L'objectif de ce projet est de rassembler des mathématiciens d'origines diverses travaillant autour des problèmes de systèmes dynamiques lagrangiens et des problèmes liés aux équations d'Hamilton-Jacobi en utilisant aussi bien les outils des systèmes dynamiques, discrets ou continus, des équations aux dérivées partielles, de contrôle optimal ou d'analyse convexe des problèmes de transport. Ce sujet est maintenant appellé "la théorie KAM faible".

Hamilton et Jacobi ont utilisé initialement les solutions des équations d'Hamilton-Jacobi pour trouver certaines orbites de systèmes de la mécanique classique : cette technique fait maintenant partie de la théorie des systèmes dynamiques lagrangiens. Cette équation a été essentiellement utilisée dans les syst`mes lagrangiens, pendant longtemps comme une technique locale, par l'intermédiaire de la méthode des caractéristiques. Cela provenait de l'absence de solutions globales lisses ou du moins C1. Les mathématiciens travaillant en EDP ont naturellement été intéressés par ces techniques dès qu'ils ont réalisés que beaucoup de problèmes de contrôle optimal pouvaient être formulés dans ce cadre là.

La théorie des systèmes dynamiques lagrangiens et celle des EDP associées aux équations d'Hamilton-Jacobi on fait d'immenses progrès sur les aspects globaux à partir des années 80, progrès essentiellement dûs à la découverte des ensembles d'Aubry-Mather pour le côté dynamique, et à l'introduction des solutions de viscosité pour le côté EDP. C'est cependant vers la fin des années 90 que la connexion entre les ensembles d'Aubry-Mather et les solutions de viscosité a été finalement établie. Cela a produit beaucoup de résultats originaux : comportement asymptotique du semi-groupe de Lax-Oleinik, existence d'orbites homoclines, homogénéisation ergodique stationnaire, relation avec l'équation d'Aronsson-Euler, progrès dans l'étude des solutions obtenues par la méthode de la viscosité évanouissante.

La théorie KAM faible a, depuis lors, vu sa portée étendue à différents domaines : description des mesures maximisantes en optimisation ergodique, solutions de viscosité discrètes, relation avec le problème de transport Monge-Kontorovich, fonction de Lyapunov, fonctions temps sur les variétés lorentziennes.

Ces progrès ont été essentiellement réalisés gràce aux interactions entre ces différents sujets mathématiques. Il reste beaucoup de problèmes non résolus attrayants et interdisciplinaires dans le sujet : régularité des solutions de l'équation d'Hamilton-Jacobi, comportement asymptotique de semi-groupe de Lax-Oleinik pour des solutions non bornées, lien entre le problème de Monge-Kontorovitch et la théorie de l'optimisation ergodique, hamiltoniens non convexes, généralisation de la théorie aux domaines à bord non vide, applications à la mécaniques céleste, ainsi qu'aux problèmes de contrôles.