Séminaire Recherche Opérationnelle - Probabilités et Statistiques

We study a coupled PDE-ODE system modeling the small oscillations of a floating cylinder interacting with small water waves. The governing equations are formulated as an abstract wave-type equation on a suitable Hilbert space, and we establish the well-posedness of the associated initial value problem. A key element of the proof is the analysis of a partial Dirichlet-to-Neumann map on an unbounded domain with a non-smooth boundary.

This talk will be a review about recent results concerning the edge states. This concern fluxes that appear at the extremities of isolating materials and they are called "topological isolants" in physics. Several authors propose a model involving a Dirac equation with a vanishing mass on some curve. We will discuss some some aspects of the mathematical analysis for these models and present the open questions.

We present a new distinguisher for alternant and Goppa codes, whose complexity is subexponential in the error-correcting capability, hence better than that of generic decoding algorithms. Moreover it does not suffer from the strong regime limitations of the previous distinguishers or structure recovery algorithms: in particular, it applies to the codes used in the Classic McEliece candidate for postquantum cryptography standardization. The invariants that allow us to distinguish are graded Betti numbers of the homogeneous coordinate ring of a shortening of the dual code.

Since its introduction in 1978, this is the first time an analysis of the McEliece cryptosystem breaks the exponential barrier.

Un paysage écologique peut être modélisé comme un graphe dirigé G=(V,A) dont les sommets représentent les zones d'habitat du paysage et les arcs représentent les connexions entre ces zones. Chaque sommet possède un poids indiquant la qualité écologique de la zone qu'il représente et chaque arc est associé à une longueur qui représente la difficulté pour un organisme d'effectuer le déplacement correspondant. La Probabilité de Connectivité du paysage est calculée à partir des distances de plus court chemin dans ce graphe pondéré et est souvent utilisée par les écologues pour évaluer la connectivité du paysage et identifier les zones à prioriser pour la conservation ou la restauration.

Nous nous intéressons au problème de la maximisation de la Probabilité de Connectivité d'un paysage sous contrainte budgétaire, c'est à dire la recherche de la meilleure combinaison d'options d'aménagement parmi un ensemble donné, chaque aménagement étant modélisé par une modification des pondérations du graphe.

Nous donnons une formalisation en PLNE pour ce problème et proposons une technique de prétraitement des plus courts chemins permettant de réduire significativement la taille des programmes linéaires à résoudre. Pour mettre en oeuvre ce prétraitement de manière efficace, nous donnons un algorithme en temps O(|A| + |V| log |V|) pour résoudre le problème suivant : étant donné un ensemble de scénarios caractérisés par le choix des longueurs possibles des arcs et un arc (u,v), calculer l'ensemble des sommets t tel que (u,v) est sur un plus court chemin de u à t pour tout scénario.

Understanding the geometric properties of gradient descent dynamics is a key ingredient in deciphering the recent success of very large machine learning models. A striking observation is that trained over-parameterized models retain some properties of the optimization initialization. This “implicit bias” is believed to be responsible for some favorable properties of the trained models and could explain their good generalization properties. In this work, we expose the definition and properties of “conservation laws”, that define quantities conserved during gradient flows of a given model (e.g. of a ReLU network with a given architecture) with any training data and any loss. Then we explain how to find the exact number of independent conservation laws via Lie algebra computations. This procedure recovers the conservation laws already known for linear and ReLU neural networks for Euclidean gradient flows, and prove that there are no other laws. We identify new laws for certain flows with momentum and/or non-Euclidean geometries. 

Joint work with Gabriel Peyré and Rémi Gribonval. Associated papers: https://arxiv.org/abs/2307.00144 https://arxiv.org/abs/2405.12888

Je montrerai tout d'abord comment à partir de considérations énergétiques et du principe de moindre action on peut utiliser une fonction indicatrice de phase (fonction couleur) pour modéliser l'effet des forces capillaires sur la dynamique d'un film mince. Je montrerai ensuite comment construire un solveur HLLC pour discrétiser le système d'edp obtenu dans le cas où on peut négliger les effets liés à la pression capillaire (donc liés à la courbure de l'interface film-air). Je terminerai par l'état d'avancement de nos travaux dans le cas où toutes les forces capillaires sont prises en compte dans le modèle. Des résultats numériques permettront d'illustrer la présentation et de mettre en évidence ce qui marche mais aussi ce qui ne marche pas encore ... Il s'agit d'un travail commun réalisé avec B. Delacroix, G. Blanchard, M. Bouyges et C. Laurent.

TBA

Dilation surfaces are surfaces modeled after the complex plane whose structure group is generated by the group of translations and dilations. Given a dilation surface, for any direction in $S^1$ there exists a corresponding directional foliation on the surface. In this talk, we will study the four possible types of dynamical behaviour that such a foliation may have (i.e completely periodic, Morse-Smale, minimal or Cantor-like) and deduce a dynamical decomposition theorem for the directional foliation on dilation surfaces using results of C.J. Gardiner and G. Levitt from the 1980s.

In a second step, we study the first return map of the directional foliation on a dilation surface, which is a so-called affine interval exchange transformation (AIET). We introduce a powerful tool called Rauzy-Veech induction in order to develop a renormalization scheme which allows to find a decomposition of any given AIET into finite union of intervals which exhibit only one of the four types of dynamical behaviour. This provides an alternative, purely combinatorial approach to the decomposition results of Levitt and Gardiner and is joint work with Corinna Ulcigrai and Charles Fougeron.

Cet exposé concerne un travail en collaboration avec Tien-Cuong Dinh, Hsueh-Yung Lin, Keiji Oguiso, Long Wang et Xun Yu. Soit X une variété algébrique complexe. Les formes réelles de X sont les variétés réelles W dont la “complexification”, en tant que variété complexe, est isomorphe à X. Bien entendu, certaines variétés complexes n’ont pas de forme réelle. Un fait plus surprenant, mis en évidence par Lesieutre en 2016, est l’existence d’une variété complexe admettant une infinité de formes réelles. Dans cet exposé, on présente une surface de rang de Picard relativement petit possédant une infinité de formes réelles. L’exemple en question est obtenu en adaptant une construction de Dinh-Oguiso-Yu à base de surfaces K3 via une technique due à Mukai. En fin de compte, on fabrique une surface d’Enriques dont l’éclatement en un point très général d'une courbe bien choisie possède une infinité de formes réelles. Si le temps le permet, on expliquera aussi pourquoi le groupe d’automorphismes de cet éclatement n’est pas de type fini.

We take a section P of infinite order on an elliptic surface and consider points where some multiple nP is tangent to the zero section (These are "unlikely intersections" and our consideration of them is

motivated by a question in geography of surfaces. It is also analogous to the question of whether elements of an elliptic divisibility sequence are square-free.) In characteristic zero, we show finiteness and give a sharp upper bound, relying heavily on a canonical parallel transport in a family of elliptic curves (the "Betti foliation") and a certain real-analytic one-form. Although the finiteness statement looks completely reasonable in characteristic p, it's not clear what would replace the (non-algebraic) 1-form. Time permitting, I will explain how ongoing work with Felipe Voloch connects tangencies to the p-descent map and allows us to bound them in characteristic p as well.

(w/ G. Urzua and F. Voloch)

TBA

In this talk, we are interested in the asymptotic dynamics of a fast rotating incompressible fluid in the regime of vanishing Rossby number. We assume that the fluid moves in a three-dimensional domain with topography (including the possible presence of a land area) and we impose no-slip conditions at the boundary. By proving a "weak implies strong" convergence principle and constructing Ekman layers adapted to the geometry of the domain, we characterise the limit velocity profile and show that it evolves following a linear dynamics.

The talk is based on a joint work with J.-Y. Chemin (Université Claude Bernard Lyon 1) and I. Gallagher (École Normale Supérieure - Paris).

We consider the problem of finding the minimum of inhomogeneous Gaussian lattice sums: Given a lattice L in an n-dimensional Euclidean space V and a positive constant a, the goal is to find the points z in V that minimize the sum of the potential exp(-a ||x - z||^2) over all the points x in L.

By a result of Bétermin and Petrache from 2017 it is known that for steep potential energy functions (when a tends to infinity) the minimum in the limit goes to a deep hole of the lattice.

The goal of this talk is to strengthen this result for lattices with a lot of symmetries: We prove that the deep holes of root lattices are already the exact minimizers for all a>a0 for some finite a0. Moreover, we prove that such a stability result can only occur for lattices with strong algebraic structure.

After introducing the problem, we will discuss how to design and solve exactly an LP bound for spherical designs, which allows to prove that the deep holes are local minimizers.

The end of the argument follows from a covering argument involving a precise control of the parameters around the lattice points.

Joint work with C. Bachoc, F. Vallentin and M. Zimmermann

One of the key properties of convex problems is that every stationary point is a global optimum, and nonlinear programming algorithms that converge to local optima are thus guaranteed to find the global optimum. However, some nonconvex problems possess the same property. This observation has motivated research into generalizations of convexity. This talk proposes a new generalization which we refer to as optima-invexity: the property that only one connected set of optimal solutions exists. We state conditions for optima-invexity of unconstrained problems and discuss structures that are promising for practical use, and outline algorithmic applications of these structures.

The behavior of the random feature model in a high-dimensional framework has recently become a popular topic of interest in the machine learning literature. This model is generally considered for feature vectors composed of independent and identically distributed (iid) entries. We move beyond this specific assumption, which may be restrictive in various applications. To this end, we propose studying the performance of the random feature model with non-iid data by introducing a variance profile to the feature matrix. The performance of this model is linked to the spectrum of the random feature matrix, which turns out to be a nonlinear mixture of random variance profiled matrices. We have computed the limiting traffic distribution of such matrices using an extension of the method of moments. Knowledge of this distribution allowed us to introduce a new random matrix, which we call the « linear plus chaos » matrix, and which shares the same limiting spectrum as the random feature matrix. This linear plus chaos model proves to be simpler to study and has enabled us to derive deterministic equivalents that describe the asymptotic behavior of the performance of the random feature model.

Les travaux de Mañé-Sad-Sullivan et Lyubich (années 80) caractérisent le lieu de bifurcation d'une famille de fractions rationnelles ou de polynômes d'une variable complexe, vus comme des systèmes dynamiques. Par la suite (années 2000) DeMarco, Bassanelli, Berteloot et d'autres ont, à l'aide de méthodes issues de la théorie du pluripotentiel, introduit une mesure naturelle appelée la mesure de bifurcation, dont le support est strictement inclus dans le lieu de bifurcation, et qui détecte les bifurcations "maximales". On présentera un résultat récent sur l'existence de disques holomorphes contenus dans le support de cette mesure, dans le cas où la famille est celle des polynômes cubiques.

Travail en collaboration avec Davoud Cheraghi et Arnaud Chéritat.

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TBA

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À préciser

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A définir

On the mesoscopic level, motion of individual particles can be modeled by a kinetic transport equation for the population density f(t,x,v) as a function of time t, space x and velocity v \in V. A relaxation term on the right hand side accounts for scattering due to self-induced velocity changes and typically involves a parameter K(x,v,v') encoding the probability of changing from velocity v' to v at location x:

\partial_t f(t,x,v) + v \cdot abla f(t,x,v) = \int K(x,v,v') f(t,x,v') - K(x,v',v)f(t,x,v) dv'

This hyperbolic model is widely used to model bacterial motion, called chemotaxis.

We study the inverse parameter reconstruction problem whose aim is to recover the scattering parameter $K$ and that has to be solved when fitting the model to a real situation. We restrict ourselves to macroscopic, i.e. velocity averaged data $\rho = \int f dv$ as a basis of our reconstruction. This introduces additional difficulties, which can be overcome by the use of short time interior domain data. In this way, we can establish theoretical existence and uniqueness of the reconstruction, study its macroscopic limiting behavior and numerically conduct the inversion under suitable data generating experimental designs.

This work based on a collaboration with Kathrin Hellmuth (Würzburg, Germany), Qin Li (Madison, Wisc., USA) and Min Tang (Shanghai, China).

Les strates de différentielles méromorphes à ordres de singularités prescrits sur la sphère de Riemann forment des espaces de modules appelés strates. L'intégration de la differentielle le long de certaines classes d'homologie relatives fournit à ces strates ce que l'on appelle les coordonnées périodes. Fixer les résidus aux pôles (qui sont des périodes particulières) définit la fibration isorésiduelle au-dessus de l'espace vectoriel des configurations de résidus. Il apparaît que le lieu singulier de cette fibration est un arrangement d'hyperplans complexes: l'arrangement de résonance.

Dans le cas particulier des 1-formes avec un seul zéro, la fibration devient un revêtement ramifié. Nous fournissons une formule pour calculer le degré de ce revêtement et analysons sa monodromie. Nos résultats exploitent la correspondance entre l'analyse complexe et la géométrie plate des surfaces de translation.

La géométrie qualitative de ces surfaces de translation est classifiée à l’aide d’arbres décorés, ce qui ramène le calcul du degré du revêtement à un problème combinatoire. Pour les strates avec deux zéros, les fibres isorésiduelles sont des courbes complexes dotées d’une structure de translation canonique. Les singularités de ces fibres codent, à travers leurs invariants locaux, les dégénérescences correspondantes des objets paramétrés. La monodromie est décrite en termes de connexion de Gauss-Manin, qui possède de riches propriétés géométriques et combinatoires.

Ce travail est une collaboration avec Dawei Chen, Quentin Gendron et Miguel Prado.

TBA

Ces dernières années, de nombreux progrès ont été réalisés dans l'étude des métriques de Kähler-Einstein sur les variétés singulières. Cependant, il existe très peu de résultats concernant l'existence des métriques kählériennes à courbure scalaire constante sur les variétés singulières. Dans cet exposé, je discuterai de cette question et présenterai nos résultats sur l'existence de telles métriques lorsque la fonctionnelle de Mabuchi est coercitive. Ce sont des travaux en collaboration avec C-M. Pan et A. Trusiani

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Pas de séminaire

We derive an entropy stable extension of the Navier-Stokes-Fourier equations into the transition regime of rarefied gases. We do this through a variational multiscale reformulation of the closure of conservation equations derived from the Boltzmann equation. Our reformulation subsumes existing methods such as the Chapman-Enskog expansion. We apply the linearized version of this extension to the stationary heat problem and the Poiseuille channel and compare our analytical solutions to asymptotic and numerical solutions of the linearized Boltzmann equation. In both model problems, our solutions compare remarkably well in the transition regime. For some macroscopic variables, this agreement even extends far beyond the transition regime.

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 A définir

Pas de séminaire cette semaine puisqu'il y a la conférence pour les 60 ans de Yuri Bilu : https://yubi60.pages.math.cnrs.fr/

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