Travaux de Bonahon et Canary

Je tente de résumer les notes que j'ai prises Arnaud Chéritat (discussion).

Il y a eu des rappels sur les notions de bout simplement dégénéré, géométriquement fini, géométriquement modéré et topologiquement modéré ainsi que les surfaces hyperboliques simpliciales et le lemme du diamètre borné (voir la séance de Bavard).

Soit $M$ une $3$ variété hyperbolique dont le groupe fondamental est finiment engendré. Soit $C(M)$ un cœur compact de Scott pour $M$. Soit $\mathcal E$ un bout et $S_{\mathcal E}$ la composante du bord du cœur qui fait face à $\mathcal E$.

Lemme (Bonahon) : Si $S_{\mathcal E}$ est incompressible dans $M$, alors les deux assertions suivantes sont équivalentes :

• Pour tout voisinage $U$ du bout, il existe une courbe fermée simple dans $S_{\mathcal E}$ et homotope à une géodésique fermée $\gamma'$ contenue dans $U$.
• $\mathcal E$ est simplement dégénéré au sens suivant:

1. $\mathcal E$ a un voisinage $V$ homéomorphe à $S\times[0,+\infty[$,
2. il existe une suite $S_n$ de surfaces hyperboliques simpliciales qui tend vers $\cal E$ et qui sont toutes homotopes à $S_{\mathcal E}$ dans $V$.

Preuve.

Sens $\Longleftarrow$: On utilise le résultat suivant (voir ici) : une surface hyperbolique simpliciale de genre majoré possède une géodésique de longueur majorée.

Sens $\Longrightarrow$:

• On fixe $v$ dans la courbes $\gamma$ donnée (pour rappel, elle est incluse dans la composante de bord de $C(M)$ notée $S_{\mathcal E}$).
• Choisissons une triangulation de $S_{\mathcal E}$ dont $\gamma$ est une arrête, dont toutes les arrêtes partent et arrivent en $v$ et aucune n'est homotopiquement triviale dans $S_{\mathcal E}$ (ça existe !).
• L'homotopie de $\gamma$ vers $\gamma'$ envoie $v$ sur un certain $v'$ et définit un chemin $\alpha$ de $v$ à $v'$.
• On conjugue toutes les arrêtes par $\alpha$ pour obtenir un ensemble de chemins qui partent et arrivent en $v'$.
• On remplace toutes ces boucles par leur géodésiques homotopes.
• Comme $S_{\mathcal E}$ est incompressible, aucune de ces géodésique n'est triviale.
• On peut ensuite homotoper l'intérieur de chaque triangle en le triangle géodésique immergé correspondant à ses bords. Immergés mais pas forcément plongés : ce sont de braves triangles hyperboliques dans le revêtement universel. Pour réaliser l'homotopie, on travaille d'ailleurs dans le revêtement universel: on commence par une homotopie qui projette sur le plan contenant le triangle hyperbolique. Puis on rétracte par déformation sur ce triangle.
• On obtient alors une surface simpliciale hyperbolique si on peut vérifier que l'angle total en l'unique sommet $v'$ est $\geq 2\pi$.
• Pour cela, on se sert de $\gamma'$: c'est une géodésique fermée, elle arrive et part de $v'$ dans deux directions opposées de l'espace ambiant. Observons cela sur la sphère unité dans l'espace tangent en $v'$ à l'espace ambiant: Chacun des 3 "sommets" de chaque triangle, notons $\alpha$ son angle, dessine un arc sur cette sphère dont la longueur est égale à $\alpha$. L'ensemble de ces arcs forme une chaîne fermée (une seule par construction: cela vient du choix de la triangulation de $S_{\mathcal E}$) et qui contient deux points opposés de la sphère unité, donc de longueur au moins $2\pi$.
• Soit une suite $\gamma'_i$ tendant vers $\cal E$ et satisfaisant aux hypothèses, et soit $S_i$ la surface simpliciale hyperbolique associée construite par le procédé que nous venons de décrire.
• Par le lemme du diamètre borné (l'hypothèse de $\pi_1$-injectivité sur les courbes courtes est vérifiée trivialement car $S$ est est incompressible), $S_i$ est à distance bornée de $\gamma'_i$ modulo la partie fine de $M$. Cette dernière est constitué de composantes connexes, les tubes de Margulis, qui sont à distance minorée les uns des autres, et tout compact de $M$ ne contient qu'un nombre fini de telles composantes. Ainsi $S_i$ tend également vers $\cal E$.

Nous avons ainsi construit une suite $S_i$ vérifiant le point numéro 2.

• Quitte à extraire, on peut supposer les $S_i$ deux à deux disjoints.
• Rappelons que $S_i$ et $S_{i+1}$ sont homotopes à $S_{\mathcal E}$ et incompressibles.
• On utilise ensuite un lemme de Waldhausen: en gros, il dit que pour une large classe de 3-variétés, toute autre $3$-variété qui a le même $\pi_1$ lui est homéomorphe. Ce lemme inclut la possibilité de prescrire le comportement au bord.
• Je ne sais pas combler les trous qui restent pour conclure Arnaud Chéritat (discussion) 4 mars 2015 à 15:30 (CET)

Q.E.D

Lemme. Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. $\mathcal E$ a un voisinage qui ne rencontre aucune géodésique fermée,
2. $\mathcal E$ a un voisinage qui ne rencontre pas le cœur convexe.

Un sens est immédiat et l'autre vient de la propriété qu'en géométrie hyperbolique, les triangles sont fins.

Rappelons qu'un tel bout est appelé géométriquement fini.

Lemme. (Bonahon) Pour tout bout non géométriquement fini $\cal E$ d'une 3-variété hyperbolique de type fini, il existe une suite de géodésiques fermées qui tend vers $\cal E$.

Nous avons vu une esquisse de la preuve de ce lemme.

Dans le milieu des années 1980, Bonahon fit un grand pas vers la conjecture de modération :

Théorème. (Bonahon) Si $S_{\mathcal E}$ est incompressible, alors le bout $\mathcal E$ est soit géométriquement fini, soit simplement dégénéré.

Nous n'aurons pas besoin de ce théorème ici.

Dans la même veine, en 1994 :

Théorème. (Canary) Si $M$ est topologiquement modérée, alors chaque bout est soit géométriquement fini, soit simplement dégénéré.

Nous n'avons pas besoin de ce théorème ici, mais Gabai le redémontre en passant dans ses notes, c'est l'objet du chapitre 4.