• Opérations sur des développements finis
Nous allons illustrer ces opérations sur deux nombres formels avec le corps de base K = Q . D'aprés les règles élementaires du calcul algébrique, nous pouvons écrire
(3T3 + 5T + T-1) +
(4T2 - 7T + 1) = 3T3 + 4T2 -2T + 1 +
T-1 (3T3 + 5T + T-1) *
(4T2 - 7T + 1) = 12T5 - 21T4 + 23T3
- 35T2 + 9T - 7 + T-1 3050.1 + 4(-7)1 = 34(-2)1.1
3050.1 * 4(-7)1 = (12)(-21)(23)(-35)9(-7).1 comme dans le cas d'un développement décimal, un nombre formel représenté par un développement infini sera naturellement estimé par le début de ce développement. Cette estimation sera d'autant plus précise que le développement est tronqué plus loin. En d'autres termes, la queue du développement devient de plus en plus insignifiante. En language mathématique nous dirons qu'un nombre formel est proche de zéro quand son degré est un grand nombre négatif. Donnons une application de cette propriété. En considérant deux entiers positifs k et n, nous pouvons écrire l'identité classique suivante
(1-T-nk) / (1-T-k) = 1 +
T-k + T-2k + T-3k + ..... + T-(n-1)k
1 / (1-T-k) = 1 + T-k +
T-2k + T-3k + ..... + T-nk + ......
T / (T - 1) = 1 + T-1 +
T-2 + T-3 + ..... + T-n + ......
10 / (10 - 1) = 1.1111.....1......