Corps de séries formelles
• Développement en série
Par analogie avec le développement décimal pour un nombre réel, nous introduisons l'expression formelle suivante :
X = anTn +
an-1Tn-1 + an-2Tn-2 +......
Ici T est un symbole purement formel, considéré comme une variable. Cette expression est une série formelle ou encore un développement en série. Les ai sont appelés les coefficients du développement et les exposants de la variable T sont des entiers relatifs. Nous verrons ci-dessous ce que peuvent etre ces coefficients. Comme dans le cas d'un développement décimal, le symbole multiplicatif est omis entre les coefficients et la puissance de la variable. Le développement peut etre fini ou infini. Le développement est nul si tous les coefficients sont nuls. Si le développement est non-nul, alors le premier terme du développement a un coefficient non-nul et l'exposant de T dans ce terme est un entier relatif. Cet entier relatif n est appelé le degré du développement. Nous appelerons cette expression un nombre formel.
• Entiers formels
Si le développement ci-dessus n'a qu'un nombre fini de termes, chacun avec un degré positif, nous pouvons écrire
X = anTn +
an-1Tn-1 + .......+
amTm
where n >= m >= 0 . Cette expression est connue pour etre un polynôme en T de degré n . Nous disons que nous avons un entier formel. Pour un nombre formel général, nous utilisons la même terminologie que pour les nombres réels. Nous appelons la somme des termes de degré positif ou nul la partie entière de ce nombre
(éventuellement zéro si le degré de X est négatif) tandis que la partie restante (s'il y en a une ) est nommée la partie fractionnaire. Si le développement X est fini, le dernier terme étant akT k avec un degré k < 0 , alors X est le quotient de deux polynômes en T .
En effet nous avons
X = (anTn-k +
an-1Tn-k-1 + .......+ ak) /
T-k
Ainsi un développement fini est le quotient de deux entiers formels, comme dans le cas des nombres réels.
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