Séminaire Recherche Opérationnelle - Probabilités et Statistiques

Dans ce travail, nous proposons une analyse mathématique et numérique de problèmes intervenant en électrophysiologie cardiaque, notamment les modèles bidomaine et tridomaine.

La modélisation mathématique du tissu cardiaque nécessite des géométries complexes multi-échelles pour tenir compte de la taille du cœur et des processus biologiques au niveau microscopique. À l'échelle microscopique, le tissu cardiaque est soumis à des phénomènes particulièrement complexes, et il est très difficile de comprendre et de prédire son comportement à l'échelle macroscopique.

En se basant sur la loi d'Ohm de la conduction électrique et sur la conservation de la charge électrique, nous obtenons le modèle microscopique qui donne une description détaillée de l'activité électrique dans les cellules responsables de la contraction du muscle cardiaque. Ce modèle est de type elliptique, couplé à un système d'EDO non linéaire.

Grâce à des techniques d'homogénéisation et de développements asymptotiques à partir du modèle microscopique, nous obtenons un modèle modèle macroscopique. Ce dernier, de type parabolique, permet à son tour de décrire la propagation des ondes électriques dans le cœur tout entier. Nous apportons en plus, pour ces deux formulations, des résultats d'existence et d'unicité de la solution.

Dans une seconde partie, nous traitons le cas particulier du modèle monodomaine. Ce dernier étant une simplification du modèle bidomaine.

Ce modèle est représenté par un système d'équations aux dérivées partielles de type réaction diffusion non linéaire couplé à des EDO dont la résolution numérique est très coûteuse. Nous utilisons le schéma d'Euler implicite pour la discrétisation de la variable temporelle et la méthode des éléments finis pour la discrétisation en espace. Le système non linéaire obtenu est résolu grâce à la méthode de Newton.

Ensuite, en utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l’espace $\textbf{H}(div, \Omega)$, nous établissons une estimation d’erreur a posteriori entre la solution exacte et la solution approchée à chaque pas du solveur de Newton. Cette estimation permet de certifier la solution approchée à chaque pas du solveur de linéarisation et permet également de distinguer les différentes composantes de l’erreur de la simulation numérique à savoir l’erreur de discrétisation par éléments finis et l’erreur de linéarisation issue de la méthode de Newton.

Voir

https://plmbox.math.cnrs.fr/f/97d355556de642e6b762/

Le Principe Fondamental d'Euler-Ehenpreis-Palamodov suivant lequel toute solution d'un système homogène d'équations aux dérivées partielles s'avère être une superposition de solutions dites élémentaires relève certes de l'analyse (Fourier, distributions), mais plus encore de la géométrie (analytique et algébrique): résolution des singularités, équations de Bernstein-Sato, théorème des syzygies et théorie des résidus en plusieurs variables complexes. Tout reste à faire par contre lorsque tout un pan de l'algébricité est perdu, comme c'est par exemple le cas lorsque viennent se greffer aux opérateurs différentiels des opérateurs aux différences. Si les conjectures sur les sommes d'exponentielles ou les exponentielles polynômes surgissant alors sont sans doute encore hors de portée, les méthodes introduites depuis les travaux d'A. Wilkie et de J. Pila en théorie de la o-minimalité invitent à revisiter, certes en limitant l'ambition initiale, certaines de ces questions, comme en témoignent les récents résultats de G. Binyamini, D. Novikov et B. Zack (2024). Je me concentrerai dans cet exposé sur les systèmes d'opérateurs différentiels en toutes les variables, mais avec de plus des retards, commensurables ou non, suivant une seule d'entre elles, à savoir le temps. Mon exposé sera le plus introductif possible, s'agissant d'un terrain combinant analyse et géométrie.

Il s'agit d'un travail avec Alekos Vidras (Nicosie).    

Solving equations in singular moduli amounts to finding so-called special points on algebraic varieties and is a simple instance of the André-Oort philosophy for Shimura varieties. Some of these equations are more interesting than others and have several consequences, which we shall review. Many results for singular moduli are expected to hold for differences of singular moduli as well, in the spirit of Gross and Zagier: we will focus in particular on linear equations and show that such differences are distinct. Joint work with Guy Fowler (Manchester). 

In this talk, we will present enumeration algorithms of skew cyclic codes for a finite field extension when the characteristic is odd and coprime to the code length over the degree of the extension, that is, in the separable case.

In a first part of the talk, we will define an explicit bijection between selfdual skew cyclic codes and families of totally maximal isotropic subspaces in some Euclidean or Hermitian spaces.

In a second part, we will use this bijection together with classical counting results in finite geometry to count selfdual skew cyclic codes, generate them randomly according to the uniform distribution and enumerate them.

To conclude, we will illustrate these methods by factorizing selfdual skew cyclic code generators in the purely inseparable case, into separable ones, providing thus an exhaustive, though redundant, enumeration algorithm in the general case. Finally, we will report on an implementation of our enumeration algorithms in SageMath, and provide some numerical results.

This is a joint work with Xavier Caruso.

L'ordre du jour sera le suivant :

1. Présentation par Laurent Bessières de la composition du comité de sélection PR 25 UB/IMB en Géométrie. Présentation par Boris Detienne des comités de sélection MCF 26 UB/IMB pour le poste en Probabilités appliquées et le poste en Recherche opérationnelle.

2. Approbation du compte rendu de la réunion du conseil scientifique du 17 décembre.

3. Informations de la direction.

4. Validation finale des demandes de gratifications fléchées de stages de M2.

5. Lancement de la campagne des gratifications "blanches" de stages de M2.

6. Présentation orale des deux sujets de thèse ayant obtenu un contrat doctoral fléché lors de la réunion du 17 décembre (sujets proposés par Aurel Page et Alexandre Génadot).

7. Questions diverses.

À préciser

On présente brièvement la connexion entre la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$, la fonction zêta de Ruelle $\zeta_{Ruelle}(s)$ et les fonctions zêta dynamiques $\eta_D(s), \eta_N(s).$ Les dernières sont associées au flot de billiard pour l'union $D \subset {\mathbb R}^d$ d'un nombre fini des obstacles compacts disjoints. En particulier, $\eta_D(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-\lambda_n s}$, où $a_n \in {\mathbb R}$ changent des signes aléatoirement, tandis que $\eta_N(s)$ est une série de Dirichlet avec des coefficients $a_n > 0.$ Pour cela il y a des similitudes entre le comportement de $\eta_D(s)$ et $\frac{1}{\zeta(s)}.$ Les singularités de $\eta_D$ et $\eta_N$ sont importantes pour la distribution des résonances de l'opérateur de Laplace dans l'extérieur de $D$ avec conditions de Dirichlet ou Neumann sur $\partial D$. Dans cette direction, Ikawa a introduit en 1990 la conjecture modifiée de Lax-Phillips (MLPC) affirmant qu'il existe une bande $\{z \in \mathbb{C}: \: 0 < \mathop{\rm Im} z \leq \alpha\}$ contenant un nombre infini des résonances. Dans l'exposé on présente les résultats suivants: (a) Sous une condition de non eclipse, on prouve que $\eta_D$ et $\eta_N$ admettent un prolongement méromorphe sur le plan complexe avec des pôles simples et résidus entiers. (b) Si la frontière $\partial D$ est réelle analytique, la fonction $\eta_D$ n'est pas entière et (MLPC) est satisfaite. (c) Pour $\eta_N$ il existe une bande $\{z \in \mathbb{C}: \beta < \mathop{\rm Re} z < \sigma_a\}$ contenant un nombre infini des pôles et on caractérise les constantes $\beta$ et $\sigma_a$. On présentera une idée de la preuve de (b) et on discutera l'idée de la preuve du prolongement méromorphe de $\zeta_{Ruelle}$ suivant l'article seminal de S. Dyatlov et M. Zworski. Les résultats (a) et (b) sont obtenu en collaboration avec Yann Chaubet.

Venez coopérer ou trahir vos amis dans la bonne humeur autour de vos jeux préférés. Si vous avez des jeux de société chez vous, n'hésitez pas à les apporter pour la soirée !

Come and cooperate or betray your friends in good spirits over your favorite games. If you have board games at home, feel free to bring them along for the evening!

TBA

On peut regarder la propriété d'acylindricité comme une généralisation d'un réseau dans un groupe localement compact et à base dénombrable. Ces dernières années, l'utilité de cette propriété a été démontrée par la surgance des résultats concernant les groupes qui agissent acylindriquement sur un espace hyperbolique. Bien-sûr, les arbres sont des exemples d'espaces hyperboliques, et quand on considère des produits, on voit des phénomènes qui ne sont pas présents en rang-1, comme les réseaux simples Burger-Mozes-Wise, et les noyaux Bieri-Stallings-Bestvina-Brady.

En collaboration avec S. Balasubramanya, nous introduisons une nouvelle classe de groupes à courbure non-positive. Nous regardons la théorie des réseaux semi-simples S-arithmétiques comme une source d'inspiration et étendre la théorie de l'acylindricité au rang supérieur et nous considérons des produits finis d'espaces delta-hyperboliques. La catégorie est fermée par produit direct, sous-groupes et super-groupes d'indice fini. On a aussi des réseaux qui ne sont pas uniformes, On introduit la définition de l'AU-acylindricité (i.e. Acylindricité of Uniformité Ambiguë) et ça nous permet d'avoir une théorie qui contient tous les réseaux semi-simples S-arithmétiques avec des facteurs de rang-1, les groupes hiérarchiquement hyperboliques (HHGs), la déjà riche classe des groupes acylindriquement hyperboliques, et beaucoup plus !

Dans cet exposé, on va discuter deux résultats dans ce contexte. Le premier, c'est une alternative de Tits. Le deuxième sera, si en plus, on a que la projection à chaque facteur est une action de type général, qu'un tel groupe G admet alors une décomposition canonique en produit. Ce type de semi-simplicité descend à Out(G), donnant ainsi une résolution partielle d'une conjecture récente de Sela (2023).

TBA

ReLU neural networks parameterizations are well-known to satisfy rescaling symmetries, which arise due to the homogeneity of the ReLU activation function. Ignoring such symmetries can lead to inefficient algorithms, non-informative theoretical bounds, and irrelevant interpretations of parameters. Can such symmetries be harnessed, theoretically and practically ? This is the goal of the path-lifting, a rescaling-invariant polynomial representation of the parameters of ReLU networks and their modern variants with max-pooling and skip connections.

Despite its combinatorial dimension, the path-lifting yields easily computable quantities that reveal useful properties of the corresponding functions, from Lipschitz regularity to convexity or statistical generalization bounds .... Besides introducing the general concept of path-lifting from basic examples and highlighting its key mathematical and computational properties, the talk will quickly tour some of its applications such as network pruning with guarantees.

Primarily based on joint work with A. Gonon, N. Brisebarre, E. Riccietti (https://hal.science/hal-04225201v5, https://hal.science/hal-04584311v3)

and with A. Gagneux, M. Massias, E. Soubies (https://hal.science/hal-04877619v1)

À préciser

Many physical or economical applications rely on Monte-Carlo (MC) codes to solve deterministic partial differential equations (PDEs). This is the case for example for (non-exhaustive list) neutronics and photonics. The Monte-Carlo resolution implies the sampling of the physical variables: x the position, v the velocity and t the time. The simulations are costly but the MC resolution is competitive with respect to other methods due to the high dimensional (7d) deterministic problem. The numerical parameter controling the accuracy is N_MC, the number of particles. The larger N_MC, the more accurate the results. The convergence rate obeys the central limit theorem: it is O(1/sqrt(N_MC)).

Obviously, propagating uncertainties (for sensitivity analysis etc.) with respect to different parameters X \in R^d is of great interest in every of the aforementioned applications (uncertain cross-sections etc.). In fact, in our physical applications, we would like to be able to perform systematic uncertainty propagations. As a consequence, we often face a 7+d dimensional problem. Non-intrusive methods are usually applied (use of black box codes). But it demands a high number N of evaluations. In our MC resolution context, each one of them is costly. One accurate run can take several hours on hundreds of processors.

When applying any non-intrusive method to propagate uncertainties through the linear Boltzmann equation solved with an MC code, basically, the physical space (x,t,v) and the uncertain space (X) are both explored thanks to two different MC experimental designs. The first one has particles to explore the space of physical variables (x, t, v), the second one has N runs for the space of the uncertain variable X. In this non-intrusive context, the two MC samplings are tensorised in the sense we process N_MC x N = 1e9 -- 1e15 particles for an overall O()1/sqrt(N_MC) error. An uncertainty propagation study is consequently costly. The main idea of the present work comes from the fact that MC experimental designs should allow avoiding the tensorisation of the N_MC particles and N runs [1,2,3,4]. For this, we sample the whole space relative to (x,t,v,X) within the same MC design. This implies sampling the uncertain parameters X within the code, hence the intrusiveness of the approach. In practice in [1], fast convergence rates have been observed with respect to the polynomial Chaos truncation order P: the method is efficient for the linear [2], nonlinear [4] Boltzman equation and keff computations [3]. The aim of the talk is to present the details of the uncertain MC solver.

[1] G. Poëtte. A gPC-intrusive Monte-Carlo scheme for the resolution of the uncertain linear Boltzmann equation. Journal of Computational Physics, 385:135 – 162, 2019

[2] G. Poëtte. Spectral convergence of the generalized Polynomial Chaos reduced model obtained from the uncertain linear Boltzmann equation. Preprint submitted to Mathematics and Computers in Simulation , 2019.

[3] G. Poëtte and E. Brun. Efficient uncertain k eff computations with the Monte Carlo resolution of generalised Polynomial Chaos Based reduced models. Preprint,November 2020.

[4] G. Poëtte. Efficient uncertainty propagation for photonics: combining Implicit Semi-analog Monte Carlo (ISMC) and Monte Carlo generalised Polynomial Chaos (MC-gPC). Preprint, 2020.

Un élément g d’un groupe G est dit distordu s’il existe une famille finie S dans G qui engendre g et telle que la longueur de g^n pour la métrique des mots associée à S est négligeable par rapport à n (en général, elle croît au plus linéairement en n). Cette notion très utile fournit notamment des obstructions à plonger certains groupes dans d’autres. 

Ici, on cherchera à identifier les éléments distordus des groupes de difféomorphismes du segment en différentes régularités. On présentera notamment des obstructions naturelles à la distorsion (telles que la présence de points fixes hyperboliques en régularité $C^1$ et la positivité de la variation asymptotique en régularité supérieure) et on se demandera si ce sont les seules, ou au moins si « la plupart » des difféomorphismes pour lesquels ces obstructions sont absentes sont effectivement distordus.

During this talk I will present a work in progress, joint with Félix Baril-Boudreau and Alexandre Benoist on the conjecture by Lang and Trotter that generalizes to elliptic curves Artin's conjecture on primitive roots.

TBA

TBD

A préciser

Un fameux théorème de Laudenbach et Poénaru dit que tout difféomorphisme du bord d'un corps à 1-anses de dimension 4 s'étend en un difféomorphisme de tout le corps-en-anses. Je présenterai une nouvelle preuve de ce résultat et une généralisation aux corps de compression de dimension 4. J'expliquerai aussi en quoi ce résultat est essentiel dans la théorie des variétés compactes de dimension 4.

TBA

TBD

In this presentation, a response matrix (here, species abundances) is assumed to depend on explanatory variables (here, environmental variables) supposed many and redundant, thus demanding dimension reduction. The Supervised Component-based Generalized Linear Regression (SCGLR), a Partial Least Squares-type method, is designed to extract from the explanatory variables several components jointly supervised by the set of responses. However, this methodology still has some limitations we aim to overcome in this work. The first limitation comes from the assumption that all the responses are predicted by the same explanatory space. As a second limitation, the previous works involving SCGLR assume the responses independent conditional on the explanatory variables. Again, this is not very likely in practice, especially in situations like those in ecology, where a non-negligible part of the explanatory variables could not be measured. To overcome the first limitation, we assume that the responses are partitioned into several unknown groups. We suppose that the responses in each group are predictable from an appropriate number of specific orthogonal supervised components of the explanatory variables. The second work relaxes the conditional independence assumption. A set of few latent factors models the residual covariance matrix of the responses conditional on the components. The approaches presented in this work are tested on simulation schemes, and then applied on ecology datasets.

Séminaire joint avec OptimAI.

In this presentation, a response matrix (here, species abundances) is assumed to depend on explanatory variables (here, environmental variables) supposed many and redundant, thus demanding dimension reduction. The Supervised Component-based Generalized Linear Regression (SCGLR), a Partial Least Squares-type method, is designed to extract from the explanatory variables several components jointly supervised by the set of responses. However, this methodology still has some limitations we aim to overcome in this work. The first limitation comes from the assumption that all the responses are predicted by the same explanatory space. As a second limitation, the previous works involving SCGLR assume the responses independent conditional on the explanatory variables. Again, this is not very likely in practice, especially in situations like those in ecology, where a non-negligible part of the explanatory variables could not be measured. To overcome the first limitation, we assume that the responses are partitioned into several unknown groups. We suppose that the responses in each group are predictable from an appropriate number of specific orthogonal supervised components of the explanatory variables. The second work relaxes the conditional independence assumption. A set of few latent factors models the residual covariance matrix of the responses conditional on the components. The approaches presented in this work are tested on simulation schemes, and then applied on ecology datasets.

Pour un groupe G donné, on veut décrire les actions possibles de G par homéomorphismes de la droite, à semi-conjugaison près. Lorsque G est de type fini, on peut faire cela à travers l'étude de la dynamique d'un flot sur un espace compact. On décrira ce flot dans plusieurs exemples, et on discutera de certaines applications. Il s'agit d'un projet en collaboration avec Brum, Matte Bon, et Rivas.

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Les travaux de Mañé-Sad-Sullivan et Lyubich (années 80) caractérisent le lieu de bifurcation d'une famille de fractions rationnelles ou de polynômes d'une variable complexe, vus comme des systèmes dynamiques. Par la suite (années 2000) DeMarco, Bassanelli, Berteloot et d'autres ont, à l'aide de méthodes issues de la théorie du pluripotentiel, introduit une mesure naturelle appelée la mesure de bifurcation, dont le support est strictement inclus dans le lieu de bifurcation, et qui détecte les bifurcations "maximales". On présentera un résultat récent sur l'existence de disques holomorphes contenus dans le support de cette mesure, dans le cas où la famille est celle des polynômes cubiques.

Travail en collaboration avec Davoud Cheraghi et Arnaud Chéritat.

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