• Opérations sur des développements finis

Nous allons illustrer ces opérations sur deux nombres formels avec le corps de base K = Q . D'aprés les règles élementaires du calcul algébrique, nous pouvons écrire

(3T3 + 5T + T-1) + (4T2 - 7T + 1) = 3T3 + 4T2 -2T + 1 + T-1

et

(3T3 + 5T + T-1) * (4T2 - 7T + 1) = 12T5 - 21T4 + 23T3 - 35T2 + 9T - 7 + T-1

Pour utiliser l'écriture simplifiée, nous introduisons des parenthèses autour des coefficients pour éviter la confusion quand cela est nécessaire. Ceci devient

3050.1 + 4(-7)1 = 34(-2)1.1

3050.1 * 4(-7)1 = (12)(-21)(23)(-35)9(-7).1

• Approximation par troncature

comme dans le cas d'un développement décimal, un nombre formel représenté par un développement infini sera naturellement estimé par le début de ce développement. Cette estimation sera d'autant plus précise que le développement est tronqué plus loin. En d'autres termes, la queue du développement devient de plus en plus insignifiante. En language mathématique nous dirons qu'un nombre formel est proche de zéro quand son degré est un grand nombre négatif. Donnons une application de cette propriété. En considérant deux entiers positifs k et n, nous pouvons écrire l'identité classique suivante

(1-T-nk) / (1-T-k) = 1 + T-k + T-2k + T-3k + ..... + T-(n-1)k

Puisque T-nk tend vers zéro quand n tend vers l'infini, nous obtenons le développement infini

1 / (1-T-k) = 1 + T-k + T-2k + T-3k + ..... + T-nk + ......

Par exemple, en prenant k = 1, nous pouvons écrire

T / (T - 1) = 1 + T-1 + T-2 + T-3 + ..... + T-n + ......

ou encore en écriture simplifiée

10 / (10 - 1) = 1.1111.....1......

Remarquons que cette formule est simplement vraie en la considérant dans le cadre classique des nombres réels ( i. e. 10 / 9 = 1.111111...1... ).

 

English version
Aller à la page : 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10