même type de symétrie, mais malheureusement il n'y a que quelque résultats pour les premiers moments connus. Dans cet exposé je vais discuter le comportement asymptotique d'un produit d'une fonction L de Hecke et d'une fonction L du carré symétrique. Il s'agit d'un travail en commun avec O. Balkanova, G. Bhowmik et D. Frolenkov.

Le 7 mai 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Angelos Koutsianas Clermont-Ferrand

Solving generalized Fermat equations with Frey hyperelliptic curves

In this talk, I will talk about Darmon's program and the resolution of the generalized Fermat equation of signature (p,p,5) using Frey hyperelliptic curves. This is joint work with Imin Chen (Simon Fraser University).

Le 21 mai 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Margaret Bilu IST Austria

Produits eulériens motiviques et théorèmes de Bertini

Le groupe de Grothendieck des variétés est le quotient du groupe abélien libre sur les classes d'isomorphisme de variétés algébriques par des relations qui permettent de découper une variété en une sous-variété et son complémentaire. Il a également une structure d'anneau provenant du produit de variétés. De nombreux résultats de théorie des nombres ont des analogues, dits motiviques, qui peuvent être formulés dans cet anneau et qui sont de nature plus géométrique. Nous allons présenter un résultat obtenu en collaboration avec Sean Howe, qui est un analogue motivique d'un célèbre théorème de Poonen; il s'agit de comprendre la probabilité qu'un polynôme homogène à n variables satisfasse certaines conditions sur son développement de Taylor en tout point, lorsque le degré tend vers l'infini. Un outil essentiel est l'introduction d'une notion de produit eulérien motivique pour écrire la valeur de la probabilité limite.

Le 28 mai 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alice Pellet-Mary IMB

Random Self-reducibility of Ideal-SVP via Arakelov Random Walks

The objective of this talk is to provide a worst case to average case reduction for the shortest vector problem in ideal lattices (ideal-SVP). More formally, the ideal-SVP problem asks, given as input an ideal of a number field (seen as a lattice), to find a soemhow short vector of the ideal. With our worst-case to average-case reduction, we show that, given as input any ideal, it is possible to re-randomize it in a way that any short vector of the rerandomized ideal can be transformed back into a short vector of the input ideal. In other words, this shows that in order to solve ideal-SVP for all lattices, it is sufficient to be able to solve it with non-negligible probability for a random ideal. The rerandomizetion procedure uses a random walk in the Arakelov class group, which was shown to provide a ``uniform'' ideal (for some appropriate definition of ``uniform''). This is a joint work with Koen de Boer, Léo Ducas and Benjamin Wesolowski

Le 4 juin 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Bouchaïb Sodaïgui UPHF Valenciennes

Structure galoisienne de puissances de la différente

Je présenterai le problème des classes galoisiennes réalisables par des puissances de la différente et quelques conjectures. Ensuite, je traiterai le cas où le groupe de Galois est d'ordre un nombre premier.

Le 11 juin 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Alexandre Maksoud Luxembourg

Conjectures principales et extra zeros pour les motifs d'Artin

La théorie d'Iwasawa est un outil puissant permettant, entre autres, d'attaquer la conjecture de Bloch et Kato prédisant un lien entre valeurs spéciales de fonctions L et certains invariants arithmétiques. Dans les grandes lignes, cela nécessite de construire une fonction L p-adique attachée à un motif M et un nombre premier p donnés, d'analyser ses zéros triviaux lorsqu'ils existent, et prouver une "conjecture principale d'Iwasawa" pour le motif M. Le but de cet exposé est de formaliser cette approche lorsque M provient d'une représentation d'Artin non-ramifiée en p. Nous montrerons aussi en quoi nos conjectures généralisent et unifient diverses conjectures et théorèmes apparaissant dans la littérature, telles que la conjecture de Gross-Stark ou la récente conjecture principale "en rang supérieur" de Burns, Kurihara et Sano. Enfin, si le temps le permet, nous donnerons une application inconditionnelle de nos techniques à la conjecture de Gross-Kuz'min.

Le 18 juin 2021 à 16:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Peter Humphries Virginia

Zeroes of Rankin-Selberg L-Functions and Nonsplit Quantum Ergodicity

Rudnick and Sarnak have conjectured that the L^2-mass of Laplacian eigenfunctions of a negatively curved surface should equidistribute in the large Laplacian eigenvalue limit. This is known as the quantum unique ergodicity conjecture. When this surface is the modular surface, these eigenfunctions are a type of automorphic form called Maass forms, and this conjecture is implied by nontrivial bounds for special values of certain Rankin-Selberg L-functions associated to these automorphic forms. I will discuss a generalisation of this conjecture involving the restriction to the modular surface of automorphic forms associated to quadratic number fields, and how progress towards this conjecture is dependent on nontrivial bounds for certain Rankin-Selberg L-functions. This is joint work with Jesse Thorner.

Le 25 juin 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Visio

Farrell Brumley Sorbonne Paris Nord

Equidistribution simultanée des orbites toriques

Un résultat bien connu de Duke montre que les courbes elliptiques ayant de la multiplication complexe par l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire de grand discriminant s'équidistribuent, selon la mesure de Poincaré, sur la courbe modulaire. La preuve moderne de ce théorème s'appuie sur une borne sous-convexe des fonctions L tordues par un caractère quadratique. On parlera dans cet exposé des variantes du théorème de Duke sur deux copies de la courbe modulaire, ou, plus généralement, sur deux courbes de Shimura, distinctes ou pas. Dans ce contexte, l'équidistribution simultanée des points CM n'est plus gouvernée pas une borne de sous-convexité, mais par des propriétés analytiques plus fines, inaccessibles sans l'hypothèse de Riemann. Il s'agit d'un travail en commun avec Blomer et Khayutin.

Le 2 juillet 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Javier Fresán École polytechnique

Une fonction E non hypergéométrique

Les fonctions E sont des séries entières à coefficients algébriques qui satisfont à une équation différentielle et à certaines conditions de croissance ; elles ont été introduites par Siegel dans un article révolutionnaire de 1929 avec le but de généraliser les théorèmes de transcendance pour les valeurs de la fonction exponentielle. Outre l'exponentielle, des exemples incluent les fonctions de Bessel et une famille riche de séries hypergéométriques. Siegel a posé la question : est-ce que toute fonction E peut s'écrire comme une expression polynomiale en des fonctions hypergéométriques ? Dans un travail récent, Fischler et Rivoal montrent qu'une réponse positive à cette question contredirait une forme de la conjecture de périodes de Grothendieck. Dans mon exposé, j'expliquerai comment la théorie de Galois différentielle fournit une réponse négative inconditionnelle à la question de Siegel, et même des exemples explicites de fonctions E qui ne sont pas de type hypergéométrique. Il s'agit d'un travail en commun avec Peter Jossen.

Le 24 septembre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dimitrios Chatzakos IMB\, Patras

Distribution of lattice points on hyperbolic circles

Using motivation from results for lattice points on the euclidean plane, we'll discuss some refined equidistribution results for lattice points arising from the action of the modular group on the hyperbolic plane. This is a joint work with P. Kurlberg, S. Lester and I. Wigman.

Le 1er octobre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Florian Luca University of the Witwatersrand\, Johannesburg

Universal Skolem Sets..

Coauthors: J. Ouaknine (Max--Planck Saabr"ucken), J. B. Worrell (Oxford). The celebrated Skolem--Mahler--Lech theorem asserts that if ${\bf u}:=(u_n)_{n\ge 0}$ is a linearly recurrent sequence of integers then the set of its zeros, that is the set of positive integers $n$ such $u_n=0$, form a union of finitely many infinite arithmetic progressions together with a (possibly empty) finite set. Except for some special cases, is not known how to bound effectively all the zeros of ${\bf u}$. This is called {\it the Skolem problem}. In this talk we present the notion of a {\it universal Skolem set}, which an infinite set of positive integers ${\mathcal S}$ such that for every linearly recurrent sequence ${\bf u}$, the solutions $u_n=0$ with $n\in {\mathcal S}$ are effectively computable. We present a couple of examples of universal Skolem sets, one of which has positive lower density as a subset of all the positive integers.

Le 7 octobre 2021 à 11:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~efloris/sitoBdPo21.html

Rencontre Bordeaux-Poitiers de Géométrie Algébrique

Le 8 octobre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lola Thompson Utrecht

Summing $\mu(n)$: an even faster elementary algorithm

We present a new elementary algorithm for computing $M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n),$ where $\mu(n)$ is the M"{o}bius function. Our algorithm takes \[\begin{aligned} \mathrm{time} \ \ O_\epsilon\left(x^{\frac{3}{5}} (\log x)^{\frac{3}{5}+\epsilon} \right) \ \ \mathrm{and}\ \ \mathrm{space} \ \ O\left(x^{\frac{3}{10}} (\log x)^{\frac{13}{10}} \right)\end{aligned},\] which improves on existing combinatorial algorithms. While there is an analytic algorithm due to Lagarias-Odlyzko with computations based on the integrals of $\zeta(s)$ that only takes time $O(x^{1/2 + \epsilon})$, our algorithm has the advantage of being easier to implement. The new approach roughly amounts to analyzing the difference between a model that we obtain via Diophantine approximation and reality, and showing that it has a simple description in terms of congruence classes and segments. This simple description allows us to compute the difference quickly by means of a table lookup. This talk is based on joint work with Harald Andr'{e}s Helfgott.

Le 15 octobre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Roberto Pirisi Rome Sapienza

Brauer groups of moduli stacks via cohomological invariants

Given an algebraic variety X, the Brauer group of X is the group of Azumaya algebras over X, or equivalently the group of Severi-Brauer varieties over X, i.e. fibrations over X which are étale locally isomorphic to a projective space. It was first studied in the case where X is the spectrum of a field by Noether and Brauer, and has since became a central object in algebraic and arithmetic geometry, being for example one of the first obstructions to rationality used to produce counterexamples to Noether's problem of whether given a representation V of a finite group G the quotient V/G is rational. While the Brauer group has been widely studied for schemes, computations at the level of moduli stacks are relatively recent, the most prominent of them being the computations by Antieau and Meier of the Brauer group of the moduli stack of elliptic curves over a variety of bases, including Z, Q, and finite fields. In a recent series of joint works with A. Di Lorenzo, we use the theory of cohomological invariants, and its extension to algebraic stacks, to completely describe the Brauer group of the moduli stacks of hyperelliptic curves, and their compactifications, over fields of characteristic zero, and the prime-to-char(k) part in positive characteristic. It turns out that the Brauer group of the non-compact stack is generated by elements coming from the base field, cyclic algebras, an element coming from a map to the classifying stack of étale algebras of degree 2g+2, and when g is odd by the Brauer-Severi fibration induced by taking the quotient of the universal curve by the hyperelliptic involution. This paints a richer picture than in the case of elliptic curves, where all non-trivial elements come from cyclic algebras. Regarding the compactifications, there are two natural ones, the first obtained by taking stable hyperelliptic curves and the second by taking admissible covers. It turns out that the Brauer group of the former is trivial, while for the latter it is almost as large as in the non-compact case, a somewhat surprising difference as the two stacks are projective, smooth and birational, which would force their Brauer groups to be equal if they were schemes.

Le 22 octobre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Luming Zhao IMB

Cohomologie galoisienne des corps $p$-adiques et $(\varphi, \tau)$-modules.

Dans cet exposé, je construirai plusieurs complexes de Herr explicites qui calculent la cohomologie galoisienne d'une représentation p-adique du groupe de Galois absolu des corps de valuation discrète complets de caractéristique $0$ à corps résiduels parfaits de caractéristique $p$, en utilisant les $(\varphi,\tau)$-modules associés (définis par Xavier Caruso), au lieu des $(\varphi,\Gamma)$-module. Je donnerai également une application aux groupes $p$-divisibles.

Le 29 octobre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Federico Scavia UCLA\, Los Angeles

Dimension essentielle et déformations

La dimension essentielle d'un objet algébro-géométrique est le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour le décrire. Soit G un groupe algébrique linéaire. Je discuterai du comportement en familles de la dimension essentielle des G-variétés génériquement libres et je donnerai des applications de saveur géométrique et arithmétique. Il s'agit d'un travail commun avec Z. Reichstein.

Le 12 novembre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Robin Riblet Nancy

Ensembles de Sidon

Un ensemble de Sidon d'un semi-groupe est un ensemble dont toutes les sommes de deux éléments sont distinctes. Des travaux de Erdös, Turàn, Chowla et Singer établissent que le cardinal maximal d'un ensemble de Sidon dans un intervalle d'entiers de cardinal $n$ est équivalent à $\sqrt{n}$. Nous nous intéresserons au cardinal maximal d'un ensemble de Sidon dans l'union (de cardinal $n$) de deux intervalles. Un résultat d'Abbott affirme qu'il est supérieur à $0,0805\sqrt{n}$. Nous améliorerons cette borne et prouverons que ce cardinal est en fait supérieur à $0,8444\sqrt{n}$. D'autre part, nous montrerons qu'il est également inférieur à $\sqrt{n}$. Nous parlerons également d'autres résultats à propos des ensembles de Sidon et d'une de leurs généralisations : les ensembles $B_2[g]$.

Le 19 novembre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Ana-Maria Castravet Versailles Paris Saclay

Non-polyhedral effective cones

I will discuss joint work with Antonio Laface, Jenia Tevelev and Luca Ugaglia on constructing examples of projective toric surfaces whose blow-up at a general point has a non-polyhedral effective cone. A class of such surfaces can be constructed from what we call Lang-Trotter polygons; in this case, the effective cone is non-polyhedral in characteristic 0 and in characteristic p, for an infinite set of primes p of positive density. As a consequence, we prove that the effective cone of the Grothendieck-Knudsen moduli space of stable rational curves with n markings is not polyhedral for n>=10, both in characteristic 0 and in every prime characteristic p.

Le 26 novembre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Abhinandan IMB

Crystalline representations and Wach modules in the relative case

In this talk, we will introduce the notion of Wach modules in the relative setting, generalizing the arithmetic case. Over an unramified base, for a p-adic representation admitting such structure, we will examine the relationship between its relative Wach module and filtered $(\varphi, \partial)$-module. Further, we will show that such a representation is crystalline (in the sense of Brinon), and one can recover its filtered $(\varphi, \partial)$-module from the relative Wach module. Conversely, for low Hodge-Tate weights [0, p-2], we will construct relative Wach modules from free relative Fontaine-Laffaille modules (in the sense of Faltings).

Le 3 décembre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Giuseppe Ancona Strasbourg

La conjecture standard de type Hodge pour les variétés abéliennes de dimension quatre

Soient S une surface algébrique, V le Q-espace vectoriel des diviseurs sur S modulo équivalence numérique et d la dimension de V. Le produit d'intersection définit un accouplement parfait sur V. Le théorème de l'indice de Hodge dit qu'il est de signature (1,d-1). Dans les années soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés de dimension arbitraire. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge-Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. A l'aide de formules du produit classiques sur les formes quadratiques nous allons traduire cette question de signature en un problème p-adique. Il se trouve que ce dernier peut être attaqué avec la théorie de Hodge p-adique. Cela nous permettra de démontrer la question originale pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

Le 10 décembre 2021 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Thomas Geisser Rikkyo University\, Tokyo

A Weil-etale version of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

We'll explain the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture for abelian varieties over global fields. If the field is of characteristic p, we give a reformulation in terms of Weil-etale cohomology of the Neron-model and show that it holds if the Tate-Shafarevich group is finite.

Le 7 janvier 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Séminaire reporté.

Le 14 janvier 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Léo Poyeton IMB

Relèvement du corps des normes

Un outil intéressant pour étudier les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d'une extension finie de Qp est la théorie des (phi,Gamma)-modules cyclotomiques de Fontaine, qui repose notamment sur un relèvement en caractéristique 0 du corps des normes de l'extension cyclotomique. Dans cet exposé, on s'intéressera à la question suivante : par quelles extensions galoisiennes L/K peut-on remplacer l'extension cyclotomique pour construire une théorie des (phi,Gamma)-modules ? On montrera que, sous une hypothèse additionnelle portant sur le Frobenius, une telle extension est nécessairement engendrée par les points de torsion d'un groupe de Lubin-Tate relatif, et que les séries donnant l'action du groupe de Galois de l'extension L/K sont, à twist près, semi-conjuguées aux endomorphismes du même groupe de Lubin-Tate relatif.

Le 21 janvier 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Julia Schneider Toulouse

Generating the plane Cremona group by involutions

Cremona groups are the groups of birational transformations of a projective space. The structure of these groups depends on the dimension of the projective space, and on the field over which the transformations are defined. In this talk I consider the Cremona group of the plane over a perfect field and proof that they are generated by involutions. I will explain how to decompose such birational maps into Sarkisov links and how this gives a generating set of the plane Cremona group. Afterwards, I will decompose them into involutions, among them are Geiser and Bertini involutions as well as reflections in an orthogonal group associated to a quadratic form. This is joint work with Stéphane Lamy.

Le 28 janvier 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

En visio

Andrea Di Lorenzo Humboldt\, Berlin

Integral Chow ring of moduli of stable 1-pointed curves of genus two

Moduli of curves play a prominent role in algebraic geometry. In particular, their rational Chow rings have been the subject of intensive research in the last forty years, since Mumford first investigated the subject. There is also a well defined notion of integral Chow ring for these objects: this is more refined, but also much harder to compute. In this talk I will present the computation of the integral Chow ring of moduli of stable 1-pointed curves of genus two, obtained by using a new approach to this type of questions (joint work with Michele Pernice and Angelo Vistoli).

Le 4 février 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Farrell Brumley Paris Nord

La conjecture de mélange de Michel--Venkatesh

Les problèmes de Linnik, résolus par Duke il y a une trentaine d'années, portent sur l'équirépartition des orbites toriques de grand discriminant dans les espaces homogènes associés au groupe des unités des algèbres de quaternions. L'exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des points entiers sur la sphère, parfois appelés points de Linnik (on peut également penser aux points CM sur la courbe modulaire). La résolution complète des problèmes de Linnik, achevée par Michel et Venkatesh, a marqué une période d'échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes automorphes. Par leur description comme orbite torique, les points de Linnik reçoivent une action transitive du groupe de Picard d'un ordre quadratique. Dans les actes de l'ICM en 2006, Michel et Venkatesh proposent une conjecture, dite ``de mélange”, qui mesure la complexité de cette action, et qui se traduit par un énoncé d'équirépartition sur le groupe produit G x G; il s'agit donc d'un raffinement quadratique des problèmes de Linnik. Après avoir expliqué la progression de ces idées, j'expliquerai une preuve de la conjecture, conditionnelle sous l'hypothèse de Riemann généralisée, qui fait intervenir un joli mélange d'objets en théorie analytique des nombres: les formes automorphes et leurs périodes, un point de vue probabiliste sur le comportement des valeurs spéciales des fonctions L en familles, ainsi que les valeurs moyennes des fonctions multiplicatives. Travail en commun avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin.

Le 11 février 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vladimiro Benedetti Dijon

Automorphismes de sections linéaires de Grassmanniennes

Il s'agit d'un travail en commun avec L. Manivel. Etant donnée une Grassmannienne complexe généralisée, on étudie les sections hyperplanes linéaires de son plongement minimal. En particulier, on montre que, sauf des cas bien compris, tous les automorphismes d'une section lisse s'étendent en un automorphisme de la Grassmannienne ambiante. Pour obtenir ce résultat, on étudie les espaces linéaires et les quadriques contenues dans la Grassmannienne et dans la section hyperplane.

Le 18 février 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gregorio Baldi IHES

The Hodge locus

I will report on a joint work with Klingler and Ullmo. Given a polarizable variation of Hodge structure on a smooth quasi projective variety S (e.g. the one associated to a family of pure motives over S), Cattani, Deligne and Kaplan proved that its Hodge locus (the locus of closed points of S where exceptional Hodge tensors appear) is a *countable* union of closed algebraic subvarieties of S. In this talk I will discuss when this Hodge locus is actually algebraic. If time permits I will explain how such algebraicity result complements the Lawrence-Venkatesh method.

Le 25 février 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Vacances d'Hiver

Le 4 mars 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Lucile Devin Université du Littoral

Disparité dans la répartition des premiers de Gauss

Etant donné un premier congru à 1 modulo 4, on peut l'écrire de façon unique comme une somme de deux carrés d'entiers positifs $a^2 +4b^2$, l'un pair et l'autre impair. Que peut-on dire de la répartition de l'entier impair a modulo 4 ? Une conséquence de résultats de Hecke est que les classes 1 et 3 sont asymptotiquement autant représentées. Cependant, les données sont surprenantes, il semble qu'il y a plus de premiers avec a congru à 1 modulo 4. On donnera un argument heuristique basé sur la généralisation de l'approche de Rubinstein et Sarnak des biais de Chebyshev pour expliquer cette observation.

Le 11 mars 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kazim Buyukboduk University College Dublin

Heegner cycles in families and Gross-Zagier at critical slope

I will report on joint work with R. Pollack and S. Sasaki, where we prove a p-adic Gross–Zagier formula for critical slope (but non-\theta-critical) p-adic L-functions. Besides the strategy for our proof, which involves interpolation of Heegner cycles in Coleman families, I will illustrate two applications. The first is the proof of a conjecture of Perrin-Riou, which predicts an explicit (p-adic) construction of a generator of the Mordell–Weil group of an elliptic curve of analytic rank one. The second is a BSD formula for elliptic curves of analytic rank one.

Le 18 mars 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Fabio Bernasconi EPFL Lausanne

Sur les relèvements des surfaces globalement F-scindée

Étant donné une variété projective X sur un corps algébriquement clos k de caractéristique positive, c'est intéressante comprendre les éventuelles obstructions géométriques et arithmétiques à l'existence d'un relèvement en caractéristique nulle. Motivée par le cas des variétés abéliennes et des surfaces K3, on conjecture que les variétés de Calabi-Yau ordinaires devraient admettre un relèvement sur l'anneau des vecteurs de Witt W(k). Je rapporterai un travail conjoint avec I. Brivio, T. Kawakami et J. Witaszek où nous montrons que les surfaces globalement F-scindées (qui peuvent être pensée comme des surfaces log Calabi-Yau qui se comportent arithmétiquement bien) sont relevable sur W(k). Comme corollaire, on déduit la borne de Bogomolov sur le nombre de points singuliers des surfaces klt del Pezzo F-scindées.

Le 25 mars 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

João Pedro Dos Santos Paris\, Montpellier

Groupes de Galois pour les équations différentielles sur un trait.

Dans cet exposé, je parlerai de quelques propriétés des schémas en groupes affines sur un trait R qui apparaissent comme des groupes de Galois différentiels. La théorie de Galois différentielle -- dans le contexte classique -- a pour objectif associer des groupes linéaires aux EDOs. Dès que les équations dépendent d'un paramètre (D-modules sur R), deux théories s'imposent: les schémas en groupes affines, et les catégories tannakiennes. Avec quelques exemples simples, je montrerai comment ces deux théories se rencontrent dans le contexte "D-Galoisien.'' Dans la suite, j'introduirai les éclatements de Néron et "formels" pour donner une idée du type de schémas en groupes qui peuvent jouer un rôle dans la théorie différentielle. Enfin, je parlerai d'une façon importante pour calculer explicitement. Dans la théorie classique, un résultat central, le théorème de Schlesinger, permet le calcul à partir de l'analyse complexe: pour les "singularités régulières" le groupe de Galois est la clôture du groupe de monodromie. J'expliquerai comment obtenir un tel théorème dans le contexte relatif et montrerai que des exemples de schémas en groupes assez exotiques apparaissent naturellement.

Le 1er avril 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Dorian Berger (Université de Caen) null

Morphismes étales entre espaces de Berkovich sur Z : critères par fibres et structure locale

La géométrie de Berkovich a pour avantage de permettre la construction d'espaces analytiques sur un anneau de Banach quelconque. En particulier, on peut construire des espaces analytiques sur Z muni de la valeur absolue usuelle et on obtient dans ce cas des espaces naturellement fibrés en espaces analytiques complexes et p-adiques. Dans cet exposé, on se propose d'étudier les morphismes étales entre de tels espaces, induisant un isomorphisme local entre les fibres complexes et un morphisme étale au sens classique entre les fibres p-adiques. On détaillera plus particulièrement les arguments de restriction à la fibre. Les méthodes utilisées permettent d'obtenir les résultats sur une classe d'anneaux plus générale, comprenant les corps valués complets, les anneaux d'entiers de corps de nombres et les anneaux de valuation discrète.

Le 8 avril 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sara Mehidi (IMB) null

Prolongement des torseurs via les log schéma

"On présente ici une approche du problème de prolongement des torseurs définis sur la fibre générique d'une famille de courbes. La question est de prolonger chacun du groupe structural et de l'espace total du torseur au dessus de la famille.L'origine de ce problème remonte au travaux de Grothendieck, qui, au début des années 1960, a donné une bonne définition du groupe fondamental de variétés algébriques, basée sur la notion de revêtements étales galoisiens. Le problème du prolongement des torseurs sous un groupe constant, d'ordre premier à la caractéristique résiduel, a été résolu. Lorsqu'on est intéressé par les variétés algébriques d'un point de vue arithmétique, il est naturel de considérer des torseurs sous un groupe fini non nécessairement constant : on parle de torseurs fppf. On se donne alors un torseur fppf pointé sur une courbe et on cherchera à le prolonger sur un modèle régulier de cette dernière. On sait déjà qu'un prolongement fppf n'existe pas toujours, on se placera alors dans une catégorie plus large, à savoir, celle des torseurs logarithmiques. On montrera en particulier que l'existence d'un tel prolongement revient à prolonger des schémas en groupes et des morphismes entre eux. Puis, on cherchera à calculer l'obstruction à relever le torseur log prolongé en un torseur fppf."

Le 6 mai 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Gal Porat (Chicago) null

Locally analytic vector bundles on the Fargues-Fontaine curve

The category of p-adic representations of $Gal(\overline{Q_p}/Q_p)$ embeds fully faithfully into the category of equivariant vector bundles on the Fargues-Fontaine curve. In this talk we present recent work, where we show every such equivariant vector bundle descends canonically to a locally analytic vector bundle, an object equipped with a connection. Next, we shall focus on potentially semistable locally analytic vector bundles (for example, these coming from potentially semistable representations of $Gal(\overline{Q_p}/Q_p))$. We shall explain how to interpret invariants of these objects in terms of solutions to p-adic differential equations on the locally analytic vector bundle.

Le 13 mai 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Giulio Codogni (Rome Tor Vergata) null

Characterizing Jacobians via the KP equation and via flexes and degenerate trisecants to the Kummer variety: an algebro-geometric approach.

"I will present algebro-geometric proofs of a theorem by T. Shiota, and of a theorem by I. Krichever. These results characterize Jacobians of algebraic curves among all irreducible principally polarized abelian varieties. Shiota's characterization is in terms of the KP equation. Krichever's characterization is in terms of trisecant lines to the Kummer variety; I will discuss only the degenerate case of his result. The proofs rely on a new theorem asserting that the base locus of a complete linear system on an abelian variety is reduced. The talk is based on a joint work with E. Arbarello and G. Pareschi."

Le 20 mai 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Stefan Schröer (Düsseldorf) null

Para-abelian varieties and the Albanese map

We show that for each scheme that is separated and of finite type over a field, and whose affinization is connected and reduced, there is a universal morphism to some para-abelian variety. The latter are schemes that acquire the structure of an abelian variety after some ground field extension. This extends a classical result of Serre. The proof relies on the corresponding result in the proper case, which was obtained before in a joint work with Bruno Laurent. The open case also relies on Macaulayfication, removal of singularities by alterations, pseudo-rational singularities, and Bockstein maps.

Le 3 juin 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Jean-Louis Verger-Gaugry (Université Savoie Mont Blanc) null

An attack of the Conjecture of Lehmer by the dynamical zeta function of the $beta$-shift, and the modulo $p$ problem

"The present work proposes an attack of the Conjecture of Lehmer by the dynamical zeta function of the $\beta$-shift to prove that this Conjecture is true (math NT> arXiv:1911.10590(29 Oct 2021)). In 1933 Lehmer asked the question about the existence of integer polynomials having a Mahler measure different of one, smaller than Lehmers number (and arbitrarily close to one). The problem of Lehmer became a Conjecture, stating that there exists a universal lower bound $> 1$ to the Mahler measures of the nonzero algebraic integers which are not roots of unity. The problem of the minoration of the Mahler measure of algebraic integers is a very deep one and has been extended in the theory of heights in arithmetic geometry.The main ingredients arise from the lenticular poles of the dynamical zeta functions $\zeta_\beta(z)$ of the RényiParry arithmetical dynamical ($\beta$-shift), with $\beta> 1$ any real number tending to one, to which a lenticular measure can be associated, satisfying a Dobrowolski-type inequality with the dynamical degree of $\beta$ . When $\beta$ runs over the set of nonzero reciprocal algebraic integers, under some assumptions, the lenticular poles are identified with conjugates of $\beta$, using Kala-Vavras periodic representation theorem (2019), and this lenticular measure is identified with a minorant of the Mahler measure of $\beta$.Though expressed as hypergeometric functions (Mellin, 1915) the lenticularity of the poles only appears when using their Poincaré asymptotic expansions, in the angular sector guessed by M. Langevin, G. Rhin and C. Smyth, G. Rhin and Q. Wu.We show that the search for very small Mahler measures calls for investigating the factorization of integer polynomials in a class of lacunary polynomials canonically associated to the functions $\zeta_\beta(z)$, that this problem is linked to the number of zeroes of these polynomial in $\mathbb{F}_p$, to their asymptotic limit when $p$ tends to infinity, and questions on the existence of modular forms by the Langlands program.Whether Lehmers number is the smallest Mahler measure $>1$ of algebraic integers remains open."

Le 10 juin 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Alice Bouillet (Rennes) null

Espace de modules des $p$ algèbres de Lie.

"Sur les corps de caractéristique p>0, l'algèbre de Lie d'un groupe ne donne pas autant d'information qu'en caractéristique 0. Cependant, une structure supplémentaire appelée""p-application"" nous permet de reconstruire au moins les noyaux de Frobenius du groupe.Dans cet exposé, nous donnerons les définitions et les propriétés essentielles pour mieux comprendre les ""p-applications"", puis nous allons décrire le lieu restreignable de l'algèbre de Lie universelle(i.e. le lieu où elle admet une p-application), et l'espace de modules des p-algèbres de Liesur la stratification applatissante de son centre (car nous verrons que ce dernier joue un rôle clé).Enfin, nous revisiterons l'exemple classique de l'espace de modules L_3 des algèbres de Lie de rang 3en montrant qu'il est représentable sur l'anneau des entiers. En utilisant la très jolie théorie de la liaison,nous montrerons qu'il est plat, de présentation finie, avec deux composantes irréductibles plates sur Z,avec des fibres géométriques intègres et Cohen-Macaulay.Grâce à cette description de L_3 et grâce à une extension de l'équivalence de catégorie classique entreles groupes de hauteur 1 et les p-algèbres de Lie, nous pourrons décrire l'espace des modules des groupes algébriques de hauteur 1 d'ordre p^3."

Le 17 juin 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Joaquín Rodrigues Jacinto (Paris Saclay) null

Représentations localement analytiques solides de groupes de Lie p-adiques

J'expliquerai un travail en commun avec Juan Esteban Rodríguez Camargo où on reformule la théorie des représentations localement analytiques de Schneider-Teitelbaum à l'aide des mathématiques condensées de Clausen et Scholze. On appliquera ce formalisme pour généraliser des théorèmes classiques de comparaison entre différents types de cohomologie (continue, localement analytique et de l'algèbre de Lie) de telles représentations dûs à Lazard, ainsi que pour démontrer un nouveau résultat de comparaison.

Le 23 septembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Elena Berardini (TU Eindhoven) null

Nombre de points rationnels des courbes sur une surface de $\mathbb{P}^3$

"Le nombre de points rationnels dune courbe $C$ projective lisse absolument irréductible de genre $g$ définie sur le corps fini $\mathbb{F}_q$ est borné par la célèbre borne de SerreWeil, à savoir $\#C(\mathbb{F}_q) \le q + 1 + g\lfloor 2\sqrt{q}\rfloor$. Cette borne a été étendue aux courbes singulières par Aubry et Perret. Dans leur ouvrage fondamental de 1986, Stöhr et Voloch ont introduit les ordres de Frobenius dune courbe projective et les ont utilisés pour donner une borne supérieure sur le nombre de points rationnels de la courbe. Près de 30 ans plus tard, Homma a prouvé que le nombre de $\mathbb{F}_q$points sur une courbe non dégénérée de degré $\delta$ plongée dans $\mathbb{P}^n$, avec $n\ge 3$, ne dépasse pas $q(\delta 1) + 1$. Tous ces résultats améliorent la borne originale de SerreWeil pour un régime de paramètres, et traitent souvent de courbes plus générales, e.g. réductibles et/ou singulières. De telles bornes sont intéressantes en soi, et savèrent également utiles pour des applications à la théorie des codes.Dans cet exposé, nous allons montrer que le nombre de points rationnels dune courbe irréductible de degré $\delta$ définie sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ et plongée dans une surface $S$ de $\mathbb{P}^3$ de degré $d$ est, sous certaines conditions, borné par $\delta(d+q1)/2$. Dans un certain intervalle de $\delta$ et $q$, ce résultat améliore toutes les autres bornes connues dans le contexte des courbes de $\mathbb{P}^3$. La méthode utilisée sinspire des techniques développées par Stöhr et Voloch. Après avoir rappelé quelques résultats généraux sur la théorie des ordres dune courbe de $\mathbb{P}^3$, nous allons étudier les propriétés arithmétiques des courbes plongées sur une surface de $\mathbb{P}^3$, pour ensuite prouver la borne.Il sagit dun travail en commun avec J. Nardi."

Le 30 septembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Comité d'organisation : Philippe Lebacque\, Cecília Salgado\, Fabien Pazuki. null

Diophantine Geometry and L-functions: Hindry 65 - 26-30 septembre 2022 - Salle de conférences IMB

Le 7 octobre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Anne Quéguiner-Mathieu (Paris 13) null

Formes quadratiques, Groupes algébriques et équivalence motivique.

Deux formes quadratiques sont dites motiviquement équivalentes si les quadriques projectives associées ont des motifs isomorphes. Vishik a donné une caractérisation purement algébrique de léquivalence motivique. Cette dernière montre que le motif dune quadrique encode les propriétés de déploiement de la forme quadratique sous-jacente. Dans cet exposé, nous expliquerons comment ce résultat sétend au cadre plus général des groupes algébriques. Il sagit dun travail commun avec Charles De Clercq et Maksim Zhykhovich.

Le 14 octobre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Sanoli Gun (IMSc\, Chennai) null

Bound of Fourier coefficients of half integer weight cusp forms

"After a review of the known results,we will report on a work with W. Kohnen andK. Soundararajan about lower bound of Fouriercoefficients of half integral weightcusp forms at fundamental discriminants."

Le 21 octobre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Riccardo Brasca null

Formalisation des mathématiques et l'assistant de preuve Lean

"Je vais parler dans cet exposé de formalisation des mathématiques, le processus ""d'expliquer"" des théorèmes à un ordinateur. J'expliquerai comment fonctionnent les assistants de preuve et pourquoi ils peuvent être utiles pour les mathématiciens. Je raconterai aussi l'histoire d'un projet dont le but était la formalisation d'un résultat très récent de Clausen et Scholze. Je terminerai en montrant en pratique Lean, un des assistants de preuve les plus utilisés aujourd'hui. Cet exposé n'est pas à propos des fondements des mathématiques, en particulier aucune connaissance autour de la formalisation est requise."

Le 28 octobre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

Gautier Ponsinet (IMB) null

"Groupes de Bloch-Kato, corps perfectoïdes et théorie d'Iwasawa

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"Les groupes de Selmer de Bloch-Kato associés à une représentationgéométrique du groupe de Galois d'un corps de nombres interviennent dansles conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales de fonctionsL. En théorie d'Iwasawa, on s'intéresse à la structure de ces groupessur des extensions de corps infinies. Pour ce faire, il est nécessaired'étudier certains groupes de Bloch-Kato locaux définis via la théoriede Hodge p-adique. Dans cet exposé, je présenterai de nouveaux résultatsconcernant ces groupes de Bloch-Kato locaux sur les corps perfectoïdes.Ces résultats locaux permettent de donner une description plus maniabledes groupes de Selmer de Bloch-Kato comme groupes de Selmer « à laGreenberg » sur de nombreuses extensions de corps infinies, et jeprésenterai quelques conséquences immédiates de cette description enthéorie d'Iwasawa."

Le 18 novembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 1

Daniele Turchetti (Warwick\, ETH Zürich) null

Modèles des courbes et géométrie analytique non-archimédienne

La théorie des modèles sur un anneau à valuation discrète se situe au croisement de la théorie de nombres et de la géométrie algébrique, et est riche en applications Diophantiennes, aux représentations Galoisiennes et à la cryptographie, entre autres. Dans les années 60, Deligne et Mumford ont démontré quune courbe C sur un corps à valuation discrète K admet un modèle semi-stable quitte à faire une extension des scalaires finie. Létude de lextension minimale L|K qui rend C semi-stable amène naturellement à beaucoup de questions encore ouvertes. Dans cet exposé, je vais présenter des résultats sur le comportement des modèles par changement de base. Les premiers (avec Lorenzo Fantini) explorent le lien entre modèles réguliers, la géométrie de lanalytification (à la Berkovich) de C et lextension L|K. Ensuite, je parlerai dun résultat plus précis (avec Andrew Obus) consacré à létude de L|K dans le cas de réduction potentiellement multiplicative. Cela nous permet dobtenir des résultats dans un cadre de ramification sauvage.

Le 25 novembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Cécile Dartyge (Université de Lorraine) null

Valeurs polynomiales quartiques avec un grand facteur premier, les cas diédraux et cycliques.

"Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique.Nous montrons qu'il existe $c_P >0$ tel que pour une proportion positive d'entiers $n$, $P(n)$ ait un facteur premier supérieur à $n^{1+c_P}$.Il s'agit d'un travail réalisé avec James Maynard."

Le 2 décembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Margaret Bilu (IMB) null

Fonctions zêta enrichies et topologie des points réels

La fonction zêta d'une variété $X$ sur un corps fini $\mathbf{F}_q$ est définie en termes des nombres de points de $X$ dans toutes les extensions finies de $\F_q$. Par les conjectures de Weil, elle est rationnelle et contient des informations sur la topologie des points complexes d'un relevé de $X$. Nous allons introduire une version enrichie de (la dérivée logarithmique de) la fonction zêta, à coefficients dans l'anneau de Grothendieck-Witt, définie dans le cadre de la théorie de la $\mathbf{A}^1$-homotopie stable, et nous allons présenter un résultat de rationalité pour certains types de variétés. De plus nous allons montrer comment cette nouvelle fonction zêta permet de récupérer des informations sur la topologie des points réels. C'est un travail en collaboration avec W. Ho, P. Srinivasan, I. Vogt et K. Wickelgren.

Le 9 décembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Loïs Faisant (Institut Fourier\, Grenoble) null

« Comptage » de courbes rationnelles de grand degré

"En géométrie diophantienne, le principe de Batyrev-Manin-Peyre décrit conjecturalement le comportement du nombre de points rationnels de hauteur bornée dune variété de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque ladite borne tends vers linfini. Étant donnée une variété de Fano sur C(t), un analogue géométrique de ce principe consiste à considérer lespace de modules des courbes rationnelles de « grand degré » dans un modèle propre de cette variété. Un cadre naturel pour une telle étude est celui de lintégration motivique ; il sagit alors de questionner la convergence, après une normalisation adéquate dans un anneau dintégration motivique, de la classe de lespace de module des courbes de degré arbitrairement grand. Il est de plus attendu que son hypothétique limite puisse être décrite par un produit eulérien motivique, jouant ainsi le rôle du nombre de Tamagawa défini par Peyre dans le cadre arithmétique. Dans cet exposé, on énoncera un tel principe, en donnant notamment une description de la limite attendue et des exemples pour lesquels des résultats sont connus. Puis on montrera quil est commode d'affiner ce principe, en introduisant une notion déquidistribution de courbes. Cette notion permet de saffranchir du choix dun modèle et d'exhiber ainsi de nouveaux exemples de variétés satisfaisant un principe de Batyrev-Manin-Peyre motivique."

Le 16 décembre 2022 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Emanuele Tron (IMB) null

Soutenance de Thèse : Problèmes d'intersections improbables en arithmétique

Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant de la théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avec des méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre, on considère un problème de type André-Oort dont la preuve non-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre le cas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modules singuliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstration combine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes du j-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relation linéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne une borne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a x G_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, on continue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques, et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. On considère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique, pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéaux de l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété de Ailon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combine des arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E.

Le 6 janvier 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Thibault Poiret -

Jacobiennes compactifiées, courbes logarithmiques et modèles de Néron

À toute courbe lisse, on peut naturellement associer une variété abélienne, sa Jacobienne.L'espace de modules des courbes lisses de genre fixé peut être compactifié en un espace de modules de courbes nodales. Cela soulève la question d'étendre la définition de Jacobienne aux courbes nodales, en préservant au mieux ses propriétés et sa modularité. Nous discuterons des difficultés que cela présente, et d'outils permettant de les affronter.

Le 13 janvier 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Wouter Castryck Louvain

Scrollar invariants, syzygies and representations of the symmetric group

Le 20 janvier 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Adrien Morin IMB

Valeurs spéciales de fonctions L pour les faisceaux Z-constructibles en dimension 1

La cohomologie Weil-étale est une théorie cohomologique (en partie conjecturale) pour les schémas arithmétiques, qui se comporte mieux que la cohomologie étale et a des liens conjecturaux aux valeurs spéciales de fonctions zêta. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut définir en dimension 1 la cohomologie Weil-étale à support compact à coefficients un faisceau Z-constructible, et j'établirai un lien avec la valeur spéciale en s=0 d'une fonction L naturellement associée aux coefficients considérés. Il y a 3 cas particuliers intéressants : on obtient une formule cohomologique pour la valeur spéciale en s=0 de la fonction zêta du spectre d'un ordre dans un corps de nombres, ce qui généralise la formule analytique du nombre de classes; on obtient aussi une formule pour la valeur spéciale en s=0 des fonctions L d'Artin associées à une représentation rationnelle du groupe de Galois d'un corps global; et enfin la formule pour un faisceau constructible permet de retrouver la formule de Tate pour la caractéristique d'Euler d'un corps de nombres.

Le 26 janvier 2023 à 15:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle 2

François Hennecart Saint-Etienne

Le théorème de Kneser dans les groupes abéliens $\sigma$-finis.

Résoudre un problème inverse en théorie additive des nombres consiste à fournir une description fine de la structure d'ensembles satisfaisant une condition contraignante portant sur la taille de leur somme. Cette description sera d'autant plus fine que la contrainte est proche de l'optimal. Par exemple la somme $A+B$ de deux ensembles finis non vides de nombres réels a pour taille (ici le cardinal) minimale la sommes des cardinaux moins un : $|A+B|\geq |A|+|B|-1$.Le problème inverse associé consiste à décrire les paires $(A,B)$ telle que l'égalité a lieu. L'environnement générique est celui d'un groupe $G$ (ou d'un semi-groupe) abélien fini ou non. Il faut y définir la notion de taille d'une partie et comparer les tailles de $A$, $B$ et $A+B$ afin de poser un problème inverse susceptible d'être résolu. Si $\tau(A)$ désigne la taille d'une partie $A$ de $G$, on dit que $(A,B)$ est une paire critique si $\tau(A+B)<\tau(A)+\tau(B)$. Le théorème de Kneser (1953) dans les groupes abéliens affirme que si $(A,B)$ est une paire critique (pour le cardinal), alors il existe un sous-groupe $H$ tel que $A+B=A+B+H$ et $|A+B|=|A+H|+|B+H|-|H|$.L'autre fameux théorème de Kneser porte sur les paires critiques de suites d'entiers que l'on mesure à travers leur densité asymptotique inférieure. Kneser (1956) a ensuite établi un énoncé qui porte sur les sous-ensembles de groupes abéliens localement compacts munis de leur mesure de Haar. Beaucoup plus récemment Jin (2006, 2007, 2010) et Griesmer (2013) ont démontré des résultats en termes de densité, notamment dans les groupes abéliens dénombrables.Le long de cet exposé, je donnerai des éléments historiques plus ou moins récents sur ces questions et traiterai un cas du théorème de Kneser qui se situe à l'interface des résultats initiaux de Kneser et ceux de Griesmer, à savoir celui des groupes abéliens $\sigma$-finis. Ce travail a été conduit en collaboration avec P-Y. Bienvenu (Dublin).

Le 3 février 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Paul Péringuey Nancy

Une généralisation de la conjecture d'Artin parmi les presque premiers

La conjecture d'Artin stipule que l'ensemble des nombres premiers pour lesquels un entier a différent de -1 ou un carré parfait est racine primitive admet une densité asymptotique parmi tous les premiers. En 1967 C.Hooley démontra cette conjecture sous l'hypothèse de Riemann généralisée. La notion de racine primitive peut être étendue modulo un entier quelconque en considérant alors les éléments du groupe multiplicatif engendrant des sous-groupes de tailles maximales. Je parlerai de l'ensemble des presque premiers pour lesquels un nombre a est racine primitive généralisée, et montrerai que l'on obtient, sous GRH, des résultats similaires à la conjecture d'Artin pour les racines primitives.

Le 10 février 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Kevin Destagnol Paris-Saclay

Moyennes de fonctions arithmétiques évaluées en des polynômes et applications

On expliquera comment estimer la moyenne d'une fonction arithmétique évaluée en des polynômes pourvu que la fonction arithmétique se comporte bien dans les progressions arithmétiques et que le nombre de variables des polynômes soit suffisamment grand. On donnera alors quelques applications au problème de Loughran--Smeets qui étudie la probabilité avec laquelle une équation diophantienne choisie au hasard au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Efthymios Sofos et Leonard Hochfilzer.

Le 24 février 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Daniel Kriz Sorbonne Université

Les conjectures principales supersingulières, la conjecture de Sylvester et la conjecture de Goldfeld

Je présenterai un théorème « p-converse » à rang 0 et 1 pour les courbes elliptiques sur les rationnels à multiplication complexe (CM) dans le cas où le nombre premier p est ramifié dans le corps CM. Ce théorème a des applications à deux problèmes classiques d'arithmétique: il vérifie la conjecture de Sylvester de 1879 sur les nombres premiers exprimables comme une somme de deux cubes rationnels et établit la conjecture de Goldfeld pour la famille des nombres congruents. La démonstration répose sur la formulation et la preuve d'une nouvelle conjecture principale d'Iwasawa, qui à leur tour utilisent de nouvelles méthodes issues des interactions entre les objets théoriques d'Iwasawa et la théorie de Hodge p-adique relative sur les courbes de Shimura à niveau infini.

Le 3 mars 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Andrés Jaramillo Puentes Essen

Intersections Tropicales Enrichies Quadratiquement

La géométrie tropicale est un outil calculatoire puissant en géométrie énumérative réelle et complexe. Les résultats récents de la théorie homotopique motivique nous permettent d'étudier des questions de géométrie énumérative sur un corps arbitraire k. Dans cet exposé, on présente un des premiers exemples d'utilisation de la géométrie tropicale afin de résoudre des questions de la géométrie énumérative sur k : un théorème de Bézout enrichi quadratiquement. On expliquera les notions nécessaires de la géométrie énumérative valuée dans l'anneau de Grothendieck-Witt des formes quadratiques sur k. On définira une multiplicité d'intersection motivique valuée sur cet anneau et on prouve comment la calculer de façon combinatoire.Finalement, on utilisera ces idées pour prouver le théorème de Bézout enrichi quadratiquement. Si le temps le permet, on expliquera comment généraliser cette preuve pour montrer un analogue du théorème de Bernstein-Kushnirenko et sa correspondance avec l'intersectiondes hypersurfaces dans les variétés toriques.

Le 10 mars 2023 à 13:30

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Rencontre ANR FRACASSO : Marta Pieropan (Utrecht) null

On rationally connected varieties over $C_1$ fields of characteristic 0

In the 1950s Lang studied the properties of $C_1$ fields, that is, fields over which every hypersurface of degree at most n in a projective space of dimension n has a rational point. Later he conjectured that every smooth proper rationally connected variety over a $C_1$ field has a rational point. The conjecture is proven for finite fields (Esnault) and function fields of curves over algebraically closed fields (GraberHarrisde JongStarr), but it is still open for the maximal unramified extensions of $p$-adic fields. I use birational geometry in characteristic 0 to reduce the conjecture to the problem of finding rational points on Fano varieties with terminal singularities, and I provide some evidence in dimension 3.

Le 17 mars 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Veronika Ertl Ratisbonne

Un approche rigide à la cohomologie de Hyodo--Kato

La cohomologie de Hyodo-Kato joue un rôle important dans la géométrie arithmétique, en particulier dans la théorie de Hodge p-adique. Elle permet de munir la cohomologie de de Rham d'un schéma (propre de réduction sémistable) sur un anneau de valuation discrète complet avec un structure de (Æ,N)-module. Je vais présenter une approche à la théorie de Hyodo-Kato fondée sur des méthodes rigides analytique, qui permet d'étudier des schémas plus généraux (en particulier non-nécessairement propre). Dans un cas particulier, je vais expliquer comment cette construction permet de comprendre la relation entre la cohomologie rigide de Berthelot et la cohomologie de Hyodo-Kato. (Travail en cours en commun avec Kazuki Yamada, Keio University.)

Le 24 mars 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Dino Lorenzini Georgia

Torsion and Tamagawa numbers

Associated with an abelian variety A/K over a number field K is a finite set of integers greater than 1 called the local Tamagawa numbers of A/K. Assuming that the abelian variety A/K has a K-rational torsion point of prime order N, we can ask whether it is possible for none of the local Tamagawa numbers to be divisible by N. The ratio (product of the Tamagawa numbers)/|Torsion in E(K)| appears in the conjectural leading term of the L-function of A in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and we are thus interested in understanding whether there are oftencancellation in this ratio.We will present some finiteness results on this question in the case of elliptic curves. More precisely, let d>0 be an integer, and assume that there exist infinitely fields K/Q of degree d with an elliptic curve E/K having a K-rational point of order N. We will show that for certain such pairs (d,N), there are only finitely many fields K/Q of degree d such that there exists an elliptic curve E/K having a K-rational point of order Nand none of the local Tamagawa numbers are divisible by N. The lists of known exceptions are surprisingly small when d is at most 7."

Le 31 mars 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Quentin Gazda École Polytechnique

Cohomologie motivique en arithmétique des corps de fonctions

Des valeurs zêta intéressantes apparaissent en arithmétique des corps de fonctions comme valeur spéciales de fonctions L de A-motifs d'Anderson. Je réfléchis actuellement à l'analogue d'une conjecture de Beilinson dans ce cadre, liant ces valeurs spéciales au déterminant d'un régulateur. Dans cet exposé, je présenterai mes premiers pas dans ce programme : après un rappel général sur les A-motifs et leur théorie, j'expliquerai comment définir une « cohomologie A-motivique ». On définira ensuite un régulateur, et je conclurai sur quelques calculs récents obtenus avec Andreas Maurischat dans le cas des twists de Carlitz.

Le 7 avril 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Adel Betina Copenhague

La conjecture des zéros exceptionnels pour les fonctions L p-adiques de Katz.

Dans un travail commun avec M.L. Hsieh, on démontre une variante de la conjecture de Gross-Stark pour les fonctions L p-adiques de Katz associées à des corps CM, i.e. on donne une formule pour la dérivée en s = 0 le long de la direction cyclotomique. Notre méthode est basée sur l'étude des congruences entre des familles P-adiques de type CM et non-CM via la méthode de Rankin-Selberg p-adique. On construit une famille de Hida non-CM qui est congruente à une famille de Hida CM pour la spécialisation 1+µ en dehors des coefficients en p, et telle que les coefficients en p sont explicitement liées à la dérivée en s = 0 de la fonction L p-adique anticyclotomique de Katz. On détermine les coefficients en p infinitésimalement via une variante très générale du lemme de Ribet en déformations Galoisiennes qu'on démontre (la représentation résiduelle est scalaire localement en p !)

Le 14 avril 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Ratko Darda Bâle

Une nouvelle classe de hauteurs sur les champs et conjecture de Manin

La conjecture de Manin prédit le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de Fano. Plus précisément, pour une variété de Fano lisse, nous attendons que, en dehors d'un ensemble mince, le nombre de points rationnels de hauteur moins que $B$ soit asymptotique à $C B^{a}\log(B)^b$ pour certains $C, a, b>0$. Cette prédiction est (formellement) très similaire à la prédiction de Malle sur le nombre d'extensions galoisiennes ayant le groupe de Galois fixe et le discriminant borné. Les deux conjectures sont concernées par des points rationnels sur les champs de Deligne-Mumford. Nous présentons une nouvelle classe de hauteurs sur ces champs. Nous les utilisons pour donner une version de la conjecture de Manin pour les champs (de Deligne-Mumford), plus forte que celle d'Ellenberg, Satriano et Zureick-Brown, ayant les conjectures de Manin et de Malle comme conséquences. C'est un travail en commun avec T. Yasuda.

Le 28 avril 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Francesco Lemma IMJ Paris

Cycles algébriques et fonctorialité de Langlands de $G_2$ à $PGSp(6)$.

On considérera la composante de la cohomologie d'une variété de Siegel de dimension 6 correspondant à une représentation automorphe cuspidale de $PGSp(6)$ qui provient du groupe exceptionnel $G_2$. Gross et Savin ont conjecturé que la droite Galois invariante qu'on y trouve est engendrée par la classe de cohomologie d'une sous-variété de Hilbert. On présentera un travail en commun avec Cauchi et Rodrigues Jacinto permettant de ramener la démonstration de la conjecture à la non-nullité d'une intégrale archimédienne (arXiv:2202.09394).

Le 5 mai 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Séverin Philip Kyoto

Groupes de monodromie finie et variétés abéliennes CM

Après un peu de contexte sur les variétés abéliennes et la semi-stabilité j'introduirai les groupes de monodromie finie ainsi que leur lien avec la réduction semi-stable. Je présenterai sans détails un résultat de type local-global relatif pour ces groupes. On verra ensuite comment utiliser la théorie CM pour produire des gros groupes de monodromie, ce qui passera par la résolution de problèmes de Grunwald pour certains produits en couronne. Avec le principe local-global précédent cette construction permet de borner le degré de semi-stabilité en fonction de la dimension.

Le 12 mai 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Relâche

Le 19 mai 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Relâche

Le 26 mai 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Luca Tasin Milan

Sasaki-Einstein metrics on spheres

It is a classical problem in geometry to construct interesting metrics on spheres. Sasaki-Einstein metrics are the analogous of Kähler-Einstein metrics for odd dimensional real manifolds. I will report on a joint work with Yuchen Liu and Taro Sano in which we construct infinitely many Sasaki-Einstein metrics on odd-dimensional spheres that bound parallelizable manifolds, proving in this way conjectures of Boyer-Galicki-Kollár and Collins-Székelyhidi. The construction is based on showing the K-stability of certain Fano weighted orbifold hypersurfaces.

Le 2 juin 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Eknath Ghate TIFR Bombay et IHES

Zig-zag holds for Galois representations

I will give a survey of recent work on the description of the explicit shape of the reductions of two-dimensional local Galois representations, concentrating on our recent proof of the zig-zag conjecture.

Le 9 juin 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de Conférences

Olivier Wittenberg Université Sorbonne Paris Nord

Descente hyper-résoluble pour les points rationnels

Le formalisme aujourd'hui classique de la descente sous des tores introduit
par Colliot-Thélène et Sansuc dans les années 1980 admet un analogue dans
lequel les tores sont remplacés par des groupes finis hyper-résolubles.
J'expliquerai ce formalisme et en discuterai des applications, notamment
aux points rationnels des espaces homogènes de groupes linéaires et au
problème inverse de Galois avec normes prescrites (généralisation des
travaux de Frei-Loughran-Newton). Il s'agit d'un travail en commun avec
Yonatan Harpaz.

Le 22 septembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Abhinandan (University of Tokyo)

Prismatic F-crystals and Wach modules

For an unramified extension $K/\mathbb{Q}_p$ with perfect residue field, by works of Fontaine, Colmez, Wach and Berger, it is well-known that the category of Wach modules over a certain integral period ring $\mathbf{A}_K^+$ is equivalent to the category of lattices inside crystalline representations of $G_K$, i.e. the absolute Galois group of $K$. Moreover, by recent work of Bhatt and Scholze, we also know that lattices inside crystalline representations of $G_K$ are equivalent to the category of prismatic $F$-crystals over $O_K$, i.e. the ring of integers of $K$. The goal of this talk is to present a direct construction of the categorical equivalence between Wach modules over $\mathbf{A}_K^+$ and prismatic $F$-crystals over $O_K$. If time permits, we will also mention generalisation of our construction to the relative case as well as relationships between relative Wach modules, $q$-connections and filtered $(\varphi, \partial)$-modules.

Le 29 septembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Sophie Marques (Stellenbosch University)

La géométrie des espaces de modules : classification des extensions de corps à isomorphisme près

Dans cet exposé, on se focalise sur la classification des extensions de corps à isomorphisme près, une tâche qui nécessite la création d'un système de classification solide. L'objectif est de mieux comprendre la structure des extensions de corps en étudiant les familles de polynômes associées. L'analyse s'approfondit en examinant les cas
spécifiques des extensions cubiques, quartiques et radicales, y compris celles qui ne sont pas nécessairement galoisiennes, en introduisant des concepts tel que la fermeture radicale et l'Artin-Schreier. Pour faire cela, une attention particulière est portée aux extensions cyclotomiques.
(joint with Jacob Ward, Mpendulo Cele, Elizabeth Merma, Chad Brache)

Le 6 octobre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Luis Santiago Palacios (IMB - Université de Bordeaux)

Geometry of the Bianchi eigenvariety at non-cuspidal points

An important tool to study automorphic representations in the framework of the Langlands program is to produce $p$-adic variation. Such variation is captured geometrically in the study of certain rigid analytic spaces, called eigenvarieties.
In this talk, we first introduce Bianchi modular forms, that is, automorphic forms for $\mathrm{GL}_2$ over an imaginary quadratic field, and then discuss its contribution to the cohomology of the Bianchi threefold. Further, we present the Bianchi eigenvariety and state our result about its geometry at a special non-cuspidal point. Time permitting, we will give some ideas about the proof. This is a joint work in progress with Daniel Barrera (Universidad de Santiago de Chile).

Le 13 octobre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Riccardo Pengo (Leibniz Universität Hannover)

Théorie d'Iwasawa pour les graphes et mesures de Mahler p-adiques

La théorie d'Iwasawa étudie l'évolution de certains invariants, comme le nombres des classes d'idéaux d'un corps de nombres, dans une tour d'objets, donnée par exemple par la tour des corps cyclotomiques. En regardant les analogies entre corps de nombres, corps de fonctions des courbes sur les corps finis, nœuds et graphes, la théorie d'Iwasawa a été étendue à ces types d'objets. Pour le cas des graphes, plusieurs auteurs ont montré que les valuations p-adiques des nombres d'arbres couvrants dans une tour l-adique des graphs, qui est l'invariant analogue au nombre des classes d'idéaux, satisfait des analogues des théorèmes classiques de Iwasawa (quand l et p coincident) et Washington (quand l est différent de p), et d'une conjecture de Greenberg. Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Daniel Vallières, nous montrerons comment ces résultats se globalisent, en considérant une tour des graphs dont le groupe de Galois est isomorphe aux entiers. En particulier, nous montrerons que dans ce cas les invariants d'Iwasawa peuvent être calculés grâce à un polynôme associé à la tour, et à ses mesures de Mahler p-adiques, qui mesurent la distribution p-adique des racines du polynôme en question. Enfin, nous montrerons comment ce théorème peut être utilisé pour récupérer des résultats antécédents autours des asymptotiques des nombres d'arbres couvrants de certains types de graphes, qui généralisent les graphes de Petersen, et pour montrer une formule explicite pour les valuations p-adiques des nombres de Fibonacci, due à Lengyel.

Le 20 octobre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Cathy Swaenepoel (Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche)

Nombres premiers réversibles

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d'intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$ \overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d'estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l'ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi de montrer qu'il existe une infinité de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers, comptés avec multiplicité.
Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres
entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s'agit d'un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Le 27 octobre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Sary Drappeau (Institut de Mathématiques de Marseille)

Formes modulaires quantiques de poids non-nul

Dans un travail récent avec Sandro Bettin ((Gênes)), on étudie les applications $f : \mathbb{Q} → \mathbb{C}$ qui satisfont des équations fonctionnelles du type suivant : pour tout $γ ∈ SL(2, \mathbb{Z})$, la différence $h_γ(x) := f(γ x) - |cx + d|^{-k} f(x)$ a de bonnes propriétés de régularité. Ici k est un nombre complexe. Cette définition est due à Zagier ((2010)), et une telle applications f est dite "modulaire quantique". Parmi les exemples naturels notables, on trouve les intégrales d'Eichler de formes modulaires classiques ou de formes de Maass, ou bien des sommes de cotangentes. Dans cet exposé on s'intéressera au cas où $Re(k)eq 0$, et à l'existence de fonctions limites qui nous permettent de prédire la répartition des valeurs de f sur les rationels dont le dénominateur tend vers l'infini.

Le 10 novembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Matilde Maccan (IRMAR)

Variétés homogènes projectives rationnelles en caractéristique positive

Toute variété homogène, projective et rationnelle peut s’écrire comme quotient d’un groupe semisimple par un sous-groupe dit parabolique. Dans cet exposé, on généralisera les résultats de Wenzel, Haboush et Lauritzen en traitant le cas des sous-groupes paraboliques sur un corps algébriquement clos de caractéristique petite, achevant ainsi leur classification en toute caractéristique.

Le 17 novembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Daniel Vargas-Montoya (IMPAN)

Congruences, indépendance algébrique et Monodromie

Récemment Adamczeswki Bell et Delaygue ont donné un critère d’indépendance algébrique pour les séries à coefficients dans Z qui vérifient certaines congruences modulo p pour une infinité de nombres premiers p. À savoir : les congruences de type «Lucas». Il s’avère que la plupart des séries qui vérifient telles congruences sont des G-functions. Dans un premier temps, nous allons donc voir comment obtenir ce type de congruences lorsque la série est une solution d’un opérateur différentiel. Les outils essentiels sont d’une part l’étude p-adique de l’opérateur différentiel, structure de Frobenius forte, et d’autre part la notion classique de monodromie unipotente maximale. Dans un deuxième temps, je vais introduire un nouvel ensemble de G-functions dénoté MF. Nous montrons donc que les éléments de MF vérifient des congruences assez convenables. Dans un troisième temps, nous verrons que pour certains éléments de MF ces congruences sont aussi pertinentes pour établir leur indépendance algébrique.

Le 24 novembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Michel Brion (Université Grenoble Alpes)

Automorphismes infinitésimaux des courbes algébriques

L'exposé portera sur les courbes algébriques projectives sur un corps de caractéristique positive. Leurs groupes d'automorphismes ont été beaucoup étudiés, mais les schémas en groupes d'automorphismes (par exemple, les champs de vecteurs) sont bien plus mystérieux. En particulier, la correspondance classique entre automorphismes des courbes projectives normales et de leurs corps de fonctions ne
s'étend pas aux schémas en groupes. L'exposé introduira une notion de "normalisation équivariante" qui permet de remédier à ce problème, et il présentera quelques propriétés des courbes "G-normales", dont leur structure pour un schéma en groupes G fini et diagonalisable.

Le 1er décembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Sylvain Brochard (Université de Montpellier 2)

Critères de platitude : deux conjectures de C. Khare

Soit $(A,m,k)$ un anneau local noethérien et soit P un complexe de longueur $d$ (finie) de $A$-modules libres de rangs finis. On note $edim(A)=dim_k(m/m^2)$ la dimension de plongement de $A$, et $D(A)$ la catégorie dérivée des complexes de A-modules. On suppose que le morphisme naturel $A\rightarrow End_{D(A)}(P)$ se factorise par un anneau local noethérien $B$ dont la dimension de plongement est inférieure ou égale à $edim(A)-d$. Une conjecture de Khare prédit alors que le dernier groupe d'homologie de $P$ est un $B$-module libre. Je présenterai et motiverai cette conjecture, et ses liens avec les méthodes dites de "patching" couramment utilisées par les théoriciens des nombres dans les problèmes de relèvement modulaire. Puis je donnerai quelques résultats partiels obtenus en collaboration avec S. Iyengar et C. Khare. Si le temps le permet, je présenterai rapidement une autre conjecture de Khare dans l'esprit du critère numérique de Taylor et Wiles revisité par Diamond.

Le 8 décembre 2023 à 14:00

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Benoit Loisel (Université de Poitiers)

Sur certains sous-groupes arithmétiques des groupes de Chevalley

Soit $\mathcal{C}$ une courbe projective lisse géométriquement intègre sur $\mathbb{F}$. Si $S$ est un ensemble fini de points fermés, on peut considérer l'anneau d'entiers des fonctions régulières sur $\mathcal{C}$ hors de $S$, noté $\mathcal{O}_S$ et son corps des fractions $k$. L'enjeu de la théorie des groupes $S$-arithmétiques est de comprendre la structure et les propriétés des groupes $G(\mathcal{O}_S)$ pour un schéma en groupes $\mathbb{G}$.

Dans le cas particulier du groupe $\mathbf{G}=\mathrm{SL}_2$ et d'un singleton $S=\{P\}$, Serre a décrit la structure de ces groupes via leur action sur l'arbre de Bruhat-Tits, ce qui permet de les réaliser comme amalgames de groupes. Dans le cas de la droite projective $\mathbb{P}^1$ privée de son point à l'infini, i.e. $\mathcal{O}_{\infty}=\mathbb{F}[t]$, et d'un groupe déployé $\mathbf{G}$, Soulé obtient que l'espace des orbites de l'action de $\mathbf{G}(\mathbb{F}[t])$ sur l'immeuble de Bruhat-Tits est isomorphe à un quartier de cet immeuble.

Dans cet exposé, en adaptant des techniques utilisées par Mason sur $\mathrm{SL}_2$, nous verrons que l'espace des orbites de l'action d'un groupe déployé arbitraire sur l'anneau d'entier associé à un point fermé de la courbe projective est constitué d'une quantité de quartiers en lien avec le groupe de Picard de l'anneau d'entiers, et quelques conséquences de ces techniques.

Il s'agit d'un travail en commun avec Claudio Bravo.

Le 15 décembre 2023 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Christian Maire (Université de Franche-Comté)

Extensions modérément ramifiées, corps gouvernants et obstructions

Soit $K$ un corps de nombres et soit $G^{ta}$ le groupe de Galois de l'extension galoisienne maximale $K^{ta}$ de $K$, modérément ramifiée.
Soit $p$ un nombre premier. Dans cet exposé on s'intéresse aux pro-$p$-quotients de $G^{ta}$, dans l'esprit du théorème de Scholz-Reichardt.
En particulier, on fera ressortir le lien entre une obstruction à un problème de plongement et un corps gouvernant.
C'est un travail en commun avec Farshid Hajir, Michael Larsen et Ravi Ramakrishna.

Le 19 janvier 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Pierre Charollois (IMJ-PRG)

Sur le rêve de jeunesse d'Eisenstein pour les corps cubiques complexes

Dans un article méconnu de 1844, G. Eisenstein suggère une piste pour étendre la théorie des fonctions elliptiques au cas de "réseaux de rang 3". Il indique également que la nouvelle classe de produits infinis méromorphes qu’il considère possède de riches applications arithmétiques. Je présenterai des résultats de nature expérimentale et théorique qui donnent à penser qu’il avait effectivement mis à jour un analogue pour les corps cubiques complexes de la théorie CM des unités elliptiques.
Il s’agit d’un travail en commun avec Nicolas Bergeron et Luis Garcia.

Le 26 janvier 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Peter Koymans (ETH Zürich)

Value sets of binary forms

Given a binary form F with integer coefficients, we define its value set $Val(F)$ to be the set $F(x, y)$ for integers $x, y$. For two binary forms $F$ and $G$, what can we say if $Val(F) = Val(G)$? The goal of this talk is to show how one may give a complete answer to this question. This is joint work with Etienne Fouvry.

Le 2 février 2024 à 14:00

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Rubén Muñoz--Bertrand (Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines)

Witt, vite

Du point de vue algorithmique, les opérations dans l'anneau des vecteurs de Witt sont coûteuses. Jusqu'à présent seul l'algorithme de Finotti, introduit en 2014, parvenait à faire mieux que le calcul direct des polynômes à coefficients entiers définissant ces opérations. Nous verrons comment l'application d'un isomorphisme d'Illusie permet de donner un nouvel algorithme pour l'addition de vecteurs de Witt à coefficients polynomiaux, plus efficace que celui de Finotti. Nous donnerons ensuite une application de cet algorithme au comptage de points employant des méthodes de cohomologie p-adique.

Le 9 février 2024 à 14:00

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Anneloes Viergever (Leibniz Universität Hannover)

The compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic of the symmetric powers of a cellular variety

To a variety over a characteristic zero field, one can associate its compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic using motivic homotopy theory, as was done in work of Arcila-Maya, Bethea, Opie, Wickelgren and Zakharevich. These are quadratic forms, which carry a lot of information, but they are often difficult to compute in practice. I will discuss joint work in progress with Jesse Pajwani and Herman Rohrbach in which we apply the machinery of power structures on the Grothendieck-Witt ring as introduced in work of Pajwani and Pál to calculate the compactly supported $\mathbb{A}^1$-Euler characteristic of the symmetric powers of a cellular variety.

Le 16 février 2024 à 14:00

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David Solomon (University College London)

Les SIC, les groupes de Heisenberg et les unités de Stark dans la $p^\infty$-tour sur un corps quadratique réel

Les SIC, ou SIC-POVM, sont des systèmes maximaux de droites dites équiangulaires dans ${\mathbb C}^d$, $d>3$. Objets d'intérêt de la physique quantique et du "Design Theory" depuis les années 1970, on a constaté heuristiqument:
a) que tous, sauf un, admettent une action unitaire du groupe de Heisenberg ${\mathcal{H}}({\mathbb Z}/d{\mathbb Z})$, l'ensemble des matrices unipotentes $3\times 3$ modulo $d$, et plus récemment,
b) qu'ils ont les angles déterminés par des unités de Stark sur le corps quadratique réel $k={\mathbb Q}(\sqrt{(d-3)(d+1)})$.
Ces derniers sont des célèbres unités spéciales dans les extensions abéliennes de $k$, dont l'existence, conjecturée par Harold Stark en 1976, mènerait à une solution du 12-ième problème sur $k$ de Hilbert, le "Jugendtraum" de Kronecker).

Après avoir examiné ces phenomènes, encore assez mystérieux, d'un peu plus près, j'esquisserai des travaux en cours: en prenant $d=p^n$, pour un nombre premier $p$ décomposé dans $k$, et en faisant $n\rightarrow \infty$ on arrive à une théorie $p$-adique mettant en évidence une action de ${\mathcal{H}}({\mathbb Z}_p)$ sur les mesures $p$-adiques ainsi que les séries formelles de Coleman. On cherche ainsi à étudier l'action de Galois sur les unités de Stark à travers le groupe d'automorphismes ${\rm Aut}({\mathcal{H}}({{\mathbb Z}}_p))$ et certaines intégrales $p$-adiques.

Le 23 février 2024 à 14:00

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Cédric Pépin Université Sorbonne Paris Nord

Morphismes de Satake mod p dérivés pour les poids p-petits

Soient $G$ un groupe réductif connexe déployé sur $\mathbf{Z}_p$, et $L$ une
représentation algébrique irréductible de $G$ de poids dominant $p$-petit.
Pour tout parabolique $P=MN$ de $G$, on construit un morphisme de la
Ext-algèbre de Hecke sphérique de $G(\mathbf{Q}_p)$ vers la Ext-algèbre de Hecke
sphérique de $M(\mathbf{Q}_p))$, à coefficients dans la réduction mod $p$ de $L$. En
degré $0$, il coïncide avec le morphisme de Satake mod $p$ défini par Herzig
et Henniart-Vignéras. Il s'agit d'un travail avec Karol Koziol.

Le 23 février 2024 à 15:30

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Yi Ouyang UST of China Hefei

Unboundedness of Tate-Shafarevich groups in fixed cyclic extensions

In this talk we prove two unboundedness results about the Tate-Shafarevich groups of abelian varieties in a fixed nontrivial cyclic extension $L/K$ of global fields, firstly in the case that $K$ is a number field and the abelian varieties are elliptic curves, secondly in the case that $K$ is a global field, $[L : K]$ is a $2$-power and the abelian varieties are principally polarized. This is a joint work with Jianfeng Xie.

Le 8 mars 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Matthew Satriano (University of Waterloo)

Unifying the Batyrev-Manin and Malle Conjectures

The Batyrev-Manin conjecture gives a prediction for the asymptotic growth rate of rational points on varieties over number fields when we order the points by height. The Malle conjecture predicts the asymptotic growth rate for number fields of degree d when they are ordered by discriminant. The two conjectures have the same form and it is natural to ask if they are, in fact, one and the same. We develop a theory of point counts on stacks and give a conjecture for their growth rate which specializes to the two aforementioned conjectures. This is joint work with Jordan Ellenberg and David Zureick-Brown. No prior knowledge of stacks will be assumed for this talk.

Le 15 mars 2024 à 14:00

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Francesco Baldassarri (Padova University)

Analyse de Fourier sur Qp et un analogue p-adique des séries de Dirichlet

Je cherche à donner une extension "canonique" des fonctions L de Dirichlet p-adiques de $\mathbf{Z}_p$ à $\mathbf{Q}_p$. On veut des fonctions localement analytiques, bien-sûr, mais aussi on pourrait demander que ces fonctions soient somme de leur série de Fourier, en un sens à définir, uniformément sur tout un voisinage tubulaire de $\mathbf{Q}_p$ dans la droite analytique sur $\mathbf{Q}_p$.

Cela donnerait sinon l'existence, au moins l'unicité de l'extension. Je travaille avec des caractères additifs de $\mathbf{Q}_p$ qui ont justement la propriété ci-dessus et qui me rappellent les séries de Dirichlet classiques.

Le 22 mars 2024 à 14:00

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Cédric Pilatte (Oxford University)

Bornes améliorées pour les corrélations logarithmique de fonctions multiplicatives

La fonction de Liouville $\lambda(n)$ est définie comme étant égale à $+1$ si $n$ est un produit d'un nombre pair de nombres premiers, et à $-1$ dans le cas contraire. Le comportement statistique de $\lambda$ est étroitement lié à la distribution des nombres premiers. À bien des égards, la fonction de Liouville est supposée se comporter comme une séquence aléatoire de $+1$ et de $-1$. Par exemple, la conjecture de Chowla (binaire) prédit que la moyenne de $\lambda(n)\lambda(n+1)$ pour $n < x$ tend vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini. Dans cet exposé, je discuterai des bornes quantitatives pour une version logarithmique de ce problème.

Le 29 mars 2024 à 14:00

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Thomas Buchet (Université Côte d'Azur)

Courbes de genre 4 : invariants et reconstruction

Dans cet exposé, nous allons introduire des invariants algébriques pour les courbes non-hyperelliptiques de genre 4, qui caractérisent les classes d'isomorphismes de ces courbes (sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle). Ces invariants sont définis à l'aide d'opérateurs différentiels et rendent leur calcul très effectif. Il est donc facile de vérifier si, géométriquement, deux courbes sont dans la même classe d'isomorphisme.
L'étude des classes d'isomorphismes des courbes non-hyperelliptiques de genre 4 se ramène à l'étude de certaines algèbres de polynômes sous l'action de groupes linéairement réductifs. Cela conduit à la recherche d'un système générateur de fonctions invariantes par ces actions, qui nous fournit ces fameux invariants algébriques. Après avoir introduit quelques outils de théorie classique des invariants qui nous ont permis de résoudre ce problème, nous donnerons les idées des preuves des principaux résultats.
Enfin, nous expliciterons un algorithme qui, donné une liste d'invariants, reconstruit une courbe non-hyperelliptique de genre 4 qui possède ces invariants.
Cet algorithme généralise celui de Mestre pour les formes binaires, et il fonctionne dans un cadre plus général que celui de l'exposé.

Le 5 avril 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Liana Heuberger (University of Bath)

Construction des variétés de Fano

L'inversion de Laurent est un algorithme pour construir des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Le but de cette construction c'est de trouver une variété de Fano peu singulière à partir d'un certain polynôme de Laurent $f$. Je présenterai mes progrès dans le cas $ 3 $-dimensionnel.
Soit $f$ un polynôme de Laurent dont le support est un polytope $P$, auquel on associe un variété de Fano torique $X_P$. Dans le cas le plus général, l'inversion de Laurent construit un plongement de $X_P$ dans une variété torique ambiente $Y$. Si en plus $X_P$ est une intersection complète donnée par des fibrés en droites sur $Y$, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano $X$ dont une dégénéresence torique est $X_P$. La difficulté est donc d'en trouver un tel $Y$ permettant que $X$ soit le plus lisse que possible.

Le 12 avril 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Julia Schneider (University of Zürich)

Le groupe de Cremona sur les corps imparfaits

Le groupe de Cremona (du plan) sur un corps K est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif définies sur K. Leur structure de groupe dépend du corps K. Si K est algébriquement clos l'étude de ces groupes est classique. Au cours des dernières années plusieurs résultats ont été obtenus spécifiquement pour des corps parfaits, utilisant le programme de Sarkisov où les surfaces del Pezzo de petit rang de Picard jouent un rôle clé. Dans cet exposé je vais expliquer comment passer des corps parfaits à des corps imparfaits, et présenter les progrès réalisés dans un travail en commun avec Fabio Bernasconi, Andrea Fanelli et Susanna Zimmermann.

Le 19 avril 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Xenia Dimitrakopoulou (University of Warwick)

Anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for families of $U_n \times U_{n+1}$

I will report on recent work on the construction of anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for Rankin-Selberg products. I will explain how by $p$-adically interpolating the branching law for the spherical pair $\left(U_n, U_n \times U_{n+1}\right)$, we can construct a $p$-adic $L$-function attached to cohomological automorphic representations of $U_n \times U_{n+1}$. Due to the recent proof of the unitary Gan-Gross-Prasad conjecture, this $p$-adic $L$-function interpolates the square root of all critical $L$-values, including anticyclotomic variation. Time allowing, I will explain how we can extend this result to the Coleman family of an automorphic representation.

Le 3 mai 2024 à 14:00

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Aurore Boitrel (Paris-Saclay)

Groupes d'automorphismes des surfaces del Pezzo de degré 5

Les surfaces del Pezzo et leurs groupes d'automorphismes jouent un rôle important dans l'étude des sous-groupes algébriques du groupe de Cremona du plan projectif.

Sur un corps algébriquement clos, il est classique qu’une surface del Pezzo est soit isomorphe à $\mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$ soit à l’éclatement de $\mathbb{P}^{2}$ en au plus $8$ points en position générale, et dans ce cas, les automorphismes des surfaces del Pezzo (de tout degré) ont été décrits. En particulier, il existe une unique classe d'isomorphismes de surfaces del Pezzo de degré $5$ sur un corps algébriquement clos. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux surfaces del Pezzo de degré $5$ définies sur un corps parfait. Dans ce cas, il y a beaucoup de surfaces supplémentaires (comme on peut déjà le voir si le corps de base est le corps des nombres réels), et la classification ainsi que la description du groupe d’automorphismes de ces surfaces sur un corps parfait $\mathbf{k}$ se ramènent à comprendre les actions du groupe de Galois $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbf{k}}/\mathbf{k})$ sur le graphe des $(-1)$-courbes.

Le 17 mai 2024 à 14:00

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Dino Lorenzini (UGA)

Resolution of wild $Z/pZ$-quotient singularities

The regular model of a curve is a key object in the study of the arithmetic of the curve, as information about the special fiber of a regular model provides information about its generic fiber (such as rational points through the Chabauty-Coleman method, index, Tamagawa number of the Jacobian, etc). Every curve has a somewhat canonical regular model obtained from the quotient of a regular semistable model by resolving only singularities of a special type called quotient singularities. We will discuss in this talk what is known about the resolution graphs of $Z/pZ$-quotient singularities in the wild case, when $p$ is also the residue characteristic. The possible singularities that can arise in this process are not yet completely understood, even in the case of elliptic curves in residue characteristic 2.

Le 24 mai 2024 à 14:00

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Maria Montanucci (Technical University Copenaghen)

Algebraic curves over finite fields: rational points and birational invariants

Algebraic curves over a finite field $\mathbb{F}_q$ have been a source of great fascination, ever since the seminal work of Hasse and Weil in the 1930s and 1940s. Many fruitful ideas have arisen out of this area, where number theory and algebraic geometry meet, and many applications of the theory of algebraic curves have been discovered during the last decades.

A very important example of such application was provided in 1977-1982 by Goppa, who found a way to use algebraic curves in coding theory. The key point of Goppa's construction is that the code parameters are essentially expressed in terms of the features of the curve, such as the number $N_q$ of $\mathbb{F}_q$-rational points and the genus $g$. In this light, Goppa codes with good parameters are constructed from curves with large $N_q$ with respect to their genus $g$.

Given a smooth projective, algebraic curve of genus $g$ over $\mathbb{F}_q$, an upper bound for $N_q$ is a corollary to the celebrated Hasse-Weil Theorem,

$$N_q \leq q+ 1 + 2g\sqrt{q}.$$

Curves attaining this bound are called $\mathbb{F}_q$-maximal. The Hermitian curve is a key example of an $\mathbb{F}_q$-maximal curve, as it is the unique curve, up to isomorphism, attaining the maximum possible genus of an $\mathbb{F}_q$-maximal curve.

It is a result commonly attributed to Serre that any curve which is $\mathbb{F}_q$-covered by an $\mathbb{F}_q$-maximal curve is still $\mathbb{F}_q$-maximal. In particular, quotient curves of $\mathbb{F}_q$-maximal curves are $\mathbb{F}_q$-maximal. Many examples of $\mathbb{F}_q$-maximal curves have been constructed as quotient curves of the Hermitian curve by choosing a subgroup of its very large automorphism group.

It is a challenging problem to construct maximal curves that cannot be obtained in this way, as well as to construct maximal curves with many automorphisms (in order to use the machinery described above). A natural question arises also: given two maximal curves over the same finite field, how can one decide whether they are isomorphic or not? A way to try to give an answer to this question is to look at the birational invariants of the two curves, that is, their properties that are invariant under isomorphism.

In this talk, we will describe our main contributions to the theory of maximal curves over finite fields and their applications to coding theory. In relation with the question described before, during the talk, the behaviour of the birational invariant of maximal curves will also be discussed.

Le 31 mai 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Marsault Chabat Université Franche Comté

Théorie d'Iwasawa pour GSp(4)

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit un lien entre les points rationnels d'une variété abélienne et les valeurs spéciales de sa fonction L. Cette conjecture est réputée difficile, nous commencerons donc par voire comment l'attaquer à l'aide d'une conjecture intermédiaire où l'on se focalise en un nombre premier $p$. Ensuite, nous verrons comment dans le cas des surfaces abéliennes on peut obtenir une preuve de cette conjecture (la conjecture intermédiaire) en faisant varier $p$-adiquement une classe de cohomologie galoisienne obtenue à partir de la cohomologie de la variété de Shimura de GSp(4).

Le 7 juin 2024 à 14:00

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Stefano Morra (LAGA Paris 13)

Un modèle local pour les représentations potentiellement Barsotti–Tate

Les anneaux de déformation potentiellement Barsotti–Tate sont un outil essentiel pour l’obtention de résultats profonds en arithmétique, comme la conjecture de Shimura–Taniyama–Weil ou la conjecture de Breuil–Mézard. Néanmoins leur géométrie n’est pas encore bien comprise, et présente de comportement variés avec la parution de points irréguliers ou non-normaux (comme montré par des exemples et conjectures de Caruso–David–Mézard). Dans cet exposé nous discuterons comment les champs de modules de Breuil–Kisin peuvent être utilisés pour décrire la géométrie des champs des représentations potentiellement et modérément Barsotti–Tate (en rang 2, pour des extension non ramifiées de $\mathbf{Q}_p$), en utilisant la théorie des modèles locaux des groupes des lacets en caractéristique mixte. L’outil technique principal est une analyse de la p-torsion d’un complexe tangent pour relever des cartes affines pour des images schématiques entre champs de Breuil–Kisin et des représentations Galoisiennes. Avec ce procédé, nous obtenons un algorithme pour calculer des présentations explicites des anneaux de déformation potentiellement modérément Barsotti–Tate pour les représentations Galoisiennes de dimension 2 pour des extensions non-ramifiées de $\mathbf{Q}_p$. Ceci est un travail en commun avec B. Le Hung et A. Mézard.

Le 14 juin 2024 à 14:00

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Salim Rostam (Université de Tours)

Cocktail à base de partition

Une partition d'un entier n est une suite décroissante d'entiers positifs de somme n. Cette définition est étroitement liée au groupe symétrique et à sa théorie des représentations. Notamment, pour étudier les représentations sur un corps de caractéristique p on peut utiliser le procédé de p-régularisation, introduit par James, qui à une partition associe une partition p-régulière, c'est-à-dire une partition dont aucune part ne se répète p fois ou plus.Une mesure de probabilité classique sur l'ensemble des partitions de n est la mesure de Plancherel. Un résultat spectaculaire de Kerov–Vershik et Logan–Shepp (1977) donne une forme limite asymptotique pour les grandes partitions tirées selon la mesure de Plancherel. Dans cet exposé, nous montrerons ce que devient ce résultat pour la p-régularisation de grandes partitions. Notamment, il y a toujours existence d'une forme limite, qui est donnée par le « secouage » (shaking) de la courbe de Kerov-Vershik-Logan-Shepp.

Le 21 juin 2024 à 14:00

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Lena Ji (University of Michigan)

On rationality of real conic bundle threefolds

For threefolds over the complex numbers, much is understood about the rationality problem, i.e. the property of being birational to projective space. However, much less is known over fields that are not algebraically closed. For example, a threefold defined over the real numbers could become rational after base changing to C, but in general, the complex rationality construction may not descend to R. In this talk, we study this question for real threefolds with a conic bundle structure. This talk is based on joint work with S. Frei, S. Sankar, B. Viray, and I. Vogt, and joint work with M. Ji.

Le 13 septembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Naotake Takao (Kyoto University)

Unramifiedness of torsion points on curves and quasi-supersingular group schemes

In 1987, Coleman submitted a certain conjecture for curves of genus greater than one over complete discrete valuation fields of mixed characteristics. Roughly speaking, this conjecture asserts that the residue fields of the torsion points of the Jacobian lying on the curve are unramified over the base field. As an application, (the already proven part of) this conjecture gives another proof of the Manin-Mumford conjecture (Raynaud's theorem) on the finiteness of torsion points on curves. In this talk, after overviewing some known results on the Coleman conjecture by Coleman, Tamagawa, Hoshi, et al., I explain my recent approach to the conjecture using Raynaud's classification of vector space schemes and discuss “quasi-supersingular group schemes'', which I introduced in another possible approach to the conjecture.

Le 20 septembre 2024 à 14:00

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Livia Campo (Université de Vienne)

Flags on Fano 3-fold hypersurfaces

The existence of Kaehler-Einstein metrics on Fano 3-folds can be determined by studying lower bounds of stability thresholds. An effective way to verify such bounds is to construct flags of point-curve-surface inside the Fano 3-folds. This approach was initiated by Abban-Zhuang, and allows us to restrict the computation of bounds for stability thresholds only on flags. We employ this machinery to prove K-stability of terminal quasi-smooth Fano 3-fold hypersurfaces. This is deeply intertwined with the geometry of the hypersurfaces: in fact, birational rigidity and superrigidity play a crucial role. The superrigid case had been attacked by Kim-Okada-Won. In this talk, I will discuss the K-stability of strictly rigid Fano hypersurfaces via Abban-Zhuang Theory. This is a joint work with Takuzo Okada.

Le 27 septembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

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Florian Luca (Stellenbosch)

On a question of Douglass and Ono

It is known that the partition function $p(n)$ obeys Benford's law in any integer base $b\ge 2$. In a recent paper, Douglass and Ono asked for an explicit version of this result. In my talk, I will show that for any string of digits of length $f$ in base $b$, there is $n\le N(b,f)$, where

$$N(b,f):=\exp\left(10^{32} (f+11)^2(\log b)^3\right)$$

such that $p(n)$ starts with the given string of digits in base $b$. The proof uses a lower bound for a nonzero linear form in logarithms of algebraic numbers with algebraic coefficients due to Philippon and Waldschmidt. A similar result holds for the plane partition function.

Le 4 octobre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Gilles Zémor (Université de Bordeaux)

Freiman's $3k-4$ theorem for function fields

Freiman's $3k-4$ Theorem states that if a subset $A$ of $k$ integers has a Minkowski sum $A+A$ of size at most $3k-4$, then it must be contained in a short arithmetic progression. We prove a function field analogue that is also a generalisation: it states that if $K$ is a perfect field and if $S\supset K$ is a vector space of dimension $k$ inside an extension $F/K$ in which $K$ is algebraically closed, and if the $K$-vector space generated by all products of pairs of elements of $S$ has dimension at most $3k-4$, then $K(S)$ is a function field of small genus, and $S$ is of small codimension inside a Riemann-Roch space of $K(S)$. Joint work with Alain Couvreur.

Le 11 octobre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Jean-François Jaulent IMB

L'analogue logarithmique du théorème d'Artin-Furwängler sur la capitulation non-ramifiée des idéaux

Résumé. L'exposé porte sur l'analogue du Théorème d’Artin-Furtwängler sur la capitulation des groupes de classes dans le corps de Hilbert obtenu en transposant aux groupes de classes logarithmiques des corps de nombres la preuve algébrique classique du Théorème de l’idéal principal.

Abstract. We establish a logarithmic version of the classical result of Artin-Furwängler on the principalization of ideal classes in the Hilbert class-field by applying the group theoretic description of the transfert map in the logarithmic context.

Le 18 octobre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Martin Scotti (LAGA - Paris 8)

Intersecting codes in the Hamming and in the rank metric

In this talk, we investigate intersecting codes. In the Hamming metric, these are codes where two nonzero codewords always share a coordinate in which they are both nonzero. Based on a new geometric interpretation of intersecting codes, we are able to provide some new lower and upper bounds on the minimum length $i(k, q)$ of intersecting codes of dimension k over $\mathbb{F}_q$, together with some explicit constructions of asymptotically good intersecting codes. We relate the theory of intersecting codes over $\mathbb{F}_q$ with the theory of $2$-wise weighted Davenport constants of certain groups, and to nonunique factorization theory. Finally, we will present intersecting codes in the rank metric.

Le 25 octobre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Guido Lido (Université de Tor Vergata)

Geometric quadratic Chabauty

Joint work with Bas Edixhoven.

We present a generalization of Chabauty's method, that allows to compute the rational points on curves /$\mathbf{Q}$ when the Mordell-Weil rank is strictly smaller than $g1$, where $g$ is the genus of the curve and $s$ is the rank of the Néron-Severi group of the Jacobian.

The idea is to enlarge the Jacobian by talking a $\mathbf{G}_m$-torsor over it and the algorithm ultimately consists in intersecting the integral points on the $\mathbf{G}_m$-torsor with (an image of) the $\mathbf{Z}_p$-points on the curve.

We can also view the method as a way of rephrasing the quadratic Chabauty method by Balakrishnan, Dogra, Muller, Tuitman and Vonk.

Le 8 novembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Thomas Agugliaro (Université de Strasbourg)

Variétés abéliennes satisfaisant à la conjecture standard de type Hodge

La conjecture standard de type Hodge porte sur les nombres d'intersections de sous-variétés d'une variété projective. Elle a de nombreuses conséquences en arithmétique, dans cet exposé on construira des variétés abéliennes A qui satisfont à cette conjecture. L'outil principal permettant la construction de variétés abéliennes A est la théorie de Honda-Tate, qui relie ces dernières à des objets de théorie algébrique des nombres. On sera ensuite amené à étudier l'algèbre des classes de Tate de A, qui est un invariant plus manipulable que l'ensemble des sous-variétés de A.

Le 15 novembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Francesco Campagna (Clermont-Ferrand)

Phénomènes d’imprimitivité locale pour points rationnels sur les courbes elliptiques

Soit E une courbe elliptique définie sur un corps de nombres K, et S un point d'ordre infini dans E(K). Une conjecture de Lang et Trotter prédit que l'ensemble des premiers p de K pour lesquels la réduction de S engendre le groupe des points rationnels sur E mod p a une densité qui peut être exprimée en termes de la représentation galoisienne associée aux « corps de division » du point S. Cette conjecture généralise aux courbes elliptiques la plus classique conjecture de la racine primitive d'Artin formulée pour le groupe multiplicatif d’un corps de nombres.

Dans cet exposé, j'examinerai les cas où la densité conjecturale de Lang-Trotter est nulle, c'est-à-dire lorsque S n'est presque jamais localement primitif. En m'appuyant sur l'analogie avec la conjecture d'Artin, je présenterai un projet en cours – en collaboration avec Nathan Jones, Francesco Pappalardi et Peter Stevenhagen – visant à classifier certains de ces phénomènes d'imprimitivité pour les courbes elliptiques sur le corps des rationnels.

Le 22 novembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Jean-Stefan Koskivirta (Caen)

Formes automorphes de type trivial

L'objet de cet exposé est d'établir un lien entre les formes automorphes en caractéristique positive et le champ des G-zips introduit par Pink-Wedhorn-Ziegler. Dans le cas des variétés modulaires de Siegel, j'expliquerai comment les poids des formes automorphes sont entièrement contrôlés par ce champ.

Le 29 novembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Marina Poulet (Grenoble)

TBA

...

Le 6 décembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Adrien Morin (Copenhague)

TBA

...

Le 13 décembre 2024 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Martin Azon (Université Clermont-Auvergne)

Surfaces abéliennes sur $\mathbb{F}_q(t)$ avec des groupes de Tate-Shafarevich grands

Dans cet exposé nous étudierons la taille du groupe de Tate-Shafarevich de certaines surfaces abéliennes sur le corps de fonctions $\mathbb{F}_q(t)$. Hindry et Pacheco ont montré que, pour les variétés abéliennes sur des corps de fonctions, la taille du Sha (dès que finie) est majorée par la hauteur exponentielle. Nous montrerons qu'en dimension 2 leur borne est optimale. Pour cela, on construira une suite de Jacobiennes vérifiant la conjecture de BSD, puis nous calculerons explicitement leur fonction L à l'aide de sommes de caractères. Grâce à des méthodes analytiques, nous estimerons la taille de la valeur spéciale, pour retrouver finalement la borne souhaitée sur le cardinal de leur groupe de Sha.

Le 31 janvier 2025 à 14:00

Séminaire de Théorie des Nombres

Salle de conférences

Antonella Perucca (Université de Luxembourg)

On the Lang Trotter conjecture

During this talk I will present a work in progress, joint with Félix Baril-Boudreau and Alexandre Benoist on the conjecture by Lang and Trotter that generalizes to elliptic curves Artin's conjecture on primitive roots.

Les anciens séminaires

Séminaire Théorie des Nombres

Institut de Mathématiques de Bordeaux UMR 5251