• Opérations sur des développements infinis
Si nous voulons additioner ou multiplier deux nombres formels, dont l'un ou les deux sont représentés par un développement infini, nous opérerons naturellement sur les développements tronqués pour obtenir une estimation du resultat de ces opérations. Illustrons ceci à l'aide des deux nombres formels sur le corps de base Q :
X1 = 10.111111.....[1]....
et X2 = 202.2121....[21].....
En ce qui concerne l'addition, il est clair que le coefficient d'un terme de degré m dans la somme est obtenu en additionant les coefficients des termes m dans chacun des deux nombres. Ainsi nous aurons simplement
X1 + X2 =
212.3232....[32].....
En ce qui concerne la multiplication, cela n'est pas aussi simple. Cependant en utilisant le produit des développements finis nous avons la règle suivante. Le coefficient d'un terme de degré m dans le produit est obetnu en ajoutant tous les produits des coefficients des termes de degré i dans un nombre et de degré j dand l'autre tels que i +
j = m . Ainsi pour les deux nombres ci-dessus, nous avons l'estimation suivante de leur produit
X1 * X2 =
2044.588(11)(11).......
Donnons un dernier exemple de produit où la suite des coefficients est très régulière
X1 * X1 =
102.23456789(10)(11).......
Ici la suite des coéfficients au delà est simplement la suite des entiers naturels. Il est intéressant de remarquer que le nombre formel X12 = (T +1/ (T-1))2 est un nombre rationnel. Cependant la suite de ses coefficients n'est pas ultimement périodique.
• Fields of Formal Numbers
Il apparait clairement, comme l'addition est définie, que tout nombre formel a un opposé. Il s'agit du développement obtenu en prenant l'opposé de chaque coefficient. Maintenant nous allons voir que tout nombre formel non-nul a un inverse. Si X = anTn, nous avons dejà remarqué que l'inverse sera X =
an-1T-n. Si X n'est ni nul ni égal à anTn, alors nous pouvons écrire
X = anTn ( 1 +
an-1 an-1Tn-1 +
an-1 an-2Tn-2 +......) =
anTn ( 1 - X1)
où X1 est un nombre formel de degré négatif. Puisque X1k tend vers zéro quand k tend vers l'infini, nous avons l'égalité suivante
1 / ( 1 - X1) = 1 + X1 +
X12 + ....... + X1n +......
Par conséquent
X-1 =
an-1T-n ( 1 + X1 +
X12 + ....... + X1n +...... )
Par exemple nous obtenons
(10.111111.....[1]....)-1 =
0.10(-1)(-1)0110(-1)(-1)011.....[0(-1)(-1)011].....
En conséquence, dans l'ensemble des nombres formels nous avons les quatre opérations :
addition, multiplication, soustraction and division. Ainsi cet ensemble est un corps. Le corps des nombres formels sur un corps de base K peut être noté F(K). Ce corps est un analogue du corps R des nombres réels. Il contient deux importants sous-ensembles. Le premier est l'ensemble des entiers formels, en d'autres termes des polynômes en T à coéfficients dans K , habituellement noté K [T] et correspondant à Z . Le second est l'ensemble des nombres formels rationnels, c'est à dire quotient de deux entiers formels, habituellement noté K (T) et correspondant à Q .
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