• Nombres formels algébriques et transcendants

Nous allons donner quelques exemples de nombres formels algébriques. Commençons par le cas particulier d'un nombre rationnel. Nous souhaitons calculer l'inverse de 1011 dans F(2). D'abord nous remarquons que 1011 * 10111 = 10000001 . D'un autre coté nous avons

11 * 0.111111....[1].... = 1.111111....[1].... + 0.111111....[1].... = 1

En changeant T en T7 dans les formules ci-dessus, nous obtenons

1 = 10000001*0.000000100000010000001....[0000001]....

Rappelons que les blocs entre crochets sont répétés indéfiniment. Par conséquent nous pouvons écrire

1011-1 = 10111 * 10000001-1 = 10111 * 0.000000100000010000001....[0000001]....

ce qui entraine

1011-1 = 0.001011100101110010111....[0010111]....

Ce développement est périodique en conformité avec la propriété énnoncée plus haut puisque 1011-1 est un nombre rationnel. Remarquons que, en analogie avec le cas des nombres réels, ceci provient du fait que tout nombre entier formel sur un corps fini divise Tl ( Tm -1) pour certains entiers positifs l and m.

Examinons maintenant quelques nombres algébriques irrationnels. Dans F(2), l'équation X2 = 1.1 n'a pas de solution, en d'autres termes la racine carrée de 1.1 n'existe pas dans F(2). Cependant la racine carrée de 1.1 existe bien dans F(3) et une approximation est 1.21121.... .
Encore dans F(2), l'équation X3 = 1.1 a une unique solution, en d'autres termes la racine cubique de 1.1 existe et une approximation est 1.11100001.... .

Enfin considérons léquation suivante

X2 + 10 * X + 1 = 0

Si nous travaillons dans F(2), ceci peut s'écrire

X = 0.1 + 0.1 * X2

ce qui implique

X = 0.1 + 0.1 * (0.1 + 0.1 * X2)2 =0.1 + 0.1 * (0.01 + 0.01 * X4) = 0.101 + 0.001 * X4

En répétant les mêmes arguments, nous obtiendrions

X = 0.1010001 + 0.0000001 * X8

Par itération nous voyons que l'équation ci-dessus a une unique racine X2 in F(2) et nous avons

X2 = 0.101000100000001000.....

où la suite des coefficients de X2 est telle que a-i est 1 si i est égal à 2k - 1 et 0 autrement. On pourrait montrer que la même équation a une unique solution dans F(p) pour tout nombre premier p . Nous donnons une approximation pour les solutions X3 et X5 dans F(3) et F(5) respectivement.

X3 = 0.102020102000000...  and   X5 = 0.1040200040302010......

La suite des coefficients pour X2 est très régulière. Bien que les suites des coefficients pour X3 et pour X5 n'apparaissent pas aussi régulières, on peut montrer que ces suites ne sont pas completement aléatoires. En fait les mathématiciens ont introduit une classe spéciale de suites prenant un nombre fini de valeurs. Ces suites, appelées suite automatiques, sont d'une certaine façon une généralisation des suites périodiques. Une suite est automatique si et seulement si c'est la suite des coéfficients d'un nombre formel algébrique sur un corps fini. En conséquence il devient possible de décider si un nombre formel donné est algébrique ou non. Considérons dans F(p) le nombre suivant

X = 0.0110101000101000101000100000101....

où la suite des coefficients est telle que a-i égale 1 si i est un nombre premier et 0 autrement. Alors on peut prouver que ce nombre X est transcendant dans F(p) pour tous les nombres premiers p. Il est hautement probable que le nombre réel représenté par ce même développement, considéré comme un développement décimal, est un nombre transcendant, mais la preuve de cela est encore inaccessible.

 

 

 

EPILOGUE

"Det var bare en liten almindelig flue med graa vinger. Og det var ikke noget videre ved hende.
Men hun skaffet mig mangen gang en fornoeielig stund saa laenge hun levet."

Knut Hamsun


 

Bordeaux, le 09-02-2002

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