Des entiers naturels
aux nombres réels
• Entiers naturels
Les nombres les plus simples sont ceux que l'on appelle les entiers naturels :
0 , 1 , 2 , 3 , ...
L'ensemble des entiers naturels est noté N . Parmi ces nombres il se trouve un sous-ensemble important dont les éléments sont appelés nombres premiers. Les nombres premiers sont définis comme les entiers supérieurs à un et seulement divisible par un et par eux-memes. L'ensemble des nombres premiers, noté P , est infini et ses premiers éléments sont :
2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13
, ...
Observons que 2 est le seul nombre premier pair.
• Entiers relatifs
En considèrant les opposés des entiers naturels, nous obtenons l'ensemble des entiers relatifs, noté Z , dont les éléments sont :
... , -3 , -2 , -1 , 0
, 1 , 2 , 3 , ...
• Nombres rationnels
En prenant l'inverse de tous les nombres relatifs non-nuls
et leurs multiples, nous obtenons l'ensemble des nombres rationnels, noté Q . Par exemple -135/11 est un nombre rationnel. Les nombres rationnels sont communément représentés sous forme de développement décimal. Par exemple
1/2 = 0.5
1462/50
= 29.24
230/3 =76.666666...
et
-135/11 = -12.27272727....
Nous rappelons la signification de cette écriture
1/2 = 5/10
1462/50 = 29 + 2/10 + 4/100
et
230/3 = 76 + 6/10 + 6/100 + 6/1000 + 6/10000
+....
ou encore
230/3 = 7*101 + 6*100
+ 6*10-1 + 6*10-2 + 6*10-3.....
Ainsi chaque nombre rationnel positif peut s'écrire
x=an10n + an-110n-1
+ an-210n-2 +......
Ici les décimales ai
sont des entiers naturels entre 0 et 9. Remarquons que par tradition on omet le symbole de multiplication entre ai et 10i . D'autre part, il est clair que la suite des décimales peut etre finie ou non.
Si n > -1 , alors le début du développement u = an10n +
an-110n-1+.... + a0 est un entier naturel appelé la partie entière de x,
tandis que la partie restante v = a-110-1
+ .... est la partie fractionnaire de x
.
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