• Taille et caractéristique d'un corps fini
En ce qui concerne le corps F2, il y a quelque chose de frappant et de contraire aux mathématiques ordinaires avec la formule 1 + 1 = 0. En fait le même type de formule existe dans chaque corps fini. Il existe un nombre p tel que 1 + 1 + ..... + 1= 0 où 1 est répété p fois. Ce nombre p est un entier premier et est appelé la caractéristique du corps. Par exemple nous disons que F2 est un corps de caractéristique 2 . On peut montrer que si un corps a une carctéristique égale à p alors son nombre d'éléments est égual à q = pk pour un certain entier k > 0 . D'autre part, pour chaque entier premier p et chaque entier k > 0 il existe un corps de taille q = pk. Ainsi les premiers corps finis rangés par taille croissante sont
F2, F3, F4, F5, F7, F8, F9, F11, ......
Il n'existe pas de corps fini de taille 6 ou 10 par exemple. Les corps de taille p sont dit corps premiers et sont facilement représentés par les entiers 0, 1, 2,...., p-1 d'une façon semblable à celle indiquée pour le corps F2. Un corps de taille q = pk avec k > 1 est plus sophistiqué, mais il contient le corps premier Fp. Nous donnons ci-dessous les tables pour les opérations dans F3 et F4.
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Opérations dans F3
= { 0, 1, 2 }
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Addition
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|
Multiplication
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| + |
0 |
1 |
2 |
* |
0 |
1 |
2 |
| 0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
| 2 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
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Opérations dans F4 = { 0, 1, u, v }
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Addition
|
|
Multiplication
|
| + |
0 |
1 |
u |
v |
* |
0 |
1 |
u |
v |
| 0 |
0 |
1 |
u |
v |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
v |
0 |
1 |
0 |
1 |
u |
v |
| u |
u |
v |
0 |
1 |
u |
0 |
u |
v |
1 |
| v |
v |
u |
1 |
0 |
v |
0 |
v |
1 |
u |
• Caractéristique de F(q)
Nous remarquons que si un corps Fq a pour caractéristique p alors pour tout élément x de ce corps nous avons p*x = 0. Par conséquent, d'aprés la définition de l'addition dans F(q), nous avons aussi p*X = 0 pour tout élément X de F(q). Nous disons que F(q) est un corps infini de caractéristique p. Par exemple F(2) a pour caractéristique 2 et nous avons 2*X = 0 pour tout nombre formel X. Cette propriété a une conséquence importante : pour tout
X et tout Y dans F(2) nous avons
( X + Y )2 = X2 + 2*X*Y + Y2 = X2 + Y2
De la même façon, pour tout X et tout Y de F(q) nous aurons
Cette formule sera très utile pour les calculs dans F(q). Comme illustration dans F(2), si X = 1011 alors il est facile de voir que X2 = 1000101 .
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