Nombres formels
sur un corps fini

 

• Corps finis

Au début du dix-neuvième siècle, en particulier avec les travaux de E. Galois, la notion de corps fini est apparue. Par corps fini nous entendons un corps de nombres ayant un nombre fini d'éléments. Vers le milieu du vingtième siècle, une étude intensive de ces corps et particulièrement des ensembles de fonctions sur ces corps a été entreprise. Les corps de nombres formels sur un corps fini sont d'une importance particulière. Nous noterons F n un corps fini avec n éléments et F(n) le corps des nombres formels sur F n . En considérant ce corps F(n) , les analogies avec le corps des nombres réels dejà mentionnées sont encore plus frappantes. Les coefficients d'un nombre formel dans F(n) ne prennent que n valeurs. Nous ennonçons une belle conséquence de cela : la suite des coefficients d'un nombre formel est ultimement périodique si et seulement si ce nombre est le quotient de deux entiers formels.

• Le plus petit corps

Le corps fini le plus simple est l'ensemble F 2 contenant seulement 0 et 1 . Nous pouvons illustrer cela en considérant deux sous-ensembles classiques des entiers naturels : les entiers pairs et impairs.

E = { 0, 2, 4, 6, ....... }    et    O = { 1, 3, 5, 7, ...... }

Nous observons que la somme de deux entiers pairs est un entier pair. De plus la somme d'un pair et d'un impair est un impair tandis que la somme de deux impairs est un pair . Pour ce qui est de la multiplication, nous voyons que le produit de deux entiers pairs est pair. Aussi le produit d'un pair par un impair est pair et le produit de deux impairs est impair. Maintenant représentons un entier pair par 0 et un entier impair par 1 , ainsi chaque entier est représenté par son reste dans la division par deux. Alors nous pouvons résumer les règles ci-dessus dans les tableaux suivants

 

Opérations dans F 2 = { 0, 1 }
Addition




Multiplication
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1

 

F2 est un corps puisque tout élément a un opposé et chaque élément non-nul a un inverse. Remaquons que l'opposé de 1 est 1 , tandis que l'inverse de 1 est aussi 1 .

 

 

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